- GVHD : Lê Ngọc Cường

- Lớp HP : 1016FMAT0211
Mục lục:

Các dạng phương trình vi phân cấp 1 và ví dụ.
•
Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li.
•
Phương trình vi phân có dạng y’= f(x).
•
Phương trình đẳng cấp cấp 1.
•
Phương trình tuyến tính cấp 1.
•
Phương trình Bernoulli.

Các dạng phương trình vi phân cấp 2 và ví dụ.
•
Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được.
•
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
•
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số
hằng.

Ứng dụng của phương trình vi phân.
•
Mô hình ô nhiễm môi trường.
Các khái niệm cơ bản:

∫∫
+= cdxxfdyyg )()(
2.2 Phương trình vi phân cấp 1 biến số phân li:
a. Dạng: f(x)dx = g(y)dy
b. PP: tích phân 2 vế ta được
0=+ ydyxdx
vd:
∫∫
=+ cydyxdx
c
y
x
=+⇒
22
2
2
cyx 2
22
=+⇒
là nghiệm của phương trình.
tích phân 2 vế ta được
2.1 Phương trình có dạng y’= f (x)
Phương pháp giải: tích phân 2 vế ta được

2.Các loại phương trình vi phân cấp 1
2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 1:
a.Dạng
cách làm:

Đặt

+
⇒ uĐK
x
dx
u
du
Thay y’ vào phương trình ta được
uxuu 21' +=+
b.Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp
- Dạng
-
Cách giải:
+ Xét định thức + Đặt:
Khi đó ta có
Đặt .Ta giải  giải PT đẳng cấp
+ Nếu định thức thì
Đặt đưa về PT vế phải không chứa 





+
+
=
eYdX
bYaX

b. Cách giải:
Nghiệm tổng quát của phương trình
tuyến tính cấp 1 (*) có dạng:
Cách giải:
Bước 1: giải pt thuần nhất:
( y=0 không phải nghiệm của phương trình đã cho)

Bước 2: Coi D=D(x)

thay y’ vào PT: được:

0)(' =+ yxPy)()(' xQyxPy =+
]).()(
)(
∫
+
∫
= cdxexQxD
dxxP
⇒
⇒
Ví dụ: GPT
(*)
Xét phương trình thuần nhất:
Coi D=D(x)

Thay y’ vào (*) ta được:

α
y
)()( xQ
y
y
xP
y
y
=
′
+
′
αα
(*) có dạng
α
α
y
y
z
′
−=
′
⇒ )1(
(*)
)()(
1
xQzxP
z
=+
−

bxy
axy
)('
)(
0
0
x, a, b các số cho trước
mãn điều kiện đầu: thỏa
)',(" yxfy =
- Cách giải:
')( yxz =
2. Các dạng toán của phương trình vi phân cấp2:
a. Dạng
- Cách giải :tích phân 2 lần
b- Dạng:
Hạ bậc bằng cách đặt
)(" xfy =
3. Phương trình dạng:
b- Cách giải:
')( yyz =
zz
dy
dz
z
dx
dy
dy
dz
dx
dz

=+⇒
ycz
1
=⇒
Vậỵ phương trình có nghiệm
ycz
1
=
4.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
)('" xfbyayy =++
các hằng số
ba,
Phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng tổng quát là
a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ
số hằng số:
(*)
Phương trình
0
2
=++ ba
λλ
được gọi là
phương trình đặc trưng của phương trình (*).
0'" =++ byayy
21
,
λλ
xx
ececxy
21

2
1
∗

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
)cossin()(
21
xcxcexy
x
ββ
α
+=
b)Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
với hệ số hằng số:
)('" xfbyayy =++
là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất:
là nghiệm riêng của phương trình
không thuần nhất:
Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
Với
0'" =++ byayy
)('" xfbyayy =++








ˆ
2
xQexxy
n
x
α
=
)(.)(
ˆ
xQexy
n
x
α
=
)(
ˆ
xy

Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng:
Khi đó:
)( )(
ˆ
xQexxy
n
x
α
=
vd: tìm nghiệm tổng quát
x
xeyyy

exexccxy
2
21
).2()()( −++=
Vậy nghiệm TQ là:
là nghiệm riêng của (1)
).()(
ˆ
2
BAxexy
x
+=
)(
ˆ
xy
(1)
•
Trường hợp
]cos).()(sin([)( xxQxxPexf
mn
x
ββ
α
+=
xxKxxHexy
ll
x
]cos)(sin)([)(
ˆ
ββ

ˆ
xy
)2sin.02cos.1()( xxxf +=
)2sin2cos()(
21
xcxcexy
ox
+=⇒
)0,0,2,0( ==== nm
βα
Phương trình đặc trưng
có nghiệm
phức là:
Ta có:
ii 2±=±
βα
là nghiệm của phương trình
)2sin2cos()(
ˆ
xBxAxexy
ox
+=
Lấy
)(
ˆ
xy
thế vào phương trình đầu ta tính được
4
1
,0 == BA