CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
Năm học 1999 – 2000
............................................................................................ 19 Năm học 2000 – 2001
............................................................................................ 22 Năm học 2001 – 2002
............................................................................................ 25 Năm học 2002 – 2003
............................................................................................ 28 Năm học 2003 – 2004
............................................................................................ 31 Năm học 2004 – 2005
............................................................................................ 34 Năm học 2005 – 2006
............................................................................................. 37 Năm học 2006 – 2007
4
34943123x xx−= − −
b) Chứng minh đẳng thức
44
49 20 6 49 20 6
3
2
++−
=
Bài 3
Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số
hòa.
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C
thắng D.
Bài 4
Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách.
2. Mận không viết thư và không sửa áo.
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo.
4. Mai không đọc sách và không sửa áo.
5. Mơ không đọc sách và không viết thư.
Ngày thứ hai
Bài 1
Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau
A và B, mỗi tập có n phần tử.
Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng :
12 1
... }
{
nn
A aa a a
−
<<< <
=
và
12
... }
{
nn
Bbb bb
− 1
< << <
=
Hãy chứng minh đẳng thức :
|a
1
-bTrường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
4
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Bài 5
Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các
xâu A,B,C ,… như sau :
A=(a
1
,a
2
,…,a
32
)
B=(b
1
,b
2
,…,b
32
)
C=(c
1
,c
2
,a
1
,a
2
,…,a
k-1
).
_ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc
A&B
⇒
C, với
1 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= b
1
= 1)
c
1
=
0 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= 0,b
Bài 1
Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm
khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết :
a) A và C b) B và E c) B và F
d) A và F e) A và D
Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn
toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết.
Bài 2
a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ
trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó
(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?
Bài 3
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1
chia hết cho x và x+1 chia
hết cho y.
Bài 4
a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :
abcd<<<
xxyy
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
13
6
− +=
+ −=−Bài 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c.
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.
Bài 3
Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số
nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m
ta có :
123
,,,..
0:aaa≥
.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
7
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Năm học 1995 – 1996
Ngày thứ nhất Bài 1
Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời
“có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông
tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi :
a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau.
b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau.
c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”.
d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”
thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi.
Bài 2
Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao
cho
AE CF
BEDF
=
. Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa
đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
8
www.hsmath.net
www.hsmath.net
giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh
AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố
định.
Ngày thứ hai Bài 1
Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng :
1>
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n}
thành một dãy sao cho với mọi
kn≤
, tổng của k số đầu tiên trong
dãy không chia hết cho n.
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành
một dãy sao cho với mọi
kn≤
, tổng của k số đầu tiên trong dãy
không chia hết cho n.
Bài 3 Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong
các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức :
1 2 1995
, ,...,aa a
2
1 2 1995 1 1995
1
( 2 ... 1995 ) ( ... )
2
Aa a a a a+++ > ++
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
9
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD.
a)
−≤∠≤
⎜⎟
⎝⎠
oo
.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
10
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Năm học 1996 – 1997
44
(2)(3)xx−+−=Bài 3 Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi
C
là đường tròn
ngoại tiếp tam giác IBC.
a)
Chứng minh rằng tâm của
C
nằm trên đường thẳng AI.
b)
Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A
⇔
C
tiếp xúc với các
đường thẳng AB, AC. Bài 4 Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N
số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau.
2
()( )()()(acadbcbd pq−−−−=−) Bài 2 Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện :
222
5
9
xyz
xyz
+ +=
⎧
⎨
+ +=
⎩
Chứng minh :
7
1,,
3
xyz≤≤
Bài 3
a)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng
được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của
mỗi cột là một số chính phương.
3nm ≥Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
12
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Năm học 1997 – 1998
Ngày thứ nhất Bài 1 Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì
111
1
111
x xy y yz z zx
+ +=
++ ++ ++
Bài 2
Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về
hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A
một khoảng cách là
1
3
D
. Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B;
tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp
nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là
5
27
D
. Hãy tìm vận
tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng
vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa.
Bài 4 Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kỳ
nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
13
www.hsmath.net
www.hsmath.net
tròn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường
thẳng BD và CD.
Bài 5
3
xy
xy
⎧
+ ≤
⎪
⎨
⎪
+ =
⎩
b)
Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa :
149
3
12
xyz
xyz
⎧
+ +=
⎪
⎨
⎪
+ +≤
⎩
Bài 2
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
14
www.hsmath.net
www.hsmath.net
ii)
Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi
Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người
đã đi Pháp.
a)
Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước.
b)
Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp. Bài 4
a)
Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD ,
ta có :
AC
2
+ BD
2
= AD
2
+ BC
nhau.
a) Chứng minh n ≤ 36
b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số a
n+1
tùy ý (0 hay 1) thì
tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a
1
, a
2
,
a
3
, a
4
và a
n-3
, a
n-2
, a
n-1
, a
n
trùng nhau.
5+ −=
⎧
⎨
+=
⎩
Bài 2
a)
Chứng minh hằng đẳng thức :
222 2
(1)44(mm m mmm+− + + = ++
2
1)
0
.
b)
Cho phương trình
22
(1)1mx m m x m− +− ++= (1). Tìm điều kiện
của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1. Bài 3
a)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường
thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại
Q. BP cắt CQ tại I.
a)
Cho CM = 1, hãy tính BI, CI.
b)
Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I. Bài 5 Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.
Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0
điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
16
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Copyright: Tài liệu đại học ©