VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2016


ii

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01


cam đoan
đoan đây
đây là
là công
công trình
trình nghiên
nghiên cứu
cứu của
của riêng
riêng tôi.
tôi. Các
Các số
số liệu,
liệu,
Tôi
kết
từng đƣợc
đƣợc ai
ai công
công bố
bốtrong
trongbất
bất
kếtquả
quảnêu
nêutrong
trongluận
luậnán
án là
là trung

1.3. Một số phƣơng pháp truyền thống giải bài toán tải trọng di động ......................... 11
1.3.1.Phƣơng pháp Bubnov-Galerkin .......................................................................11
1.3.2.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn .........................................................................14
1.3.3.Phƣơng pháp độ cứng động .............................................................................15
1.4. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi ....................................................... 17
1.5. Một số nhận xét và định hƣớng nghiên cứu ........................................................... 20
CHƢƠNG 2. CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN ............................................................ 23
2.1. Hàm đáp ứng tần số ................................................................................................ 23
2.1.1. Phép biến đổi Fourie ....................................................................................... 23
2.1.2. Các đặc trƣng tần số của hệ cơ học .................................................................24
2.1.3. Ứng dụng cho mô hình dầm đàn hồi ............................................................... 25
2.1.4. Khái niệm về đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng bất kỳ ........................... 27
2.2. Phƣơng pháp phổ tần số cho dầm chịu tải trọng di động .......................................27
2.2.1. Cơ sở phƣơng pháp [42]..................................................................................27
2.2.2. Ví dụ minh họa và kiểm chứng .......................................................................30
2.3. Phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov ........................................................................32
Kết luận chƣơng 2

36

CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CHỊU
TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG ............................................................................38
3.1. Đáp ứng tần số của dầm chịu tác dụng của lực hằng số di động ............................ 38


iv
3.2. Đáp ứng tần số của dầm đàn hồi chịu tải trọng điều hòa .......................................43
Kết luận chƣơng 3

51

mật độ khối (kg/m3).



hệ số Poisson.

F

diện tích mặt cắt ngang (m2).

a

độ sâu vết nứt (m).

b, h
I
S(x,ω)
A  S  x0 ,  0 
A

wo 

A
wo

Po  3
48EI

v 


1

tần số riêng cơ bản(rad/s)


1

tham số tần số (không thứ nguyên)

v



tần số lái(driving frequency, rad/s)
tần số lực di động

  A

hệ số cản.


21

tỷ số cản.

 

Ki

độ cứng lò xo xoắn thứ i (mô hình vết nứt).


vận tốc của tải trọng (m/s).
vận tốc tới hạn (m/s)
tham số vận tốc (không thứ nguyên)
dạng dao động riêng
độ võng của dầm tại mặt cắt x và thời điểm t
hàm phổ tần số của độ võng hay hàm đáp ứng tần
số



S w ( x,  )  W( x,  )

, 
PTHH
SEM
Cr

Nnoise

Phổ biên độ đáp ứng (hàm số thực của tọa độ x và
tần số  )
hệ số cản Rayleigh.
phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
phƣơng pháp phần tử phổ
hằng số chuẩn hóa đƣợc chọn cho từng dạng riêng.
véc tơ cột phân bố chuẩn với trung bình bằng 0 và
độ lệch chuẩn bằng 1.

Ep

tốc không phải là phản cộng hƣởng. ..............................................................................44
Hình 3.8. Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số   0.41 với các vận
tốc phản cộng hƣởng. ....................................................................................................45
Hình 3.9. Biểu đồ tốc độ phản cộng hƣởng và tần số tải trọng trong trƣờng hợp lực di
động là điều hòa đơn tần................................................................................................ 45
Hình 3.10. Biên độ dao động riêng khi tần số tải trọng bằng tần số lái (cộng hƣởng
ngoài) ............................................................................................................................. 46
Hình 3.11. Biên độ dao động cƣỡng bức phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng.....47
Hình 3.12. Biên độ dao động dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng
.......................................................................................................................................47
Hình 3.13. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc và tần số lực di động ...48
Hình 3.14. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của hai lực điều hòa đối xứng. .......49
Hình 3.15. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số và lực điều
hòa .................................................................................................................................50


viii
Hình 3.16. Phổ biên độ đáp ứng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số (   0 ) và lực
điều hòa (   0.51 ) khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng của lực điều hòa. .....51
Hình 4.1. Ba kiểu vết nứt cơ bản. ..................................................................................54
Hình 4.2. Mô hình vết nứt: a) dạng mô hình vết nứt cƣa, b) dạng mô hình vết nứt chữ
V, c) dạng mô hình vết nứt bằng lò xo xoắn. ................................................................ 54
Hình 4.3. Mô hình dầm có nhiều vết nứt. ......................................................................56
Hình 4.4. Mô hình dầm liên tục có vết nứt ....................................................................60
Hình 4.5. Mô hình dầm có 5 vết nứt ..............................................................................69
Hình 4.6. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các vận tốc tải
trọng khác nhau. ............................................................................................................70
Hình 4.7. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các tần số tải
trọng khác nhau. ............................................................................................................71
Hình 4.8. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số ứng với các vị trí vết nứt khác


x

DANH MỤC BẢNG
Bảng 4.1. Hàm dạng cho các điều kiện biên khác nhau ................................................58
Bảng 4.2. Giá trị của các tham số trong một số điều kiện biên lý tƣởng. .....................58
Bảng 4.3. Kết quả tính toán tần số của dầm liên tục có vết nứt ....................................64
Bảng 4.4. Kết quả nhận dạng độ sâu vết nứt phụ thuộc vào mức nhiễu đo đạc. ...........80


1

MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu đáp ứng động lực học của kết cấu chịu tải trọng di động
đóng vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật, đặc biệt là giao thông vận tải. Việc
tính toán thiết kế, kiểm định cũng nhƣ chẩn đoán đánh giá khả năng làm việc
của các cầu giao thông không thể tiến hành đƣợc nếu không có lời giải của bài
toán dao động của kết cấu chịu tải trọng di động. Bài toán dao động dầm đơn
giản chịu tải trọng của lực di động đã đƣợc quan tâm giải quyết từ rất sớm (đầu
thế kỷ 19). Tuy nhiên, bài toán này đến nay vẫn còn đang đƣợc nghiên cứu vì
các lý do sau đây: (1) mô hình tải trọng cần phải đƣợc phát triển để mô tả chính
xác hơn các tải trọng di động trong thực tế; (2) phƣơng pháp giải bài toán động
lực học cũng cần phải cải thiện để nhận đƣợc các lời giải sát với thực tế; (3) kết
cấu công trình chịu tải trọng di động cũng ngày càng phức tạp làm phát sinh
nhiều bài toán mới về động lực học.
Công cụ phổ cập nhất để giải bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di
động chính là phƣơng pháp Bubnov-Galerkin dựa trên các hàm cơ sở là các
dạng dao động riêng của dầm (phƣơng pháp chồng mode-mode superposition).
Tuy nhiên, phƣơng pháp này khó áp dụng cho kết cấu phức tạp khi mà các dạng
dao động riêng chƣa biết. Khi đó, ngƣời ta áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu

Mục tiêu của luận án này là phát triển ứng dụng phƣơng pháp phổ tần số
nêu trên để phân tích dao động trong miền tần số của dầm đàn hồi có vết nứt
chịu tải trọng di động. Thực chất, bài toán phân tích dao động trong miền tần số
hay còn gọi là phân tích phổ dao động là nghiên cứu sự biến thiên của biên độ
theo tần số để phát hiện ra các dao động có biên độ nổi trội (thƣờng đƣợc biểu
thị bằng các đỉnh cộng hƣởng trong biểu đồ của hàm đáp ứng tần số). Biên độ và
tần số đỉnh cho hai thông tin cơ bản về một dạng dao động cụ thể.
Đối tượng nghiên cứu trong luận án là kết cấu đơn giản dạng dầm EulerBernoulli không và có vết nứt chịu tải trọng tập trung điều hoà di động với vận
tốc không đổi. Mô hình vết nứt trong dầm đàn hồi đƣợc sử dụng trong luận án là
mô hình lò xo tƣơng đƣơng với độ cứng tính từ độ sâu vết nứt theo lý thuyết cơ
học phá hủy.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phƣơng pháp giải tích, các kết quả
giải tích đƣợc phân tích minh họa bằng phƣơng pháp số sử dụng các hàm có sẵn


3

trong MATLAB để thực hiện các phép tính nhƣ biến đổi Fourie nhanh, giải
phƣơng trình đại số phi tuyến và tuyến tính hay vẽ đồ thị các hàm,…
Trong luận án đặt ra và giải quyết các vấn đề sau: Một là, xây dựng các
biểu thức giải tích tƣờng minh cho hàm đáp ứng tần số của dầm đàn hồi có nhiều
vết nứt với các điều kiện biên khác nhau dƣới tác dụng của lực tập trung di động
với vận tốc không đổi; Hai là, phân tích phổ dao động của dầm đàn hồi (không
và có vết nứt) dƣới tác dụng của lực tập trung (hằng số và điều hòa) di động; Ba
là đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số dƣới tác
dụng của tải trọng di động.
Luận án bao gồm mở đầu và các chƣơng sau:
Chương 1 trình bày tổng quan và các phƣơng pháp cổ điển trong việc giải
bài toán tải trọng di động; bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm và một số kết
quả đã đạt đƣợc.

3. Đã đƣa ra một phƣơng pháp tính toán tần số riêng của dầm liên tục có nhiều
vết nứt và đã chỉ ra rằng các gối cứng trung gian làm thay đổi đáng kể ảnh
hƣởng của vết nứt đến tần số riêng của cả dầm. Đây là sự phát triển của
phƣơng pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có nhiều vết nứt (Đã công bố
trong Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Hà Nội 2014).
4. Đã phân tích sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số của dầm có nhiều vết nứt
chịu tải trọng di động phụ thuộc vào vị trí vết nứt, số lƣợng vết nứt đồng thời
với các tham số nhƣ vận tốc, tần số và pha của tải trọng. Ở đây đã phát hiện
ra những giá trị của các tham số nêu trên làm cho hàm đáp ứng tần số là lớn
nhất, phục vụ cho việc chẩn đoán vết nứt một cách chính xác nhất (Đã công
bố trong Tuyển tập Báo cáo tại Hội Cơ học Kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng
2015).
5. Đã đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt trong dầm bằng cách đo đạc đáp
ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hòa di động. Thử nghiệm bằng số cho
thấy thuật toán đƣợc đề xuất cho phép phát hiện chính xác 4 vết nứt ở xa biên
khi sai số đo đạc lên đến 15% (Đã công bố 01 công trình trên tạp chí ISI:
Nondestructive Testing and Evluation (First Online 15 Sep. 2015) và đã gửi
đăng 01 bài báo trên tạp chí ISI: Journal of Vibration and Control, 2015).


5

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
Đáp ứng động học của dầm chịu tải trọng động là một vấn đề quan trọng
trong việc thiết kế đƣờng sắt, cầu và các quá trình cơ khí. Đó là vấn đề thực sự
quan trọng vì nó tồn tại ở nhiều lĩnh vực nhƣ giao thông vận tải, cầu, đƣờng sắt,
đƣờng hầm… Các kết cấu này đều đƣợc thiết kế để chịu tác dụng của các tải
trọng di động.
Tải trọng di động là một vấn đề phức tạp nhƣng không thể tránh khỏi trong
động học kết cấu. Rất nhiều công trình đã công bố trong vòng 100 năm qua đối

tính đến ảnh hƣởng của khối lƣợng đã đƣợc nghiên cứu bởi H. Saller, H.H.
Jaffcott, H. Standing. Các kết quả đầu tiên này đã đƣợc S.P. Timoshenko tổng
kết lại trong các cuốn sách [87, 88]. Những nghiên cứu mang tính ứng dụng hơn
về bài toán tải trọng di động đối với đƣờng ray hay các kết cấu phức tạp hơn đã
đƣợc tổng kết lại bởi V. Kolusek [48]. Đến năm 1972, L. Fryba đã xuất bản
cuốn sách tổng kết khá đầy đủ các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này một cách
bài bản, khoa học và nó đƣợc tái bản với sự cập nhật những kết quả mới hơn sau
đó gần 30 năm, vào năm 1999 [28].
Năm 2004, Y.B. Yang, J.D. Yau và Y.S. Wu đã tổng kết các kết quả nghiên
cứu bài toán tƣơng tác giữa cầu và xe ứng dụng trong việc thiết kế các đƣờng
cao tốc ở Nhật, Đài Loan và Hồng Kông trong tài liệu [94]. Những nghiên cứu
lý luận sâu sắc về bài toán tải trọng di động, đặc biệt là bài toán các vật di động
đã đƣợc công bố trong các công trình của A.V. Pesterev và cộng sự [71-73].
Ở Việt Nam, bài toán tải trọng di động đã đƣợc quan tâm nghiên cứu và đã
có những đóng góp đáng kể trong lĩnh vực này, trong đó cần phải kể đến các
công trình nghiên cứu của các tác giả Nguyễn Văn Khang và các công sự [4, 5],
Đỗ Xuân Thọ [14], Hoàng Hà và các cộng sự [2], Đỗ Kiến Quốc và các cộng sự
[13], Nguyễn Trọng Phƣớc và cộng sự [11], Nguyễn Thái Chung và Hoàng
Xuân Lƣợng [1] và một số luận án tiến sỹ [3, 6, 10, 12]. Hiện nay, vấn đề tải
trọng di động đang thu hút nhiều chuyên gia của Việt Nam và những hƣớng
nghiên cứu điển hình ở Việt Nam là nghiên cứu các kết cấu phức tạp hơn dầm
đàn hồi nhƣ: dầm FGM [31], tấm, vỏ hay các kết cấu phức tạp nhƣ đƣờng hầm
[25], v.v…


7

1.2. Nội dung cơ bản của bài toán tải trọng di động
Xét một dầm đàn hồi chịu tải trọng di động nhƣ trong Hình 1.1, trong đó
mô tả một vật có khối lƣợng m đặt trên một giảm chấn (k,c) di động trên một



x0 (t )  v

m

y
c

k

E, I, , F

0
x0

w0

x
w(x,t)

x



Hình 1.1. Mô hình bài toán tải trọng di động
Từ bài toán tổng hợp này ta có thể nhận đƣợc các bài toán cụ thể nhƣ sau :
Bài toán lực di động : Trong số các vấn đề dao động của kết cấu và vật rắn
chịu tải trọng di động thì trƣờng hợp đơn giản nhất là dầm gối tựa đơn chịu một
lực không đổi di chuyển trên nó với vận tốc không đổi (Hình 1.2).

w(0, t )  0; w(, t )  0;

 2 w( x, t )
x 2

 0;
x 0

 2 w( x, t )
x 2

 0;

(1.2.5)

x 

và điều kiện ban đầu:
w( x,0)  0;

w( x, t )
0
t t 0

(1.2.6)

trong đó:
x - tọa độ lực tính từ điểm mút trái của dầm,
t - thời gian lực di chuyển tính bắt đầu tại thời điểm lực di chuyển lên dầm,
w(x,t) - chuyển vị của dầm tại điểm x và thời gian t, tính từ vị trí cân bằng khi

−∞

Nếu gia tốc của vật có thể tính toán hoặc đo đạc đƣợc thì tải trọng tác dụng
lên dầm sẽ bằng
P(t )  P0 [   (t )]

(1.2.7)

Lúc này lời giải của phƣơng trình (1.2.1), (1.2.7) cho đáp ứng động lực học
của dầm đàn hồi dƣới tác động của lực tập trung di động, trong đó bao hàm cả
lực hằng số, lực tuần hoàn,…
Bài toán khối lượng di động: Bài toán lần đầu đƣợc tính toán và giải gần
đúng bởi R. Willis [91]. Lời giải chính xác đƣợc đƣa ra bởi G. G. Stokes [83] và
sau đó là H. Zimmermann [100].
Khảo sát một dầm gối tựa đơn bỏ qua khối lƣợng với nhịp dài ℓ trên đó tải
trọng P có khối lƣợng m chuyển động ở tốc độ không đổi v, xem Hình 1.3. Tải
trọng tác dụng lên dầm là lực quán tính (-md2w(vt, t)/dt2) phụ thuộc vào gia tốc
thẳng đứng tại điểm x=vt tại đó xảy ra tƣơng tác giữa vật và dầm vào thời điểm
t.

Hình 1.3. Mô hình dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động


10

Theo phƣơng pháp hàm Green với phân bố tải trọng :
p(x, t )   ( x  vt )[ P  md 2 wvt , t  / dt 2 ] ,

chuyển vị của dầm tại x và thời điểm t đƣợc miêu tả bởi phƣơng trình:
w(x, t )  [ P  m

Nếu chuyển vị tƣơng đối của vật so với dầm nhỏ có thể bỏ qua thì ta có
0 (t )]
P(t )  m[ g  w

(1.2.11)

Hệ các phƣơng trình (1.2.1), (1.2.11) là mô hình của bài toán dao động của
dầm dƣới tác dụng của khối lƣợng di động.
Bài toán vật thể di động: Trong trƣờng hợp tổng quát, hệ phƣơng trình hỗn
hợp (1.2.1) - (1.2.3) bao gồm cả phƣơng trình vi phân thƣờng và phƣơng trình vi
phân đạo hàm riêng là mô hình của bài toán vật thể di động. Lúc này, kết quả
giải hệ phƣơng trình này cho ta đồng thời đáp ứng động lực học của cả dầm và
vật.
Ngoài ra, ta có thể nghiên cứu các bài toán khác nhƣ sau: Nếu sự di chuyển
này có tốc độ không đổi ta có bài toán di động với vận tốc không đổi. Nhƣng có
thể khảo sát đáp ứng của dầm và vật khi chuyển động của vật trên dầm có vận
tốc thay đổi, tức là khi tăng tốc hoặc khi giảm tốc.


11

Mặt khác, những bài toán phức tạp hơn cũng đã đƣợc nghiên cứu nhƣ: hệ
lực cách đều di động với cùng vận tốc hay hệ nhiều vật cách đều di động, mô tả
chuyển động của đoàn tàu trên đƣờng ray.
Một số bài toán tải trọng di động có thể đặt ra khi kết cấu chịu lực là tấm,
khung hay vòm,… Hoặc kết cấu dầm bằng các loại vật liệu khác nhau nhƣ
composite, FGM v.v… Nói chung bài toán tải trọng di động thƣờng tập trung
vào đáp ứng động lực học của kết cấu nhiều hơn là của vật di động. Vì vậy, đối
tƣợng chính để nghiên cứu đó là phƣơng trình (1.2.1) với các lực khác nhau P(t).
Đây cũng là nội dung của luận án này.

cộng sự [84] đã nghiên cứu chi tiết về hai hiện tƣợng này và đã tìm ra đƣợc các
vận tốc phản cộng hƣởng cho 2 dạng dao động đầu tiên trong khai triển nghiệm
theo phƣơng pháp chồng mode.
Hƣớng nghiên cứu khác về bài toán tải trọng tập trung di động là tính toán
hệ số động lực hay hệ số khuếch đại (amplification factor) của tải trọng di động
so với tải trọng tĩnh phục vụ thiết kế và đánh giá khả năng chịu lực của cầu.
A.V. Pesterev và các cộng sự [73] đã chứng minh đƣợc rằng tồn tại một hàm
giải tích của vận tốc tải trọng mô tả biên độ cực đại của đáp ứng động của dầm
và đã đƣa ra một số phƣơng pháp để xác định hàm số này. E. Savin [81] đã đƣa
ra các công thức và là ngƣời đầu tiên đƣa ra các công thức tƣờng minh để khảo
sát hệ số động lực nêu trên và đã vẽ đƣợc biểu đồ biên độ cực đại phụ thuộc vào
tỷ số giữa tần số riêng và tần số lái. Đây có thể coi là kết quả đầu tiên về hàm
phổ biên độ đáp ứng gần đúng, tuy rằng nó mới chỉ đƣợc tính toán ở miền vận
tốc tải trọng rất nhỏ. Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng điều hoà đã đƣợc
nghiên cứu bởi A. Garinei [29]; F. Ricciardelli và C. Briatico [77], trong đó
Garinei đã nghiên cứu ảnh hƣởng của tần số và pha của tải trọng đến đáp ứng
trong miền thời gian và vẽ biểu đồ hệ số động lực phụ thuộc vào tần số tải trọng.
Các tác giả công trình [77] đã nhận đƣợc các công thức giải tích để tính toán
chuyển vị và gia tốc của dầm chịu tải trọng hình sin theo thời gian và cũng đã vẽ
đƣợc biểu đồ hàm đáp ứng tần số của quá trình chuyển tiếp (transient frequency
response) phụ thuộc vào tần số riêng của dầm (tƣơng tự nhƣ hàm phổ đáp ứng
tức thời trong tính toán động đất).


13

Phƣơng pháp Bubnov-Galerkin hay phƣơng pháp chồng mode cũng đã
đƣợc sử dụng để nghiên cứu kết cấu dầm có vết nứt chịu tải trọng di động [19,
56, 60, 82,93]. Trong tất cả các công bố trên, các tác giả đều sử dụng dạng dao
động riêng của dầm có vết nứt làm hệ hàm cơ sở để tính đáp ứng của dầm chịu