1
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
---o0o---

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

GIỚIHÀ
THIỆU
NỘI, LUẬN
2016 ÁN


2
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. TS. Phạm Xuân Khang

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:


thực tế hơn; (3) kết cấu công trình chịu tải trọng di động cũng
ngày càng phức tạp làm phát sinh nhiều bài toán mới về động
lực học.
Công cụ phổ cập nhất để giải bài toán dao động của dầm
chịu tải trọng di động chính là phương pháp Bubnov-Galerkin
dựa trên các hàm cơ sở là các dạng dao động riêng của dầm
(phương pháp chồng mode-mode superposition). Tuy nhiên,
phương pháp này khó áp dụng cho kết cấu phức tạp khi mà các
dạng dao động riêng chưa biết. Khi đó, người ta áp dụng
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), ở đó các hàm dạng có
thể sử dụng các đa thức Hermitt. Mặc dù phương pháp PTHH
đã mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của bài toán tải trọng di
động, đây cũng chỉ là một phương pháp gần đúng, chỉ có hiệu
quả trong miền tần số thấp. Hơn nữa, khi ứng dụng phương
pháp PTHH cho bài toán tải trọng di động, người ta phải xây
dựng một thuật toán dò tìm vị trí của tải trọng theo thời gian,
làm tăng đáng kể thời gian tính toán. Gần đây, phương pháp
ma trận độ cứng động lực hay còn gọi là phương pháp phần tử


2
phổ (spectral element method) được phát triển để cải thiện độ
chính xác của phương pháp PTHH. Nhưng nó vẫn gặp rắc rối
khi tính lực cắt, thường là không liên tục tại vị trí đặt lực.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của luận án này là phát triển ứng dụng phương
pháp phổ tần số để phân tích dao động trong miền tần số của
dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động. Thực chất, bài
toán phân tích dao động trong miền tần số hay còn gọi là phân
tích phổ dao động là nghiên cứu sự biến thiên của biên độ theo

vết nứt sử dụng phương pháp phổ tần số và đề xuất một thuật
toán thử nghiệm chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi chịu tải
trọng di động.
Kết luận chung trình bày những kết quả chính đã nhận
được trong luận án và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên
cứu.
Chƣơng 1. TỔNG QUAN
1.1. Nội dung bài toán tải trọng di động
Xét một dầm đàn hồi chịu tải trọng di động như trong
hình 1.1, trong đó mô tả một vật có khối lượng m đặt trên một
giảm chấn (k, c) di động trên một dầm đàn hồi có các đặc
trưng cơ học như trong hình vẽ. Bỏ qua khối lượng của con lăn
và giả thiết rằng con lăn luôn tiếp xúc với bề mặt của dầm,
phương trình chuyển động của hệ có thể thiết lập ở dạng:
EI

 4 w( x, t )
w( x, t )
 2 w( x, t )
 F
 F
 P(t ) [ x  x0 (t )] ; (1.1.1)
4
x
t
t 2

P(t )  mg  cz(t )  kz (t )  m[ g  y(t )] ;
0 (t ); z(t )  [ y(t )  w0 (t )]; w0 (t )  w[ x0 (t ), t ] .
mz(t )  cz(t )  kz (t )  mw

thể như sau :
Bài toán lực di động : Trong số các vấn đề dao động của kết cấu
và vật rắn chịu tải trọng di động thì trường hợp đơn giản nhất là
ứng suất động học trong dầm gối tựa đơn chịu một lực không đổi
di chuyển trên nó với vận tốc không đổi.
Bài toán khối lượng di động: Nếu chuyển vị tương đối của vật so
0 (t )] . Khi đó
với dầm nhỏ có thể bỏ qua thì ta có P(t )  m[ g  w

phương trình (1.1.1) là mô hình của bài toán dao động của dầm
dưới tác dụng của khối lượng di động.
Bài toán vật thể di động: Trong trường hợp tổng quát, hệ phương
trình hỗn hợp (1.1.1) bao gồm cả phương trình vi phân thường và
phương trình vi phân đạo hàm riêng là mô hình của bài toán vật
thể di động. Lúc này, kết quả giải hệ phương trình này cho ta
đồng thời đáp ứng động lực học của cả dầm và vật.
1.2. Các phƣơng pháp giải bài toán tải trọng di động
a) Phương pháp Bubnov-Galerkin
Phương pháp Bubnov-Galerkin là một phương pháp gần đúng
hữu hiệu để giải phương trình vi phân, tích phân. Vì thế đối với
các đối tượng của Động lực học công trình mà phương trình
chuyển động của nó có thể thiết lập được ở giải tích thì ta có thể


5
sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin để tìm đáp ứng động. Bài
toán dao động của dầm chịu tải trọng di động ngay từ đầu và cho
đến nay vẫn đang được nghiên cứu bằng phương pháp chồng
mode.
b) Phương pháp phần tử hữu hạn

phỏng các quá trình động lực tần số cao, phương pháp độ cứng
động lực được quan tâm và phát triển. Đặc biệt là khi các công cụ
tính toán trên máy tính nhất là phương pháp tính toán bằng chữ
(symbolic) phát triển rất mạnh. Có một số người cho rằng,
phương pháp độ cứng động là sự phát triển tiếp theo của phương
pháp PTHH, trong đó các hàm dạng Hermitt (thực chất là lời giải
của bài toán tĩnh) đã được thay bằng các hàm dạng mới là lời giải
của bài toán động (phụ thuộc tần số). Dù sao thì phương pháp độ
cứng động và phương pháp PTHH cũng có sự khác nhau cơ bản
sau đây: phương pháp độ cứng động xét các bài toán trong miền
tần số, còn phương pháp PTHH xét các bài toán trong miền thời
gian. Gần đây, đã xuất bản một số sách chuyên khảo về một
phương pháp mới của động lực học, gọi là phương pháp phần tử
phổ (spectral element method - SEM). Thực chất, phương pháp
phần tử phổ chỉ là phương pháp độ cứng động được kết nối với
phép biến đổi Fourie nhanh, nên kết quả nhận được cũng chỉ lời
giải trong miền thời gian.
1.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi
Nội dung cơ bản của bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm
đàn hồi là xác định vị trí và độ sâu của các vết nứt bằng cách đo
đạc các đặc trưng dao động (có thể là dao động riêng hay dao
động cưỡng bức) của dầm. Các phương pháp giải quyết bài toán
này có thể được phân loại theo các đặc trưng đo đạc được của
dầm như sau:
(1) Phương pháp tần số riêng nghĩa là xác định vị trí và độ sâu
của vết nứt từ số liệu đo đạc tần số dao động riêng;


7
(2) Phương pháp dạng dao động riêng giải quyết bài toán chẩn


8
hỏi những mô hình kết cấu mới, đặc biệt là các kết cấu có khuyết
tật và hư hỏng. Riêng bài toán kết cấu đơn giản với tải trọng phức
tạp hay kết cấu phức tạp chịu tải trọng đơn giản cũng là những
vấn đề cần phải giải quyết. Cho dù nhiều phương pháp đã được
phát triển để nghiên cứu bài toán tải trọng di động, những lời giải
chính xác của bài toán ngay cả về phương diện toán học vẫn còn
quá ít. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng cách
đo đạc đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động đã biết, như đã
phân tích ở trên là rất triển vọng. Bởi vì số lượng điểm đo tải
trọng lúc này thực chất là đã tăng lên vô cùng (do tải trọng di
động liên tục trên dầm). Đặc biệt là nếu có thể đo đạc đáp ứng
của dầm bằng một đầu đo di động cùng với tải trọng. Chắc chắn
số liệu đo đạc sẽ rất nhiều thông tin về trạng thái kỹ thuật của
dầm, ví dụ như các vết nứt.
Vì những lý do nêu trên, vấn đề đặt ra trong luận án này là
phát triển phương pháp phổ tần số để nghiên cứu dầm đàn hồi có
nhiều vết nứt chịu tải trọng di động.
Chƣơng 2. CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN
2.1. Hàm đáp ứng tần số
Xét dao động uốn của dầm đàn hồi Euler-Bernoulli mô tả
bằng phương trình
  4 w( x, t )
  2 w( x, t )
 5 w( x, t ) 
w( x, t ) 
EI 
 1
 F 

P( x,  )
; P( x,  )   p( x, t )e it dt;
EI


 1  1  1 2 / (1  12 );  2  (1   2 / ) /(1  12 ) .
Trong trường hợp tổng quát hàm W ( x,  ) thoả mãn phương trình
(2.1.1) và điều kiện biên được gọi là đáp ứng tần số của dầm chịu
tải trọng tổng quát p( x, t ) . Đáp ứng tần số là một hàm phức, mô
tả biên độ dao động cưỡng bức của dầm ứng với tần số

,

W ( x, )  Rw ( x, )  iI w ( x, ) . Giá trị tuyệt đối hay modun của

đáp ứng tần số, ký hiệu là
S w ( x,  )  W ( x,  )  Rw2 ( x,  )  I w2 ( x,  )

(2.1.2)

chính là biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi chịu tải trọng tổng quát

p( x, t ) . Hàm số S w ( x,  ) của hai biến x,  , được gọi là phổ
biên độ đáp ứng (Response Spectrum) của dầm tại mặt cắt x xét
trong miền tần số. Nếu xét hàm (2.1.2) theo biến x với  0 cố
định ta được một đặc trưng gọi là biểu đồ biên độ dao động hay
dạng dao động của dầm tại tần số  0 . Nội dung của phương pháp
phổ tần số trong bài toán tải trọng di động được trình bày dưới
đây là việc xây dựng hàm phổ biên độ đáp ứng của dầm đàn hồi
chịu tải trọng di dộng.


với các hàm số L1 ( x), L2 ( x) được xác định từ điều kiên biên cụ
thể; hàm số

1 ( x) có dạng (2.2.3) và các hệ số C, D được tính

bằng các công thức
C

1( q1 ) (,  ) L(2p1 ) ()  1( p1 ) (,  ) L(2q1 ) ()

D

1( p1 ) (,  ) L1( q1 ) ()  1( q1 ) (,  ) L1( p1 ) ()

L1( p1 ) () L(2q1 ) ()  L1( q1 ) () L(2p1 ) ()

L1( p1 ) () L(2q1 ) ()  L1( q1 ) () L(2p1 ) ()

;
.

(2.2.4)

2.3. Phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov
Trong thực tế nhiều bài toán dẫn đến việc giải phương trình
Ax  b,

(2.3.1)



11
pháp phổ tần số (sau khi biến đổi Fourie ngược) và phương pháp
chồng mode cho phép ta khẳng định rằng : nếu xét trong miền
thời gian thì phương pháp phổ tần số tương đương với phương
pháp chồng mode. Sự khác biết có thể chỉ là ở cấu trúc phổ của
hai nghiệm, đặc biệt là ở tần số cao, khi mà phương pháp chồng
mode không thể ấp dụng. Ở đây cũng đã trình bày tóm lược cơ sở
phương pháp điều chỉnh Tikhonov sẽ áp dụng cho bài toán chẩn
đoán vét nứt ở chương 4.
Chƣơng 3. ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA DẦM CHỊU TẢI
TRỌNG ĐIỀU HÒA DI ĐỘNG
3.1. Dao động của dầm chịu tải trọng hằng số
Để tiện việc tính toán ta đưa vào các biến không thứ nguyên
như sau:   v / Vc  v / 1 (tham số vận tốc) và tần số tính toán
được chuẩn hóa bằng tần số cơ bản của dầm    / 1  [0,2] .
Trong đó Vc  1 /  là vận tốc tới hạn,
bản,

1 là tần số riêng cơ

v  v /  là tần số lái (driving frequency).

Hình 3.1. Phổ biên độ phụ
thuộc vào vận tốc tải trọng

Hình 3.2. Biên độ dao động
riêng phụ thuộc vào vận tốc



tốc di chuyển của lực thấp hơn 0.1vc, thì biên độ dao động cưỡng
bức là nổi trội. Tuy nhiên, biên độ dao động này giảm rất nhanh
khi vận tốc tăng đến 0.2vc và sau đó thì đỉnh tại tần số tải trọng
này hoàn toàn biến mất. Lúc này chỉ còn lại đỉnh của thành phần
dao động riêng. Như vậy, có thể khẳng định rằng, thành phần dao
động riêng sẽ là chủ đạo khi vận tốc vượt qua 0.2 vận tốc tới hạn.
Dao động kéo theo chỉ xuất hiện như những cánh hoa rất nhỏ hai
bên đỉnh dao động cưỡng bức và dao động riêng. Sự tắt của dao
động riêng được minh chứng bằng hàm phổ biên độ đáp ứng với
các vận tốc phản cộng hưởng được trình bày trong Hình 3.5. Như
vậy, ứng với mỗi tần số của lực di động ta có thể tìm được các
vận tốc phản cộng hưởng tương ứng. Biểu đồ cho phép ta xác
định các vận tốc phản cộng hưởng ứng với các tần số tải trọng
khác nhau được trình bày trong Hình 3.6.

Hình 3.5. Phổ biên
độ,   0.41 , tại vận tốc phản
cộng hưởng

Hình 3.6. Biểu đồ tốc độ
phản cộng hưởng và tần số
tải trọng


14
Kết luận chƣơng 3
Kết quả phân tích hàm đáp ứng tần số chịu tải trọng di động
nêu trên cho phép ta rút ra những kết luận sau đây: Hàm đáp ứng
tần số là một đặc trưng quan trọng trong phân tích dao động của
dầm chịu tải trọng di động. Nó cho phép ta nghiên cứu bức tranh

e1

a1 E, , F

aj

h

ej

b
L
b

y

h
K0j

Hình 4.1. Mô hình dầm có nhiều vết nứt.
Xét một dầm đàn hồi đồng chất thiết diện không đổi có mô
đun đàn hồi E, mật độ khối ρ, chiều dài L, diện tích mặt cắt ngang
F và mô men quán tính hình học mặt cắt ngang I, có n vết nứt tại
vị trí e j , j  1,..., n. Giả thiết, vết nứt ngang và mở hoàn toàn
được mô hình bằng lò xo xoắn có độ cứng K0 j ( j  1,..., n)
dưới dạng hàm của độ sâu vết nứt a j ( j  1,..., n). (Hình 4.1).
Phương trình dao động tự do của dầm
 ( IV ) ( x)  4 ( x)  0, x  (0,1),   L4 F 2 / EI

(4.1.1)

Không nứt
(4.1.61)
TL[36]
Nhịp 1
Nhịp 2
Không nứt 1.2 1.8
0.5
1.2 1.8
0.2
0.8 1.2 1.8
0.2
0.8
1.5
0.2
0.8 Không nứt

Tần số Tần số Tần số Tần số Tần số
1
2
3
4
5
3.1416 3.9266 6.2832 7.0686 9.4248
π
3.9266
2π
7.0685
3π
Nghiệm phương trình (4.1.59)
3.1056 3.9266 6.2395 7.0686 9.3911

t
t 2

(4.2.1)

Biến đổi Fourier hai vế phương trình (4.2.1), ta được
d 4 ( x,  )
dx 4

 4 ( x,  )  Q( x,  ) ;

(4.2.2)

Nghiệm tổng quát của phương trình (4.2.2) có dạng
x

 ( x,  )  0 ( x,  )   h( x  s)Q(s,  )ds ,

(4.2.3)

0

h( x)  (1 / 2 )[sinh x  sin x] ;
3

d 40 ( x,  )
dx

4



 0 ( x, )  C0 L1 ( x,  )  D0 L2 ( x,  )  1 ( x, ) ;

 k ( x, )  Ck L1 ( x,  )  Dk L2 ( x,  )  K ( x  ek ), k  1,...,n .
Trong trường hợp lực tuần hoàn, ta có P(t )  P0 e iet và do đó
Q( x, )  ( P0 / EIv)e ix / v  Q0 e ix / v , ˆ    e
ˆ

ˆ

1( x,)  10(x)  Q0eiˆx / v /[4  (ˆ / v)4 ] ;

10 (x)  P1 () cosh x  P2 () sinh x  P3 () cos x  P4 () sin x .
4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến đáp ứng tần số của dầm chịu
tải trọng di động
Để minh hoạ cho lý thuyết nêu trên, chúng ta xét dầm đàn
hồi với các tham số:
  25m , F  b  h  0.5  0.25m2 ,

E  200MPa,   7850kg / m 3 với các kịch bản khác nhau về vết
nứt. Ở đây sẽ khảo sát số sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số gây
nên bởi các vết nứt đồng thời với tải trọng di động (tốc độ và tần
số). Vì đáp ứng tần số là một hàm phức, nên sự thay đổi của hàm
đáp ứng tần số có thể xem xét ở hai khía cạnh: một là sự thay đổi
của giá trị tuyệt đối và hai là giá trị tuyệt đối của sự thay đổi,
được ký hiệu như sau
Sa ( x,  )  c ( x,  )  0 ( x, ) , Sm ( x,  )  c ( x, )  0 ( x, ) ,

Trong đó chỉ số dưới là “c” mô tả hàm đáp ứng tần số của
dầm bị nứt và chỉ số “0” là hàm đáp ứng tần số của dầm không bị


21 , tức   (0,2), f e  [0,2] có tâm là tần số cơ bản. Sự thay đổi
được xem xét cả theo biến không gian x dọc theo chiều dài dầm.

Hình 4.2. Sự thay đổi biên độ với Hình 4.3. Sự thay đổi biên độ với
các vận tốc tải trọng khác nhau
các tần số tải trọng khác nhau

Hình 4.4. Sự thay đổi biên độ
đáp ứng theo tần số tải trọng

Hình 4.5. Sự thay đổi hàm đáp
ứng tần số theo vị trí vết nứt


19

Hình 4.6. Sự thay đổi của hàm
đáp ứng tần số dọc theo chiều
dài dầm và vị trí vết nứt

Hình 4.8. Sự thay đổi của hàm
đáp ứng tần số ứng theo số
lượng vết nứt (từ 1 đến 9)

Hình 4.7. Sự thay đổi của
hàm đáp ứng tần số với các
vận tốc tải trọng khác nhau

Hình 4.9. Sự thay đổi của hàm

được đưa vào ở trên khi xây dựng mô hình. Các đại lượng
lượng này tỷ lệ với độ sâu vết nứt.
Giả sử hàm đáp ứng tần số  ( x ,  ) của dầm chịu tải trọng
di động P(t ) đo được tại các vị trí ( xˆ1 ,..., xˆ m ) , nghĩa là ta có
các số liệu f j ( )   ( xˆ j ,  ), j  1,..., m cùng với hàm theo
thời gian P(t ) . Sử dụng phương trình (4.2.15) ta có thể nhận
được phương trình
A()μ  b() ,

(4.4.1)

trong đó
A( )  [ jk ( ), j  1,...,m; k  1,...,n];
b( )  {b j ( )  f j ( )   0 j ( ), j  1,...,m}

(4.4.2)

{ 0 j ()   0 ( x j , );  jk ()   k ( x j , e, ), j  1,...,m; k  1,...,n} .


21
Áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov ta có thể xác định
được độ lớn của các vết nứt như trong Hình 4.10-4.12 và Bảng
4.2.

Hình 4.10. Kết quả chẩn đoán vết nứt sử dụng đáp ứng
tại các tần số 0.9ω1

Hình 4.11. Kết quả chẩn đoán vết nứt khi vận tốc tải
trọng bằng 0.5Vc

15%
15%
20%
30%
Vị trí vết nứt thực

Mức
nhiễu

1st crack
4.96 (0.80)
9.92 (0.80)
14.90 (0.66)
19.87 (0.65)
29.88 (0.40)
4.96 (0.80)
9.94 (0.60)
14.90 (0.66)
19.89 (0.55)
29.69 (1.03)
4.99 (0.02)
9.99 (0.01)
15.16 (1.06)
20.08 (0.40)
30.45 (1.50)
5.09 (1.80)
10.15 (1.50)
15.12 (0.80)
20.16 (0.80)
30.54 (1.80)

10.15 (1.50)
10.31 (3.10) 9.78 (2.20)
n/a
15.30 (2.00)
15.40 (2.60) 14.68(2.13)
n/a
20.49 (2.45)
20.55 (2.75) 19.52(2.40)
n/a
30.37 (1.23)
30.47 (3.07) 29.45(3.33)
n/a
5.09 (1.80)
5.19 (3.80) 4.78 (4.40)
n/a
10.21 (2.10)
10.31(3.10) 9.67 (3.30)
n/a
15.44 (2.93)
15.44 (2.93) 14.46 (3.60)
n/a
20.49 (2.45)
20.75 (3.75) 19.19(4.05)
n/a
30.91 (3.03)
30.82 (2.73) 28.93(3.56)
n/a
10m
15m
20m

Luận án đã phát triển phương pháp phổ tần số trong việc
nghiên cứu dao động của dầm có và không có vết nứt chịu tác
dụng của lực tập trung điều hòa di động với vận tốc không đổi.
Đã áp dụng phương pháp phổ tần số để phân tích, nhận dạng
các dạng dao động của dầm tại các tần số khác nhau.
Những kết quả chính của luận án này bao gồm:
1. Sử dụng phương pháp phổ tần số đã nhận được lời giải giải
tích chính xác cho hàm đáp ứng tần số của dầm có vết nứt chịu
tải trọng di động với vận tốc không đổi;
2. Trong trường hợp dầm không có vết nứt, hàm đáp ứng tần
số cho phép nhận biết các dạng dao động theo vận tốc của tải
trọng di động. Cụ thể, (a) nếu vận tốc di chuyển của tải trọng
nhỏ hơn 1/10 vận tốc tới hạn, thì dạng dao động nổi trội của
dầm là dao động cưỡng bức với tần số của tải trọng (nếu tải
trọng là hằng số thì tác dụng của tải trọng di động trong trường
hợp này tương đương như một tải tĩnh đặt ở giữa dầm); (b) khi