Header Page 1 of 258.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2016
Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

ii

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG


Footer Page 3 of 258.


Header Page 4 of 258.

ii

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin
xin cam
cam đoan
đoan đây
đây là
là công
công trình
trình nghiên
nghiên cứu
cứu của
của riêng
riêng tôi.
tôi. Các
Các số
số liệu,
liệu,
Tôi
kết
từng đƣợc
đƣợc ai


Header Page 5 of 258.

iii

MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN ...................................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..................................................................................................................... iii
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ...............................................v
DANH MỤC HÌNH VẼ ............................................................................................... vii
DANH MỤC BẢNG .......................................................................................................x
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ........................................................................................... 5
1.1. Sơ lƣợc về lịch sử bài toán tải trọng di động ............................................................ 6
1.2. Nội dung cơ bản của bài toán tải trọng di động .......................................................7
1.3. Một số phƣơng pháp truyền thống giải bài toán tải trọng di động ......................... 11
1.3.1.Phƣơng pháp Bubnov-Galerkin .......................................................................11
1.3.2.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn .........................................................................14
1.3.3.Phƣơng pháp độ cứng động .............................................................................15
1.4. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi ....................................................... 17
1.5. Một số nhận xét và định hƣớng nghiên cứu ........................................................... 20
CHƢƠNG 2. CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN ............................................................ 23
2.1. Hàm đáp ứng tần số ................................................................................................ 23
2.1.1. Phép biến đổi Fourie ....................................................................................... 23
2.1.2. Các đặc trƣng tần số của hệ cơ học .................................................................24
2.1.3. Ứng dụng cho mô hình dầm đàn hồi ............................................................... 25
2.1.4. Khái niệm về đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng bất kỳ ........................... 27
2.2. Phƣơng pháp phổ tần số cho dầm chịu tải trọng di động .......................................27
2.2.1. Cơ sở phƣơng pháp [42]..................................................................................27

4.4.2. Kết quả thử nghiệm số ....................................................................................78
Kết luận chƣơng 4

86

KẾT LUẬN CHUNG ....................................................................................................88
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƢỢC CÔNG BỐ ................................................90
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ GỬI ĐĂNG........................................................... 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 91

Footer Page 6 of 258.


Header Page 7 of 258.

v

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
E

mô đun đàn hồi (N/m2).



mật độ khối (kg/m3).



hệ số Poisson.


EI

độ cứng chống uốn.

M

mômen (Nm2)
chiều dài dầm (m).



tần số dao động (rad/s)

1

tần số riêng cơ bản(rad/s)


1

tham số tần số (không thứ nguyên)

v



tần số lái(driving frequency, rad/s)
tần số lực di động

  A


M, K và C

lần lƣợt là ma trận khối lƣợng, độ cứng và cản
tổng thể của dầm theo công thức phần tử hữu hạn
(nn).

v
vc 


1


v
v  v


v c 1 1
(x)

w( x, t )

 ( x,  ) hoặc


W( x,  )   w( x, t )e it dt

vận tốc của tải trọng (m/s).
vận tốc tới hạn (m/s)


độ lệch chuẩn.

ynoise

Footer Page 8 of 258.

Phổ biên độ đáp ứng (hàm số thực của tọa độ x và

là chuyển vị thẳng của thân xe kể đến nhiễu.


Header Page 9 of 258.

vii

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mô hình bài toán tải trọng di động ..................................................................7
Hình 1.2. Mô hình dầm chịu tác dụng của lực di động ...................................................8
Hình 1.3. Mô hình dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động .............................................9
Hình 2.1. So sánh chuyển vị của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. ..................31
Hình 2.2. So sánh góc xoay của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. ...................31
Hình 3.1. Mô hình dầm Euler-Bernoulli .......................................................................38
Hình 3.2. Phổ biên độ của độ võng tại điểm giữa dầm ứng với các vận tốc khác nhau 39
Hình 3.3. So sánh phổ biên độ chính xác và gần đúng (tính theo công thức (3.1.1)):
đƣờng liền – chính xác; đƣờng rời với các dấu tròn – gần đúng. ..................................40
Hình 3.4. Biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các giá
trị khác nhau của hệ số cản. ........................................................................................... 41
Hình 3.5. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các
giá trị khác nhau của hệ số cản. .....................................................................................41

Hình 4.4. Mô hình dầm liên tục có vết nứt ....................................................................60
Hình 4.5. Mô hình dầm có 5 vết nứt ..............................................................................69
Hình 4.6. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các vận tốc tải
trọng khác nhau. ............................................................................................................70
Hình 4.7. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các tần số tải
trọng khác nhau. ............................................................................................................71
Hình 4.8. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số ứng với các vị trí vết nứt khác
nhau tại cộng hƣởng chính và vận tốc tải trọng bằng 0.5vc. .........................................72
Hình 4.9. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (ở tần số

  0.9861 ) tƣơng ứng với các vị trí vết nứt khác nhau ( e  1;   0.5 ). ..................73
Hình 4.10. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số   0.9861 ,   1 phụ
thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các vận tốc tải trọng khác nhau. .................................73
Hình 4.11. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số   0.9861 ( v  0.5v c ) phụ
thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các tần số tải trọng khác nhau. ...................................74
Hình 4.12. Sự thay đổi của phổ biên độ đáp ứng tƣơng ứng với số lƣợng các vết nứt
(từ 1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5. .........................................................................74
Hình 4.13. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số ứng với số lƣợng vết nứt khác nhau (từ
1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5. ...............................................................................75
Hình 4.14. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (tại tần số

  0.9861 ) tƣơng ứng với số lƣợng vết nứt khác nhau (từ 1 đến 9); các tham số tải
trọng là e  1;   0.5 ..................................................................................................75
Hình 4.15. Kết quả nhận dạng vết nứt sử dụng đáp ứng tại các tần số 0.5ω 1, 0.8ω1,
0.9ω1, ω1, 1.5ω1. ............................................................................................................81
Hình 4.16. Ảnh hƣởng của tốc độ di chuyển của tải trọng (0,1vc ; 0.3vc ; 0.5vc; 0.8vc;
vc) đến kết quả nhận dạng vết nứt. ................................................................................82
Footer Page 10 of 258.




MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu đáp ứng động lực học của kết cấu chịu tải trọng di động
đóng vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật, đặc biệt là giao thông vận tải. Việc
tính toán thiết kế, kiểm định cũng nhƣ chẩn đoán đánh giá khả năng làm việc
của các cầu giao thông không thể tiến hành đƣợc nếu không có lời giải của bài
toán dao động của kết cấu chịu tải trọng di động. Bài toán dao động dầm đơn
giản chịu tải trọng của lực di động đã đƣợc quan tâm giải quyết từ rất sớm (đầu
thế kỷ 19). Tuy nhiên, bài toán này đến nay vẫn còn đang đƣợc nghiên cứu vì
các lý do sau đây: (1) mô hình tải trọng cần phải đƣợc phát triển để mô tả chính
xác hơn các tải trọng di động trong thực tế; (2) phƣơng pháp giải bài toán động
lực học cũng cần phải cải thiện để nhận đƣợc các lời giải sát với thực tế; (3) kết
cấu công trình chịu tải trọng di động cũng ngày càng phức tạp làm phát sinh
nhiều bài toán mới về động lực học.
Công cụ phổ cập nhất để giải bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di
động chính là phƣơng pháp Bubnov-Galerkin dựa trên các hàm cơ sở là các
dạng dao động riêng của dầm (phƣơng pháp chồng mode-mode superposition).
Tuy nhiên, phƣơng pháp này khó áp dụng cho kết cấu phức tạp khi mà các dạng
dao động riêng chƣa biết. Khi đó, ngƣời ta áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu
hạn (PTHH), ở đó các hàm dạng có thể sử dụng các đa thức Hermitt. Mặc dù
phƣơng pháp PTHH đã mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của bài toán tải
trọng di động, nhƣng nó chỉ có hiệu quả tốt trong miền tần số thấp. Hơn nữa, khi
ứng dụng phƣơng pháp PTHH cho bài toán tải trọng di dộng, ngƣời ta phải xây
dựng một thuật toán dò tìm vị trí của tải trọng theo thời gian, làm tăng đáng kể
thời gian tính toán. Gần đây, phƣơng pháp ma trận độ cứng động lực hay còn gọi
là phƣơng pháp phần tử phổ (spectral element method) đƣợc phát triển để cải
thiện độ chính xác của phƣơng pháp PTHH. Nhƣng nó vẫn gặp rắc rối khi thực
hiện phép biến đổi Fourie ngƣợc của một hàm có bƣớc nhảy nhƣ lực cắt tại vị trí
đặt lực.


Đối tượng nghiên cứu trong luận án là kết cấu đơn giản dạng dầm EulerBernoulli không và có vết nứt chịu tải trọng tập trung điều hoà di động với vận
tốc không đổi. Mô hình vết nứt trong dầm đàn hồi đƣợc sử dụng trong luận án là
mô hình lò xo tƣơng đƣơng với độ cứng tính từ độ sâu vết nứt theo lý thuyết cơ
học phá hủy.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phƣơng pháp giải tích, các kết quả
giải tích đƣợc phân tích minh họa bằng phƣơng pháp số sử dụng các hàm có sẵn
Footer Page 14 of 258.


Header Page 15 of 258.

3

trong MATLAB để thực hiện các phép tính nhƣ biến đổi Fourie nhanh, giải
phƣơng trình đại số phi tuyến và tuyến tính hay vẽ đồ thị các hàm,…
Trong luận án đặt ra và giải quyết các vấn đề sau: Một là, xây dựng các
biểu thức giải tích tƣờng minh cho hàm đáp ứng tần số của dầm đàn hồi có nhiều
vết nứt với các điều kiện biên khác nhau dƣới tác dụng của lực tập trung di động
với vận tốc không đổi; Hai là, phân tích phổ dao động của dầm đàn hồi (không
và có vết nứt) dƣới tác dụng của lực tập trung (hằng số và điều hòa) di động; Ba
là đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số dƣới tác
dụng của tải trọng di động.
Luận án bao gồm mở đầu và các chƣơng sau:
Chương 1 trình bày tổng quan và các phƣơng pháp cổ điển trong việc giải
bài toán tải trọng di động; bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm và một số kết
quả đã đạt đƣợc.
Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp đáp ứng tần số áp
dụng cho dầm đàn hồi chịu tải trọng di động.
Chương 3 đƣa ra lời giải chính xác trong miền tần số cho bài toán dao
động của dầm không vết nứt chịu tải trọng di động và phân tích phổ dao động

vết nứt và đã chỉ ra rằng các gối cứng trung gian làm thay đổi đáng kể ảnh
hƣởng của vết nứt đến tần số riêng của cả dầm. Đây là sự phát triển của
phƣơng pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có nhiều vết nứt (Đã công bố
trong Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Hà Nội 2014).
4. Đã phân tích sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số của dầm có nhiều vết nứt
chịu tải trọng di động phụ thuộc vào vị trí vết nứt, số lƣợng vết nứt đồng thời
với các tham số nhƣ vận tốc, tần số và pha của tải trọng. Ở đây đã phát hiện
ra những giá trị của các tham số nêu trên làm cho hàm đáp ứng tần số là lớn
nhất, phục vụ cho việc chẩn đoán vết nứt một cách chính xác nhất (Đã công
bố trong Tuyển tập Báo cáo tại Hội Cơ học Kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng
2015).
5. Đã đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt trong dầm bằng cách đo đạc đáp
ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hòa di động. Thử nghiệm bằng số cho
thấy thuật toán đƣợc đề xuất cho phép phát hiện chính xác 4 vết nứt ở xa biên
khi sai số đo đạc lên đến 15% (Đã công bố 01 công trình trên tạp chí ISI:
Nondestructive Testing and Evluation (First Online 15 Sep. 2015) và đã gửi
đăng 01 bài báo trên tạp chí ISI: Journal of Vibration and Control, 2015).

Footer Page 16 of 258.


Header Page 17 of 258.

5

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
Đáp ứng động học của dầm chịu tải trọng động là một vấn đề quan trọng
trong việc thiết kế đƣờng sắt, cầu và các quá trình cơ khí. Đó là vấn đề thực sự
quan trọng vì nó tồn tại ở nhiều lĩnh vực nhƣ giao thông vận tải, cầu, đƣờng sắt,
đƣờng hầm… Các kết cấu này đều đƣợc thiết kế để chịu tác dụng của các tải

1.1. Sơ lƣợc về lịch sử bài toán tải trọng di động
Lịch sử nghiên cứu về tải trọng động di động đã đƣợc khởi đầu từ cuối thế
kỷ 19 bằng những nghiên cứu của R. Willis, G.G. Stokes, H. Zimmermann.
Những nghiên cứu đầu tiên này đã đƣa ra những lời giải gần đúng đầu tiên về
bài toán tải trọng hằng số di động. Bài toán phức tạp hơn về tải trọng di động
phụ thuộc thời gian đã đƣợc nghiên cứu bởi các nhà khoa học ngƣời Nga nhƣ
A.N. Krylov, S.P.Timoshenko, N.G. Bondar. Sau đó bài toán tải trọng di động
tính đến ảnh hƣởng của khối lƣợng đã đƣợc nghiên cứu bởi H. Saller, H.H.
Jaffcott, H. Standing. Các kết quả đầu tiên này đã đƣợc S.P. Timoshenko tổng
kết lại trong các cuốn sách [87, 88]. Những nghiên cứu mang tính ứng dụng hơn
về bài toán tải trọng di động đối với đƣờng ray hay các kết cấu phức tạp hơn đã
đƣợc tổng kết lại bởi V. Kolusek [48]. Đến năm 1972, L. Fryba đã xuất bản
cuốn sách tổng kết khá đầy đủ các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này một cách
bài bản, khoa học và nó đƣợc tái bản với sự cập nhật những kết quả mới hơn sau
đó gần 30 năm, vào năm 1999 [28].
Năm 2004, Y.B. Yang, J.D. Yau và Y.S. Wu đã tổng kết các kết quả nghiên
cứu bài toán tƣơng tác giữa cầu và xe ứng dụng trong việc thiết kế các đƣờng
cao tốc ở Nhật, Đài Loan và Hồng Kông trong tài liệu [94]. Những nghiên cứu
lý luận sâu sắc về bài toán tải trọng di động, đặc biệt là bài toán các vật di động
đã đƣợc công bố trong các công trình của A.V. Pesterev và cộng sự [71-73].
Ở Việt Nam, bài toán tải trọng di động đã đƣợc quan tâm nghiên cứu và đã
có những đóng góp đáng kể trong lĩnh vực này, trong đó cần phải kể đến các
công trình nghiên cứu của các tác giả Nguyễn Văn Khang và các công sự [4, 5],
Đỗ Xuân Thọ [14], Hoàng Hà và các cộng sự [2], Đỗ Kiến Quốc và các cộng sự
[13], Nguyễn Trọng Phƣớc và cộng sự [11], Nguyễn Thái Chung và Hoàng
Xuân Lƣợng [1] và một số luận án tiến sỹ [3, 6, 10, 12]. Hiện nay, vấn đề tải
trọng di động đang thu hút nhiều chuyên gia của Việt Nam và những hƣớng
nghiên cứu điển hình ở Việt Nam là nghiên cứu các kết cấu phức tạp hơn dầm
đàn hồi nhƣ: dầm FGM [31], tấm, vỏ hay các kết cấu phức tạp nhƣ đƣờng hầm
[25], v.v…


(1.2.3)

Trong phƣơng trình trên w( x, t ) là độ võng của dầm, y(t ) là dịch chuyển thẳng
đứng tuyệt đối và z (t ) -dịch chuyển tƣơng đối của vật (so với dầm); x0 (t ) là vị trí
của con lăn trên dầm;  (t ) là hàm xung Dirac, có tính chất


 f (t ) (t  t 0 )dt  f (t 0 ) .



x0 (t )  v

m

y
c

k

E, I, , F

0
x0

w0

x
w(x,t)



F

  ( x  vt ) P(t )
4
2
t
x
t

(1.2.4)

với điều kiện biên:
w(0, t )  0; w(, t )  0;

 2 w( x, t )
x 2

 0;
x 0

 2 w( x, t )
x 2

 0;

(1.2.5)

x 

H(x)
0, 𝑥
w1(t)= w(vt,t),
khi đó ta có
w1 (t )  [ P  m

d 2 w1 t 
]G( vt , vt )
dt 2

(1.2.9)

với điều kiện ban đầu là:
w1 (t ) t 0  0;

dw1 (t )
0
dt t 0

(1.2.10)

vì vậy, bài toán dẫn đến việc giải phƣơng trình (1.2.9) với điều kiện (1.2.10).
Nếu chuyển vị tƣơng đối của vật so với dầm nhỏ có thể bỏ qua thì ta có
0 (t )]
P(t )  m[ g  w

(1.2.11)

Hệ các phƣơng trình (1.2.1), (1.2.11) là mô hình của bài toán dao động của
dầm dƣới tác dụng của khối lƣợng di động.
Bài toán vật thể di động: Trong trƣờng hợp tổng quát, hệ phƣơng trình hỗn
hợp (1.2.1) - (1.2.3) bao gồm cả phƣơng trình vi phân thƣờng và phƣơng trình vi

tƣởng của phƣơng pháp Bubnov-Galerkin thực ra là việc xấp xỉ lời giải của một
bài toán bằng một chuỗi hàm cơ sở đã biết thoả mãn các điều kiện biên, để nhận
đƣợc một hệ phƣơng trình vi phân thƣờng đối với các toạ độ suy rộng. Nếu các
hàm cơ sở này là các hàm riêng (eigefunctions) có tính trực giao của hệ đã cho
thì các phƣơng trình đối với tọa độ suy rộng đƣợc tách riêng cho từng tọa độ,
giải đƣợc một cách khá đơn giản. Khi đó ngƣời ta gọi phƣơng pháp BubnôvGalerkin là phƣơng pháp chồng mode (mode superposition). Bài toán dao động
của dầm chịu tải trọng di động ngay từ đầu và cho đến nay vẫn đang đƣợc
nghiên cứu bằng phƣơng pháp chồng mode.
J.B. Yang và các cộng sự [94] chỉ sử dụng số hạng đầu tiên (dạng dao động
chính) đã chỉ ra rằng đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động bao gồm 3 thành
phần dao động chính là: dao động với tần số riêng (gọi là dao động riêng); dao
động với tần số của tải trọng (dao động cƣỡng bức) và dao động với tần số tỷ lệ
với vận tốc của tải trọng (driving frequency, v /  , tạm dịch là tần số lái). Dao
Footer Page 23 of 258.


Header Page 24 of 258.

12

động với tần số này có thể gọi là dao động kéo theo (induced). Trong đó biên độ
dao động riêng là trội hơn cả và biên độ dao động với tần số lái có dạng sóng
biên độ nhỏ. Trong các nghiên cứu [54, 95] các tác giả đã phát hiện ra hiện
tƣợng cộng hƣởng (resonance) và phản cộng hƣởng (cancellation) khi khảo sát
biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc di chuyển của tải trọng. Hiện
tƣợng phản cộng hƣởng là sự triệt tiêu của biên độ dao động riêng ở một số vận
tốc nào đó của tải trọng. P. Museros và cộng sự [62], C.P. Sudheesh-Kumar và
cộng sự [84] đã nghiên cứu chi tiết về hai hiện tƣợng này và đã tìm ra đƣợc các
vận tốc phản cộng hƣởng cho 2 dạng dao động đầu tiên trong khai triển nghiệm
theo phƣơng pháp chồng mode.

động riêng của dầm có vết nứt làm hệ hàm cơ sở để tính đáp ứng của dầm chịu
tải trọng di động. Do đó ảnh hƣởng của vết nứt đến đáp ứng của dầm thông qua
dạng dao động riêng của dầm có vết nứt và trƣớc khi giải bài toán tải trọng di
động cần giải bài toán dao động riêng của dầm có vết nứt. M.A. Mahmoud và
M.A. Abou-Zaid [60] đã chỉ ra rằng vết nứt làm tăng biên độ dao động của dầm
chịu tải trọng di động, đồng thời cũng làm thay đổi chu kỳ dao động riêng của
dầm. Vì vậy, ảnh hƣởng của vết nứt không đơn điệu làm tăng độ võng của dầm.
Các tác giả C. Bilello (Italia) và L.A. Bergman (USA) của công trình [19] đã
kiểm chứng bằng thực nghiệm rất bài bản về dầm Euler-Bernoulli chịu tải trọng
khối lƣợng di động. M. Shafiei và N. Khaji [82] đã giải bài toán dầm
Timoshenko có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động. Dầm FGM (vật liệu có cơ
lý tính biến thiên) chịu tải trọng di động đã đƣợc nghiên cứu trong [31, 93].
Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động đã đƣợc
nghiên cứu trong [75, 97]. G.V. Rao, tác giả công trình [75] với giả thiết là khối
lƣợng di động nhỏ, đã sử dụng phƣơng pháp tiệm cận để giải hệ phƣơng trình vi
phân với hệ số biến thiên và đã nhận đƣợc biểu đồ biên độ dao động đối với vận
tốc của tải trọng. Tác giả đã so sánh kết quả tính theo hai mô hình: tải trọng di
động và khối lƣợng di động đã cho thấy khối lƣợng di động làm tăng đáng kể
biên độ dao động của dầm. R. Zarfram và cộng sự đã nghiên cứu dao động của
dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động và kích động ở gối đỡ (biên) trong [97]. Ở
đây, các tác giả phát hiện ra rằng cả khối lƣợng, vận tốc và vị trí của khối lƣợng
đều ảnh hƣởng, nói cách khác làm thay đổi tần số riêng của dầm và do đó làm
thay đổi bức tranh dao động của dầm (cả về biên độ, tần số và chu kỳ dao động
cƣỡng bức liên quan đến thời gian đi qua của tải trọng).
Rõ ràng là bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều khi tải trọng là phƣơng tiện
giao thông nhƣ ô-tô hay đoàn tầu di động trên dầm [22, 38, 73, 96]. Phƣơng
pháp chồng mode vẫn áp dụng đƣợc, nhƣng các toạ độ suy rộng trong phƣơng
Footer Page 25 of 258.