BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Nguyễn Thị Phượng Linh

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Nguyễn Thị Phượng Linh

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành

: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất
cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Long An, Ban Giám Hiệu
trường THPT Cần Giuộc - Long An, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi
có thể hoàn thành tốt khóa học.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp didactic Toán khóa 22 đã giúp đỡ tôi
trong thời gian học tập.
Cuối cùng, tôi xin dành lời cảm ơn vô vàn đến các thành viên trong gia đình tôi đã
quan tâm, chăm sóc và động viên tôi trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là người Mẹ kính
yêu của tôi, Người đã luôn dành những điều tốt đẹp nhất cho tôi.
Nguyễn Thị Phượng Linh

2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................... 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................ 6
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ....................................................................................... 7
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu .................................................... 8
4. Tổ chức của luận văn ..................................................................................................... 8

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH
PHÂN ............................................................................................................................ 9
1.1. Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS ................................... 9
1.1.1. Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hàm số hợp ......................................9

:

Sách giáo khoa

SGKHH

:

Sách giáo khoa hiện hành

SGV

:

Sách giáo viên

SBT

:

Sách bài tập

ĐS & GT

:

Đại số & Giải tích

GT


:

Ban cơ bản

tr.

:

trang

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tích phân là một khái niệm cơ bản, rất quan trọng của GT. Trong chương trình Toán
Trung học phổ thông, tích phân xuất hiện ở học kì II của lớp 12 và là một nội dung quan
trọng. SGK GT 12 hiện hành dành hẳn một chương để nói về nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng của nó, cuối chương còn có một bài kiểm tra 45 phút. Tích phân cũng xuất hiện nhiều
trong các kì thi học kì, cao đẳng và đại học.
Để phục vụ cho bài toán tính tích phân, SGK GT 12 hiện hành đã giới thiệu 2
phương pháp cơ bản để tính tích phân, đó là PPĐBS và phương pháp tích phân từng phần.
Với PPĐBS, SGK giới thiệu hai cách đổi biến số sau:
u (b )

b

1.

∫ f [u ( x)]u '( x)dx = ∫

Để minh họa cho các cách đặt ẩn số phụ, SGK đưa vào một số ví dụ sau:
2

x
∫ xe dx
2

Ví dụ 1: Tính

1

Giải: xe

x2

1 2
= e x d ( x 2 ) . Đặt u=x2 ta có u(1)=1, u(2)=4. Do đó
2
2

4

eu
1 4
xe
=
dx
=
du
(e − e )

π
2

π
1

Vậy

∫
0

 π
1 − x dx =∫ 1 − sin 2 t .cos tdt . Vì t ∈ 0;  nên 1 − sin 2 t =
cos t.
2


0
2

2

π
1

Do đó

∫
0


2

bằng cách đặt x=sint. (SGK GT 12 (BNC) –tr. 159)

Hai ví dụ và hai hoạt động H1; H2 minh họa cụ thể cho hai PPĐBS mà SGK đã nêu.
Các ví dụ mà SGK sử dụng minh họa đều rất đơn giản. Vậy khi vào giải một bài toán tích
phân cụ thể không đơn giản như các ví dụ thì làm thế nào HS nhận ra được các biến số mới
phù hợp cho PPĐBS? Mặt khác, nguyên hàm là một bài toán ngược không đơn giản của bài
toán đạo hàm, vậy PPĐBS có liên hệ gì với đạo hàm của hàm hợp? Chính vì vậy chúng tôi
chọn đề tài: “Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân ở Trung học phổ thông”

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để tìm hiểu rõ hơn vấn đề đặt ra, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của
Didactic Toán với việc sử dụng thuyết nhân học didactic và lý thuyết tình huống. Ở luận văn
này chúng tôi quan tâm đến hai điều kiện sinh thái của PPĐBS trong phép tính tích phân là
đạo hàm hàm hợp và vấn đề đặt ẩn phụ. Trong phạm vi của lý thuyết tham chiếu, chúng tôi
phát biểu lại các câu hỏi nghiên cứu như sau :
1. Đạo hàm hàm hợp được xây dựng như thế nào trong chương trình trung học
phổ thông? Nhằm mục đích gì? Mối liên hệ của nó với PPĐBS trong phép tính tích phân ra
sao?
2. Trong SGKHH thì PPĐBS được thực hiện với những dạng hàm số hợp nào,
không được thực hiện với những dạng hàm số hợp nào? Với những dạng hàm số hợp mà
SGK đã sử dụng cho PPĐBS trong phép tính tích phân thì cách đặt ẩn phụ tương ứng ra
sao?
7


3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi trên. Để đạt được điều
này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau :

Tham khảo luận văn thạc sĩ Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng
dạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý (2007), chúng tôi rút ra một số kết
quả sau:
 Thời điểm và mục đích đưa khái niệm hàm số hợp vào chương trình toán trung học
phổ thông:
- Các thời kỳ trước:
+ Hàm số hợp được trình bày trong chương Hàm số ở lớp 11 (chương trình 19751990), trong chương Bổ sung về hàm số và giới hạn ở lớp 12 (chương trình 1990-2000) và
trong chương Đạo hàm ở lớp 12 (chương trình 2000-2006).
+ Khái niệm hàm số hợp phục vụ cho việc tính đạo hàm hàm số hợp và công thức đổi
biến số.
- Trong chương trình hiện hành: khái niệm hàm số hợp được trình bày trong chương
Đạo hàm ở lớp 11, ngay sau phần Các quy tắc tính đạo hàm để chuẩn bị kiến thức tính đạo
hàm của hàm số hợp.
 Các nhận xét về hai khái niệm hàm số hợp trong SGK và SGV
SGK ĐS & GT 11 (BNC) tr. 201 đưa vào khái niệm hàm số hợp như sau:
Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được
biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai
hàm số f và u ; hàm số u gọi là hàm số trung gian.

SGV ĐS & GT 11 (BNC) tr. 236 nêu khái niệm hàm số hợp như sau:

9


Cho hàm số u: D →  và f: Df →  sao cho u(D) ⊂ Df. Khi đó hàm số g: D →  xác định bởi g(x)
= f[u(x)] gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số u, kí hiệu là g = f  u. Như vậy ta có g(x) = ( ( f  u ) (x) =
f[u(x)].

-


Công thức đạo hàm hàm số hợp được SGK trình bày dưới dạng y’x = y’u. u’x. Sau đó,

SGK áp dụng công thức này để tính đạo hàm của các hàm y = un, y =

u , y = 1/u, y = sinu,

y = cosu, y = tanu, y = cotu trong đó u là hàm số có đạo hàm theo biến x. Đạo hàm của các
hàm uα, eu, logau được khảo sát sau khi học xong hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm số lôgarit.
Trong thực hành tính đạo hàm hàm hợp, biến trung gian không phải lúc nào cũng xuất hiện
tường minh.
-

Việc tính đạo hàm hàm hợp chỉ được thực hiện một cách hình thức công thức y’x =

y’u. u’x , trong đó u được xem là một biến trung gian. Điều này làm cho hàm số hợp được
xem như là hàm số của biến trung gian thay vì được xem là hàm của hàm. Hàm số hợp được
đưa vào với mong muốn cung cấp yếu tố công nghệ của phép tính đạo hàm hàm hợp, phép
đổi biến trong tích phân xác định. Tuy nhiên, trong thực hành, yếu tố công nghệ này nhanh
chóng biến thành một phép thay chữ hình thức. HS tính đạo hàm hàm hợp bằng cách thực
10


hiện phép thay chữ hình thức và thực hiện phép đổi biến u = ϕ(x) nhờ các kiểu bài tập được
dạy.
- Trên thực tế, việc tính đạo hàm hàm hợp được thực hiện như một phép thay chữ hình
thức mà không cần sự can thiệp của hàm hợp. Điều này một mặt cho phép tính đạo hàm một
cách máy móc và nhanh chóng, mặt khác làm lu mờ ý nghĩa của hàm hợp và làm cách chọn
biến mới u = u(x) trong tích phân xác định trở nên khó giải thích vì trong thể chế hiện hành,
không tồn tại việc đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm, ngay cả khi có mặt hay
vắng mặt ostensif ∫ do vấn đề phân tích một hàm số hợp thành các hàm số cấu thành để giải

này mũ là mấy? Là mũ 1 nên các em phân biệt cho cô: gặp lượng giác mà mũ 1 thì mình
xem cái góc đó là x, mình tính luôn. Gặp lượng giác mà không phải bậc 1 mà bậc 2 trở lên
thì nó là công thức un. Rồi, bây giờ lên làm giùm cô nhé!
HS (lên bảng thực hiện bài giải)

Hàm số trên là một hàm số hợp, nhưng hàm số trên là hợp của các hàm số trung gian nào?
HS có nhận ra được các hàm số trung gian đó hay không? Để làm điều đó, GV trước khi cho
HS giải bài tập, đã chú ý cho HS đến việc nhận dạng đạo hàm của bài toán là un bằng một số
câu hỏi gợi ý như: bài này em sẽ tính đạo hàm bằng cách nào?hay u là gì và n là bao nhiêu? Từ đó áp
11


dụng công thức tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số đã cho. Bên cạnh đó, GV cũng
chú ý phân biệt cho HS sự khác biệt với các dạng hàm số khác như: các em phân biệt bài này

2 x + 1 )… Sự phân biệt này có thể giúp HS nhận ra các dạng

với bài số 3 (là bài tập: y = cos

hàm số hợp cần lấy đạo hàm, các biến trung gian cần thiết và chúng trở thành yếu tố công
nghệ - lý thuyết cho quá trình này trong bối cảnh vắng bóng sự can thiệp của hàm hợp.
Bảng 1.1. Trích biên bảng dự giờ của GV
Lời giải của HS

Trình bày của GV

(đã được GV nhận xét-bổ sung)

(khi thực hiện chỉnh sửa bài làm của HS)



(dạng un ;(un)’ = n.un-1.u’)


− 2 x 
4


π

,

[42]. GV: đến dây ta có thể sử dụng tiếp công thức
gì? Các em nhận xét: hàm số lượng giác có bậc
mấy?...

 π

= −2cos − 2 x .sin − 2 x . − 2 x 
4
4
4



π

π

,


(dạng

u , ( u )’ =

u'
)
2 u

đạo hàm nhân...sinu?
[47]. GV: căn của gì đây? (Gv chỉ vào

π
4

− 2x

)

[49]. GV: có nghĩa là áp dụng công thức gì?
[51]. GV: ( u )’ bằng gì?
[53]. GV: rồi, ( u )’ =

u'
2 u

[53]. GV: (ghi công thức) 2sina cosa = sin 2a


π


Bài giải trên đây là của HS, GV thực hiện chỉnh sửa, bổ sung. Trong quá trình chỉnh sửa
bài giải của HS, mỗi khi gặp các dạng đạo hàm mới xuất hiện như : un, cosu,
12

u GV đều


gợi ý để nhắc lại các dạng đó cho HS qua một số câu hỏi: được lượng giác bậc 1 rồi thì hãy nhận
xét về góc? Ta có thể sử dụng công thức gì? hay căn của gì đây? có nghĩa là áp dụng công thức gì? Sau

khi HS nhận ra được các dạng đạo hàm, GV ghi các dạng đạo hàm đó bên cạnh, còn các
công thức đạo hàm tương ứng (un)’= n.un-1.u’; (cosu)’ = -sinu.u’, ( u )’ =

u'
2 u

thì chỉ nhắc

bằng ngôn ngữ nói. Việc nhắc lại này làm cho HS thói quen lấy các công thức đó để làm căn
cứ xác định dạng của hàm số hợp cần tính đạo hàm.
Trong ví dụ này, hàm số y = cos 2
g(x) =

π
4

− 2 x có dạng y = i  (h  ( g  f )) với f(x) =

π



1.1.1.2 Đạo hàm hàm số hợp trong PPĐBS phép tính tích phân
PPĐBS được trình bày ở lớp 12 trong chương Tích phân (chương trình 1992); trong
chương Nguyên hàm và tích phân (chương trình 2000) và trong chương Nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng (chương trình 2008) nhằm phục vụ cho việc tìm nguyên hàm, tính tích
phân.
Sách GT 12 (BNC) trình bày cơ sở của PPĐBS là công thức sau:
u (b )

b

∫ f (u ( x)u '( x)dx = ∫
a

f (u )du

(1)

u(a)

Trong đó hàm u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp
f[u(x)] xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K.

Trên cơ sở đó, SGK GT 12 (BNC) đưa ra hai cách đổi biến số trong tích phân xác định như
sau:
• Cách 1: SGK GT 12 (BNC) tr. 158
b

Giả sử ta cần tính

b

f ( x)dx = ∫ f [ x(t )]x '(t )dt
a

Theo kết quả nghiên cứu trên thì đạo hàm của hàm số hợp được đưa vào chương trình
nhằm mục đích cung cấp yếu tố công nghệ cho phép đổi biến trong tích phân xác định. Tuy
nhiên, sự liên hệ giữa đạo hàm hàm hợp và công thức đổi biến số chưa thực sự được làm rõ,
đạo hàm hàm hợp chỉ được sử dụng để chứng minh công thức đổi biến số trong PPĐBS tìm
nguyên hàm.
Định lý 1: SGK GT 12 (BNC) tr. 142

14


Định lí 1: cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho
f[u(x)] xác định trên K. khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là

)du
∫ f (u=

F (u ) + C

thì

'( x)dx
∫ f [u ( x)]u=

F [u ( x)] + C



Đặt u = u(x) = 2x+1. Áp dụng công thức (2), ta có

1

1

dx ∫ (2 x + 1) d (2 x +=
du
1) ∫ u =
∫ (2 x + 1) =
2
2
4

=

4

4

1 4
u du
2∫

1 1 5
1
C
. u +=
(2 x + 1)5 + C

2

để chỉ ra cho HS thấy được f[u(x)], từ đó tiếp tục xác định nguyên hàm mà thực hiện việc
15


đặt biến mới u = 2x+1 và lấy nguyên hàm theo biến u. Điều này có thể dẫn đến việc HS chỉ
nhận ra dạng nguyên hàm khi ở biến u với du mà không phải từ kiến thức về hàm hợp hay
đạo hàm của hàm số hợp, tức dạng g(x) = f[u(x)]u’(x).
SGV không giải thích hay hướng dẫn gì thêm từ ví dụ trên. Các hoạt động H1, H2
trong SGK về PPĐBS tìm nguyên hàm chỉ được SGV hướng dẫn sơ lược đặt biến số mới u
là gì, sau đó thay vào biểu thức ở đề bài và nêu kết quả của bài toán. Như vậy SGV cũng
hướng HS đến việc đưa bài toán về biến u, tìm nguyên hàm trên biến u mà không sử dụng
hàm hợp hay đạo hàm hàm số hợp để xác định biến mới và tìm nguyên hàm hàm số. Mặc dù
việc quan sát các hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp giúp HS phát hiện ra biến số phụ u(x) là
gì hay tìm được nguyên hàm nhanh chóng, chính xác hơn nhưng đã không được SGK chú ý
khai thác. Vậy có phải chăng GV và HS xem việc đổi biến số qua biến u là cách giải tối ưu
cho bài toán tìm nguyên hàm bằng PPĐBS?
Ở các ví dụ mà SGK đưa vào để minh họa cho PPĐBS thì cách đổi biến được cụ thể
hóa rõ ràng theo các bước: đặt ẩn phụ u = u(x) (hay x = x(t)), tính du = u’xdx (hay dx =
x’tdt); đổi cận; thế vào và tính tích phân.
Ví dụ 2: SGK GT 12( (BNC)) tr. 159:
1

Ví dụ 2: Tính

∫

1 − x 2 dx


π
1

∫
0

π

π

12
1
sin2t 2 π
2
2
1 − x dx =∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = (t +
) = .
2
2
2
4
0
0
0
2

16


1

nguyên nhân chính. Khi SGK thực hiện đổi biến theo cách 2 đã chọn ẩn số phụ x = sint, với

 π
t ∈ 0;  mà không có sự giải thích nào. Với cách chọn biến này, ta có:
 2
1
1 − x 2 dx =1 − sin 2 t cos tdt =
cos 2 tdt = (1 + cos 2t ) dt
2
Hàm số

1
(1 + cos 2t ) là hàm số có thể lấy nguyên hàm trực tiếp nên biểu thức dưới dấu
2

tích phân có thể tìm được nguyên hàm, nhờ vậy tích phân đã cho có thể tính được. Việc
không giải thích về cách chọn biến x = sint cho ví dụ trên dẫn đến việc HS gặp dạng toán
như vậy sẽ đặt ẩn như thế, hoàn toàn không có sự phân biệt để chọn lựa cách đổi biến phù
hợp.
Mặt khác, từ kết quả ghi nhận được ở trên là trong thể chế hiện hành không tồn tại
việc đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm. Những điều này làm cho đạo hàm của
hàm số hợp và PPĐBS tồn tại riêng rẽ, không có sự liên kết chặt chẽ. Khi tính tích phân
bằng PPĐBS, HS chỉ chú ý đến việc tìm các biến số trung gian u = u(x) nào phù hợp và
thực hiện việc biến đổi du = du(x) = u’(x)dx để được một tích phân theo biến mới đơn giản
hơn mà không chú ý đến f[u(x)].u’(x) chính là đạo hàm của hàm số hợp F[u(x)]. Nếu HS
nhìn thấy được điều này thì việc chọn biến số trung gian u = u(x) để tính tích phân có thể
được giải thích rõ ràng và hợp lý hơn.
17




x , h(x) = cosx là hàm hợp của 3 hàm số; hay bài tập 33e(tr. 212): y = cos2
18

π
4

− 2 x có


dạng y = i  (h  ( g  f )) với f(x) =

π
4

− 2 x ; g(x) =

x ; h(x) = cosx; i(x) = x2 là hàm hợp của

4 hàm số.
Hay như SBT ĐS & GT 11 (BNC) có bài tập 5.20i tr. 182: y = sin2(cos3x) có dạng y
= i  (h  ( g  f )) với f(x) = 3x, g(x) = cosx, h(x) = sinx, i(x) = x2] là hàm hợp của 4 hàm số.
Mặc dù mong muốn của SGK là muốn HS vận dụng thành thạo công thức y’x = y’u.u’x,
nhưng điều đó lại gây khó khăn cho HS khi tiến hành xác định dạng của hàm số hợp cần
tính đạo hàm.
Bên cạnh đó, định nghĩa hàm số hợp là công cụ duy nhất để HS xác định dạng của
hàm số hợp thì lại được trình bày như là một sự thay thế biến u vào f(u). Việc làm rõ các
biến u(x) thay thế đó để có thể xác định dạng của hàm số hợp là rất quan trọng khi thực hiện
lấy đạo hàm của hàm số hợp nhưng lại không được đề cập đến. Tuy việc xác định hàm số đó
có là hàm số hợp hay không, dạng hàm số hợp là gì cần phải dựa vào phần định nghĩa hàm

[23]. GV: vậy hàm số này là cosu. Mời một em lên bảng nhé!
=
y ' (cos 2 x + 1) '

− > cos u

= − sin 2 x + 1( 2 x + 1) '
(2 x + 1) '
= − sin 2 x + 1
2 2x + 1
2
=
− sin 2 x + 1
2 2x + 1
1
=
− sin 2 x + 1
2x + 1

(

)

(

)

(

)

HS bắt buộc phải thuộc các công thức tính đạo hàm mà SGK đã nêu, không quan tâm
đến việc xác định hàm số hợp cần tính đạo hàm là hợp của các hàm số nào, GV có
nhiệm vụ chỉ ra dạng của hàm số hợp cần tính đạo hàm đó.
1.1.2.1.3. Kết luận
Qua đó, chúng tôi nhận thấy các công cụ lý thuyết sử dụng thực hiện bài toán tính

đạo hàm của hàm số hợp được SGK cung cấp đầy đủ. Khi đã xác định được dạng của các
hàm số cần tính đạo hàm, cho dù các hàm số hợp này là hợp của nhiều hơn 2 hàm số, HS
vẫn thực hiện được việc tính đạo hàm. Trong khi đó, các công cụ lý thuyết cho việc nhận
20


dạng một hàm số hợp là không đầy đủ, HS chỉ có duy nhất định nghĩa hàm số hợp theo cách
hình thức như là sự thay thế các biến làm cơ sở cho việc xác định dạng của hàm số hợp. Tuy
nhiên, trong thực hành, việc xác định dạng của hàm số hợp lại nhờ vào các công thức tính
đạo hàm được SGK cung cấp.
1.1.2.2 Nhận diện dạng của một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS:
Khi đứng trước một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS, việc đầu tiên là HS phải
nhận diện ra dạng của bài toán, đó là với bài toán này thì sẽ chọn cách đặt ẩn số phụ như thế
nào, từ đó sẽ chọn biến thay đổi cho phù hợp. Như đã nêu ở trên, SGK GT 12 (BNC) đã
trình bày cơ sở của PPĐBS khi tính tích phân và 2 cách đổi biến số tùy theo cách chọn biến
u = u(x) hay x = x(t). Đó có thể được xem là các công cụ lý thuyết cần thiết cho bài toán tính
tích phân bằng PPĐBS. Tuy nhiên, vấn đề khi nào thì sử dụng cách đổi biến số nào thì vẫn
chưa được SGK đề cập đến. SGK chỉ nêu ra các ví dụ làm mẫu cho các cách đổi biến số.
Các bài tập trong SGK chủ yếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng f[u(x)]u’(x)dx, khi đó
thực hiện cách đổi biến số bằng cách đặt u = u(x). SGV phần gợi ý trả lời câu hỏi và bài tập
cũng chỉ nêu ra biến u là gì và cho kết quả, hoàn toàn không chỉ ra việc nhận diện dạng của
một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS. Cả SGK và SGV đều thực hiện việc đặt biến mới
u và tìm nguyên hàm theo biến mới u đó
Đối với loại đổi biến số x = x(t), ngoài ví dụ 2 tr. 159 Sách GT 12 (BNC) đã nêu ở



1

Tính

∫

1 − x 2 dx ở trên đã nêu, hàm số dưới dấu tích phân có dạng

a 2 − x 2 , như vậy chỉ

0

cần đặt x = sint (a=1), thì bài toán giải quyết được. Hay như ví dụ 5 SGK GT 12 (BCB)
1

tr.108: Tính

1

∫1+ x

2

dx ,hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng (a + x2) ở mẫu số

0

nên biến mới sẽ là x = tant (a=1). SGK không chỉ ra việc hàm số dưới dấu tích phân có dạng


du =+
uα +1 C .... HS có nhiệm vụ học thuộc các

công thức tính nguyên hàm đó, dùng nó để xác định dạng của một bài toán tính tích
phân bằng PPĐBS.
22


Như vậy, công cụ lý thuyết mà SGK sử dụng để nhận dạng bài toán đổi biến số tích
phân chính là đạo hàm hàm số hợp. Tuy nhiên, đạo hàm hàm số hợp chỉ được dùng để
chứng minh công thức đổi biến số trong PPĐBS tích phân, không được sử dụng để giúp học
sinh nhận diện dạng bài toán đổi biến số tích phân. HS chỉ được cung cấp các cơ sở lý
thuyết về PPĐBS, các cách đổi biến số. Các công cụ lý thuyết về việc nhận diện dạng của
một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS chưa được khai thác hiệu quả. Trong thực hành,
HS chỉ nhớ đến các công thức nguyên hàm của các hàm số, các bước để thực hiện việc đổi
biến số là: tìm biến số phụ u, tính du, thay vào đề bài và tìm nguyên hàm từ biến u; các cách
đặt biến mới u tương ứng với các dạng hàm số đã cho.

1.2. Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS trong phép tính tích phân
1.2.1. Hiện trạng dạy và học PPĐBS trong phép tính tích phân
Tích phân là một nội dung trọng tâm trong chương trình, SGK Toán hiện hành. Tích
phân xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi tốt nghiệp THPT, kì thi tuyển sinh vào
Đại học. Chính vì vậy, việc dạy và học nội dung này cũng hết sức quan trọng. Tuy nhiên, từ
các kết quả phân tích được nêu ra ở trên như: việc tính đạo hàm của hàm số hợp chỉ được
thực hiện như một phép thay chữ hình thức, hay trong thể chế hiện hành, không tồn tại việc
đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm làm cho cách chọn biến mới u = u(x) (hay x
= x(t)) trong tích phân xác định trở nên khó giải thích. Chính vì điều này nên khi dạy tích
phân bằng PPĐBS, GV phải đưa vào một số các quy tắc đặt ẩn số mới để giảm sự mơ hồ
cho HS trong việc chọn biến số mới. Ngoài ra, PPĐBS và đạo hàm của hàm số hợp được