SKKN: Tích phân đổi biến số
MỤC LỤC Trang
1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh và lý do chọn đề tài ) 2
2.Giải quyết vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ) 3
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề 3
2.2 Thực trạng của vấn đề 3
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 4
2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm 4
2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản 7
a) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
2
1
x
n
x
ax b dx+
∫
7
b) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
1
b
n
k k
a
x ax b dx
−
+
∫
hoặc

17
e) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
( )
b
u x
a
e .u' x dx
∫
19
f) TÍCH PHÂN DẠNG
b
n m
a
sin xcos xdx
∫
21
2.4 Hiệu quả của SKKN 23
3. Kết luận 24
Tài liệu tham khảo 25
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 1
SKKN: Tích phân đổi biến số
.
CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt
môn toán luôn là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh. Nhất là trong các kỳ
thi thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiều
học sinh và cả phụ huynh. Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn

quyt vn m c th vn õy l bi toỏn tớch phõn trong cỏc k thi m c bit
l cỏc dng m ti ny ó nghiờn cu v a ra trong sỏng kin kinh nghim dy
hc ti trng ph thụng.
2.2. Thc trng ca ti
2.2.1 . Tỡnh hỡnh thc t ca hc sinh trng:
- Phn ln hc sinh ca trng i bn cỏc xó lõn cn, i li khú
khn. im tuyn sinh vo lp 10 khụng cao, nng lc hc tp ch yu l loi trung
bỡnh, thm chớ mt s hc sinh kh nng tớnh toỏn rt hn ch
- Hc sinh thng ớt chu tỡm tũi, khỏm phỏ v khụng thuc bi (li
hc)

2.2.2. Thc trng ca ti CCH TIP CN BI TON TNH
TCH PHN BNG PHNG PHP I BIN S
Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 3
SKKN: Tích phân đổi biến số
- Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong
bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến
- Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo
viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi.
- Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều,
thuôc bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ
thể kết quả kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như
sau:
Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8
Số lượng 15 8 5 7 3
- Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số
học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá
ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức.
2.2.3. Khó khăn của đề tài:
- Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ

nếu F '(x) = f(x)
với mọi x
K
.
nh lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K
thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
K
.
nh lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K
thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên
K
đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
L h tt c cỏc nguyờn hm ca f(x) trờn K
* Tớnh cht ca nguyờn hm
Tớnh cht 1:

ữ

=

( )d ' ( )f x x f x
v
= +

'( )d ( ) .f x x f x C
Vớ d :


d
ln
x
x
a
a x C
a
(a > 0, a 1)
= +

dx x C
= +

cos d sinx x x C


+
= +
+

1
1
d
1
x x x C
( 1)
= +

sin d cosx x x C

Hiu s F(b) F(a) c gi l tớch phõn t a n b ca f(x).
( ) ( ) ( ) ( )
= =

b
b
a
a
f x dx F x F b F a
TNH CHT CA TCH PHN

I) Tớnh chaỏt : Giaỷ sửỷ f(x), g(x) lieõn tuùc treõn K; a,b K
Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 6
SKKN: Tớch phõn i bin s
1)
( )
a
a
f x dx 0=

2)
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx=

3)
( ) ( )
b b
a a

f x g x , x a;b f x dx g x dx

8)
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
b
a
m f x M, x a;b m b a f x dx M b a

9)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
t
a
t bieỏn thieõn treõn ủoaùn a;b G t f x dx laứ 1 nguyeõn haứm cuỷa f t vaứ G a 0 = =

Phng phỏp i bin s
nh lớ 1: Cho hm s f(x) liờn tc trờn [a; b]. Gi s hm s x =

(t) cú o hm
liờn tc trờn on [

;

] sao cho

(

) = a,

tc trờn [a; b] v



u(x)



vi mi x

[a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u

(x), g(u)
liờn tc trờn [

;

] thỡ:
Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 7
SKKN: Tích phân đổi biến số

u b
b
a u a
f x dx g u du
( )
( )
( ) ( )
=
∫ ∫

1
2
0
2 1x dx+
∫
Giải:
( )
( )
1
1 1
3
2
2 2
0 0
0
4 13
2 1 4 4 1 2
3 3
x
x dx x x dx x x
 
+ = + + = + + =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫
Hoặc tính tích phân
( )
1
3

1
x
n
x
ax b dx+
∫
+ Bước 1: Đặt
dt
t ax b dt adx dx
a
= + ⇒ = ⇔ =
+ Bước 2: Đổi cận:
1 1 2 2
x x t ax b; x x t ax b= ⇒ = + = ⇒ = +
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
*Nhận xét:
Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần
thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ
dàng). Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của
hàm số bậc nhất mà thôi.
* Các ví dụ minh họa:
Tính các tích phân sau:
1)
( )
1
4
0
2 1x dx+
∫

dt
x dx t+ =
∫ ∫

3
5
1
242 121
10 10 5
= = =
t
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 9
SKKN: Tích phân đổi biến số
2)
( )
2
4
3
1
3 2x dx−
∫
. Đặt
3 2
3
dt
t x dt dx dx= − ⇒ = ⇔ =
. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 12 ⇒ t = 4
. Do đó ta có:
( )
2 4 4

( ) ( )
α α
α
+
+ = + +
+
∫
1
1
a d a
1
x b x x b C
(α ≠ −1)
( ) ( )
+ = + +
∫
1
cos d sinax b x ax b C
a
( )
( )
= + +
+
∫
1 1
d ln a
a
x x b C
a
x b

d
ln
mx n
mx n
a
a x C
m a
(a > 0, a ≠ 1)
( )
( )
= − + +
+
∫
2
1 1
d cot
sin
x ax b C
a
ax b
* Bài toán áp dụng
1)
( )
1
2
0
2 1x dx
−
+
∫

2
cos x dx
π
π
 
+
 ÷
 
∫
6)
4
0
2
2
sin x dx
π
π
 
−
 ÷
 
∫
Hướng dẫn giải
1)
( ) ( )
1
1
2 1
0
0

ln
x x
e dx e=
∫
4)
1
1
2
2
0
0
3
3
2 3
x
x
dx
ln
=
∫
5)
4
4
0
0
1
2 2
2 2 2
cos x dx sin x
π

a
x ax b dx
−
+
∫
hoặc
( )
2 1
b
n
k k
a
mx ax b dx
−
+
∫
* Nhận xét
Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể
là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau:
Tính tích phân:
( )
1
2
2
0
2x x b dx+
∫
ta giải như sau:

( ) ( )

+ Bước 2: Đổi cận:
1 1 2 2
k k
x x t ax b; x x t ax b= ⇒ = + = ⇒ = +
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
**** Chú ý đối với dạng:
( )
2 1
b
n
k k
a
mx ax b dx
−
+
∫
cách giải cũng tương tự nhưng
khi đổi biến nhớ suy ra
k
x
theo t
* Ví dụ minh họa
1) Tính tích phân:
( )
1
4
2
0
2 1x x dx−

4 20 20
dt t
t = =
∫
2) Tính tích phân:
( )
1
3
5 3
0
2x x dx+
∫
Giải:
+ Bước 1: Đặt
3 2 2
3
2 3
3
2
dt
t x dt x dx x dx
x t
= + ⇒ = ⇔ =
= −
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 12
SKKN: Tích phân đổi biến số
+ Bước 2: Đổi cận:
0 2 1 3x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
( )

* Phân tích ví dụ
Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích
phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên
ngoài 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số.
* Bài tập áp dụng:
1)
( )
1
3
2 3
0
2x x dx+
∫
2)
( )
1
3
5 3
0
2x x dx−
∫
3)
( )
1
2
3
3
0
2
2

dt
t x dt x dx x dx= + ⇒ = ⇔ =
2)
( )
1
3
5 3
0
2x x dx−
∫
Đặt
3 2 2 3
2 3 2
3
dt
t x dt x dx x dx; x t= − ⇒ = ⇔ = = +
3)
( )
1
2
3
3
0
2
2
x
dx
x +
∫
( gặp bài dạng này không có gì phải băn khoăn mà nên chú ý

x +
∫
Tương tự câu 3)
Đặt
3 2 2 3
2 1 6 2
6
dt
t x dt x dx x dx; x t= + ⇒ = ⇔ = = +
***** Mở rộng dạng này, nếu lũy thừa của hàm số dưới dấu tích phân thay bằng
căn thì ta cũng giải tương tự cụ thể ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính tích phân:
1
2
0
1x x dx+
∫
Rõ ràng dấu căn đóng vai trò như lũy thừa (thực ra thì căn là lũy thừa với số
mũ hữu tỷ mà thôi) ta giải ví dụ này như sau:
+ Bước 1: Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx tdt xdx= + ⇔ = + ⇒ = ⇔ =
+ Bước 2: Đổi cận:
0 1 1 2x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
1 2 2
2 2
0 1 1
1 .+ = =
∫ ∫ ∫

( ) ( )
1 2 2
2 2 2 4 2
0 1 1
1. 1 .+ = − = −
∫ ∫ ∫
x x xdx t t tdt t t dt
+ Bước 4:
( )
2
2
5 3
4 2
1
1

5 3
 
− = − =
 ÷
 
∫
t t
t t dt
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 14
SKKN: Tích phân đổi biến số
***** Như vậy khi day học sinh ta cần chú ý cho học sinh rằng dấu hiệu
nhận biết của dạng này là số mũ của x trong dấu căn hay lũy thừa hơn số mũ
của x bên ngoài 1 đơn vị hay kém hơn k – 1 đơn vị.
* Bài tập áp dụng:

0
1
x
dx
x +
∫
6)
1
3 2
0
1x x dx−
∫

7)
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
8)
1
2
3
0
1
x
dx

Hướng dẫn giải: Đặt
t =
c) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
( )
b
a
ku' x
dx
u x
∫
* Nhận xét
Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu
hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu.

* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt
( ) ( )
t u x dt u' x dx= ⇒ =
+ Bước 2: Đổi cận:
( ) ( )
x a t u a ; x b t u b= ⇒ = = ⇒ =
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 15
SKKN: Tích phân đổi biến số
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
1)
1
2

x x
+
+ +
∫
+ Bước 1: Đặt
( )
2
2 3 2 2t x x dt x dx= + + ⇒ = +
+ Bước 2: Đổi cận:
0 3 1 6x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
1 6
2
0 3
2 2
2 3
x dt
dx
t
x x
+
=
+ +
∫ ∫

+ Bước 4:
6
6
3
3

4 5
x dt
dx
t
x x
+
=
+ +
∫ ∫

+ Bước 4:
10
10
5
5
2
2 2 2
dt
t
t
= =
∫
ln ln
**** Đối với dạng bài tập này khi dạy cần chú ý cho học sinh là ta thử
tính đạo hàm của hàm số dưới mẫu rồi so sánh với hàm số trên tử.
* Bài tập áp dụng:
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 16
SKKN: Tích phân đổi biến số
1)
1

3)
( )
0
2
1
2 2
2 1
x
dx
x
−
−
+ +
∫
HD:
( )
0 0
2 2
1 1
2 4 2 4
4 5
2 1
x x
dx dx
x x
x
− −
+ +
=
+ +

− −
=
− +
− −
∫ ∫

Đặt
( )
2
3 2 2 3t x x dt x dx= − + ⇒ = −
5)
2
2
3 2
1
3 4
2 1
x x
dx
x x
+
+ −
∫
HD: Đặt
( )
3 2 2
2 1 3 4t x x dt x x dx= + − ⇒ = +
6)
( )
( )

x
−
−
=
− +
− +
∫ ∫

Đặt
( )
4 2 3
4 5 4 8t x x dt x x dx= − + ⇒ = −
7)
1
2
0
2 1
3
x
dx
x x
−
− +
∫
HD: Đặt
( )
2
3 2 1t x x dt x dx= − + ⇒ = −
10)
4

π
+
∫
HD: Đặt
1 3 3t cosx dt sinxdx= + ⇒ = −
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 17
SKKN: Tích phân đổi biến số
12)
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
HD:
π π π
+
= + = +
∫ ∫ ∫
4 4 4
1 2
2 2 2
0 0 0
1 sin2x 1 sin2x
dx dx dx I I
cos x cos x cos x
I

+ Bước 2: Đổi cận:
x a t lna; x b t lnb= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
Tính tích phân:
1
1 2ln+
∫
e
x
dx
x
Giải
+ Bước 1: Đặt
dx
t lnx dt
x
= ⇒ =
+ Bước 2: Đổi cận:
1 0 1x t ; x e t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
( )
1
1 0
1 2ln
1 2
+
= +
∫ ∫

=
2)
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
HD: Đặt
1 lnt x= +
3)
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
HD: Đặt
lnt x
=
4)
2ln 1
1
e
x
e
dx

∫
HD: Đặt
2
1 lnt x= +
e) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
( )
b
u x
a
e .u' x dx
∫
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt
( ) ( )
t u x dt u' x dx= ⇒ =
hay
( )
( )
( )
u x u x
t e dt u' x .e dx= ⇒ =
+ Bước 2: Đổi cận:
( ) ( )
x a t u a ; x b t u b= ⇒ = = ⇒ =
hay
( ) ( )
u a u b
x a t e ; x b t e= ⇒ = = ⇒ =


+ Bước 1: Đặt
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx= ⇒ = ⇔ =
+ Bước 2: Đổi cận:
0 0 1 1x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
hay
+ Bước 3:
2
1 1
0 0
2
x t
dt
e xdx e=
∫ ∫
+ Bước 4:
1
1
0
0
1 1
2 2 2
t t
dt e
e e
−
= =

4
1
x
e
dx
x
∫
HD: Đặt
t x=
4)
2
0
sinx
e xdxcos
π
∫
HD: Đặt
sint x=
5)
( )
4
2
0
1
tanx
e x dxtan
π
+
∫
HD: Đặt

x
e cosxdx
π
π
∫
HD: Đặt
sint x=
9)
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
HD: Đặt
cost x=
10)
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
HD: Đặt
2
2t x= +

sin
π
∫
xcos xdx
2)
2
3 2
0
sin
π
∫
xcos xdx
Giải:
1)
2
3 3
0
sin
π
∫
xcos xdx
+ Bước 1: Đặt
t sinx dt cosxdx= ⇒ =

+ Bước 2: Đổi cận:
0 0 1
2
x t ; x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

2)
2
3 2
0
sin
π
∫
xcos xdx
+ Bước 1: Đặt
t cosx dt sinxdx
= ⇒ = −

+ Bước 2: Đổi cận:
0 1 0
2
x t ; x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

+ Bước 3:
( )
( )
( )
0 1
2
3 2 2 2 2 2
0 1 0
sin 1 1
π
= − − = −

Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 22
SKKN: Tích phân đổi biến số
2)
4
0
tan xdx
π
∫
HD: Đặt t = cosx
3)
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
HD: Đặt t = sinx
4)
2
5
0
cos xdx
π
∫
HD: Đặt t = sinx
5)
2
2 3
0
2 1sin ( sin )x x dx

∫
Giải: + Đặt :
x sint dx costdt= ⇒ =
+ Đổi cận :
0 0 1
2
x t ; x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
+
1
2
2 2
0 0
1 1x dx sin t costdt
π
− = −
∫ ∫
+
2 2
2
0 0
1 sin t costdt cost costdt
π π
− =
∫ ∫
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 23
SKKN: Tích phân đổi biến số
2
2

Những dạng thường gặp:
+ Gặp biểu thức
2 2
a x−
Đặt :
x a sint=
hay
x a cost=
+ Gặp biểu thức
2 2
a x+
Đặt :
x a tant=
hay
x a cott=
+ Gặp biểu thức
2 2
x a−
Đặt :
a
x
cost
=
hay
a
x
sint
=
Ví dụ:
Tính tích phân

2
1
4
2 2
0 0
1
1 1
tan t dx
dx
x tan t
π
+
=
+ +
∫ ∫
+ Bước 4:
( )
2
4 4
2
0 0
1
4
1
tan t dx
dx
tan t
π π
π
+

∫
3 3
2
2
3
2
dx
9 4x
HD: đặt
3
2
x tant=
4)
−
−
+ +
∫
3 3
2
2
1
dx
4x 12x 10
HD: đặt
2 3x tant
+ =
2.4 Hiệu quả của SKKN
Với tinh thần thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên trong năm qua đạt
được những kết quả như sau:
Với học sinh, cụ thể là lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011