Tích phân Trần Só Tùng
Trang 92

Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác đònh có hai dạng cơ bản (ngoài ra
còn dạng 3) dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a. Nếu f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm trong [a ; b] thì:

(b)
(b)
(a)
(a)
f(u)duF(u)
j
j
j
j
=
ò

b. Nếu hàm số f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn [a ; b], hàm số x = j(t) xác đònh và
(i) Tồn tại đạo hàm j’(t) liên tục trên đoạn [a; b]
(ii) j ( a ) = a và j(b) = b.
(iii) Khi t biến đổi từ a đến b thì x biến thiên trong đoạn [a ; b]
Khi đó:
b
a

xasintvới/2t/2
xacostvới0t
é=-p££p
ê
=££p
ë

22
xa-
a
xvớit[;]\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
=Ỵ-
ê
ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax+
xatgtvới/2t/2
xacotgtvới0t
é=-p<<p

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt
Đổi cận: với x= 0 Þ t = 0;
2
xt.
24
p
=Þ=
Ta có:
2222
22
xdxsint.costdtsint.costdtsintcostdt1
(1cos2t)dt.
costcost2
1x1sint
====-
--

Khi đó:
/4
/4
0
0
1111
I(1cos2t)dttsin2t.
22284
p
p
p
ỉư


Khi đó:
/2/2
2
/2
/3
/3/3
2
1
costdt
sint
dtt
1
6
1
sint1
sint
pp
p
p
pp
-
p
===
-
òò

Chú ý: Cũng có thể sử dụng phép đổi:
2/3
2

/3
Iduu.
6
p
p
p
p
p
===
ò

Đó chính là lời giải có thể bổ sung (để phù hợp với hạn chế chương trình của Bộ
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 94
GD&ĐT) hầu hết các tài liệu tham khảo trước đây.
Ví dụ 3: Tính tích phân :
0
a
ax
Idx,(a0)
ax
+
=>
-
ò

Giải:
Đặt xa.cos2t,khiđó:dx2a.sin2tdt.==-
Đổi cận: với xat
2

=-+=--=-
ç÷ç÷
èøèø
ò
.

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân
b
a
If(x)dx.=
ò

Giải:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác đònh x =
y(x) (nếu có thể).
Bước 2: Xác đònh vi phân dx = j’(t)dt
Bước 3: Tính các cận a và b tương ứng theo a và b
Bước 4: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
Bước 5: Khi đó: Ig(t)dt.
b
a
=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

Dấu hiệu Cách chọn
Hàm có mẫu số t là mẫu số
Hàm f(x,(x))j t(x)=j

I
sinx5sinx6
p
p
=
-+
ò

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx
Đổi cận: với
1
xt
62
p
=Þ= ;
3
xt
32
p
=Þ=
Ta có:
22
cosdxdtdt
(t2)(t3)sinx5sinx6t5t6
==
---+-+

AB[(AB)t2A3B]dt
dt

3/2
3/2
1/2
1/2
11t33(63)
Idtlnln
t3t2t2
5(43)
--
ỉư
=-==
ç÷
---
èø
-
ò

Ví dụ 5: Tính tích phân :
7
3
3
2
0
xdx
I
1x
=
+
ò


1
tt141
I3(tt)dt3.
5210
ỉư
=-=-=
ç÷
èø
òBài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tính tích phân
b
a
If(x)dx.=
ò

Giải:
Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích
phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường:
· Với
a
a
If(x)dx0
-
==
ò
có thể lựa chọn việc đặt x = –t
· Với
/2

ò
có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t
Ghi chú: Xem vấn đề 6
Ví dụ 6: Tính tích phân :
1
2004
1
Ixsinxdx
-
=
ò

Giải:
Viết lại I về dưới dạng:
01
20042004
10
Ixsinxdxxsinxdx.
-
=+
òò
(1)
Xét tích phân
0
2004
1
Jxsinxdx.
-
=
ò

Giải:
Đặt txdxdt
2
p
=-Þ=-
Đổi cận: với x = 0 Þ t =
2
p
; xt0.
2
p
=Þ=
Khi đó:
4
0/2/2
44
4444
44
/200
cos(t)(dt)
sintdtsinx
2
Idx.
costsintcosxsinx
cos(t)sin(t)
22
pp
p
p
--