[email protected]
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x−
Đặt x = |a| sint; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc x = |a| cost; với
[ ]
0;t
π
∈
2 2
x a−
Đặt x =
a
sint
; với
{ }
; \ 0
2 2
t
π π
 

0;t
π
∈
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
Đặt x = acos2t
( ) ( )
x a b x− −
Đặt x = a + (b – a)sin
2
t
2 2
1
a x+
Đặt x = atant; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷
 

π
t 1 0
Khi đó:
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
=
0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t
π
−
−
∫
=
4
2
0

( )
tan
4
0
t t
π
−
=
1
4
π
−
. (vì
0;
4
t
π
 
∈
 
 
nên sint
0 sin sint t≥ ⇒ =
)
Bài 2: Tính
2 2 2
0
a
I x a x dx= −
∫

sin 1 sin .a t a t acostdt
π
−
∫
=
2
4 2 2
0
sina tcos tdt
π
∫
=
4
2
2
0
sin 2
4
a
tdt
π
∫
=
=
( )
4
2
0
1 4
8

Giải:
Đặt x = sint,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = costdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0
2
π
Khi đó:
1
2 2
0
1I x x dx= −
∫
=
2
2 2
0
sin 1 sin .t t costdt
π

cos t dt
π
−
∫
=
1 1
sin 4
2
8 4
0
t t
π
 
−
 ÷
 
=
16
π
Bài 4: Tính
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt t =
2
1 x−


=
( )
1
2 4
0
t t dt−
∫
=
3 5
1
0
3 5
t t
 
−
 ÷
 
=
2
.
15
Bài 5: Tính
2
5
ln
e
e
dx
I
x x

=
4
2
1 15
.
1
4 64t
 
− =
 ÷
 
[email protected]
Bài 6: Tính
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
Giải:
Đặt t = x
4
+ 1
⇒
dt = 4x
3
dx
3
4

5
0
sinI xcoxdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0 1
Khi đó:
1
2
5 5
0 0
1
sin
6
I xcoxdx t dt
π
= = =
∫ ∫
.
Bài 8: Tính
12
4

Khi đó:
1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t
π π
= = = − = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 9: Tính
2
5
0
I cos xdx
π
=
∫
Giải:
Ta có:
( )

I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
π π π π
 
= = − = − = − + = − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 10: Tính
4
4
0
1
I dx
cos x
π
=
∫
Giải:
Đặt t = tanx ;
2
1
dt dx
cos x
⇒ =
Đổi cận:
x 0
4
π
t 0 1
Khi đó:

π
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
⇒ =
Đổi cận:
x
6
π
2
π
t
1
2
1
Khi đó:
1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1 .
1
s s 2

Khi đó:
( ) ( ) ( )
1 1
4 6
2 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1
sin sin 1 sin 1 .
0
4 6 12
t t
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
π π
 
= = − = − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx
π
=

sin 2
1
x
I dx
cos x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt t = 1 + cos
2
x ;
s 2 s 2dt in xdx in xdx dt
⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
x
0
2
π
t 2 1
Khi đó:
( )
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2.

x
0
4
π
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
( )
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
1 1 2 1 2 2 1
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln 2 1 ln 2 .
0
2 2 2 2 2
d t
t t t t

x
0
1
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1
1 1
2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .
0
1 1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
 
= = = − = − + = −
 ÷
+ +
+
 
∫ ∫ ∫
Bài 17: Tính
1
33 4
0

1
2 4
I dx
x x
−
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( )
( )
0 0
2
2
2
1 1
1 1
2 4
1 3
dx dx
x x
x
− −
=
+ +
+ +
∫ ∫
Đặt
1 3 tanx t+ =

π
−
= = = =
+ +
∫ ∫
Bài 19: Tính
1
3
8
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
( )
1 1
3 3
2
8
4
0 0
1
1
x x
dx dx

3 3 2
4 4
2
8 2
4
0 0 0 0
1 1 tan 1 1
.
4
1 4 1 tan 4 4 16
1
0
x x t
I dx dx dt dt t
x t
x
π π
π
π
+
= = = = = =
+ +
+
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 20: Tính
1
1 ln
e
x
I dx

x t
I dx t tdt t dt
x
−
+
= = = = =
∫ ∫ ∫
Bài 21: Tính
( )
1
0
ln 2
2
x
I dx
x
−
=
−
∫
Giải:
Đặt
( )
ln 2
2
dx
t x dt
x
−
= − ⇒ =

I dx
x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
sin tanx t
=
với
( )
2
; 1 tan
2 2
t cosxdx t dt
π π
 
∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0
4
π
Khi đó:
2

tan 1 tan
2 2 2 1
x x dt
t dt dx dx
t
 
= ⇒ = + ⇒ =
 ÷
+
 

[email protected]
Ta tính:
2
2
1 1 2 1
.
2
sin 1
1
tdt
dx dt
t
x t t
t
= =
+
+
Đổi cận:
x

1
1 ln
e
I dx
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
1 ln
dx
t x dt
x
= + ⇒ =

Đổi cận:
x 1 e
t 1 2
Khi đó:
( )
2
1 1
2
1
ln ln 2.
1
1 ln
e
dt

1 1 1 1 1
0 0
3 3 3 3 3 3
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e= = = − = − =
∫ ∫ ∫
Bài 26: Tính
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2

 
= =
− +
 
− +
− +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Đặt
2
1 1
1t x dt dx
x x
 
= − ⇒ = +
 ÷
 

Đổi cận:
x 1
1 5
2
+
[email protected]
t 0 1
Khi đó:
1
2
0

t u
π π
π
π
+
= = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 27: Tính
2
3
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x
=
+ +

ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
2 1
2 2
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
t t
t
 
= = = = − =
 ÷
− − +
 
+ +
 
 −  − +
= − − + = = − = =
 ÷
 ÷
 ÷
+
+
−
 
 

=
+ +
+
∫ ∫
Đặt
1t x dt dx= + ⇒ =

Đổi cận:
x 0 2
t 2 3
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 2
2 2 3 3
3 3
2
2 2 2
0 0 1 1
3
2
2 2 2
1
3 3 3 1
3 1
3 3

∫
[email protected]
Bài 29: Tính
ln2
2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e
+
=
+ +
∫
Giải:
Đặt
x x
t e dt e dx= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 ln2
t 1 2
Khi đó:
( ) ( )
ln2 ln 2 2 2
2

( )
4
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
2
2x t dx tdt= ⇒ =

Đổi cận:
x 1 4
t 1 2
Khi đó:
( )
( ) ( )
( )
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
1 1 1
1
2

sin , 0;
2
x t t dx costdt
π
 
= ∈ ⇒ =
 
 

Đổi cận:
x 0 1
t 0
2
π
Khi đó:
( ) ( )
( )
( )
2
1
2 2 2 2
3 3
2 2 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
2
0
1 2

2
0
1 sin 4 3
4 . .
2
8 16 8 4 8 16 16
0
t
s tdt
π
π
π π π π π
= + + = + =
∫
[email protected]
Bài 32: Tính
2
3
6
I cos xdx
π
π
=
∫
Giải:
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2
3 2 2 2

π
=
+
∫
Giải:
4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
2 2
2
0
sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin 2 2
1
sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln 2
4
1
2 2 2
1 sin 2
0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x

( )
( )
( )
2
3 2
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2
2
sin s 2 sin sin 2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
π π π π
π π π π
π π π
π π π
π
π
−
= = = = − =

sin
sin
2
ln sin ln 2
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx
π π
π π
π
π
− +
−
 
= = = − + =
 ÷
+ +
 
∫ ∫
[email protected]
Bài 36: Tính
2
3
0
sinI xdx
π
=

Giải:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
3
2
0
2
4 3 4 1 sin 3
3 4 3
. . sin
sin sin sin sin
1 1
4sin sin 4. sin ln sin
sin1 2
cos x x
cos x cos x cosx
I dx dx cosxdx d x
x x x x
x d x x x C
π
− − −
−
= = = = =
 
= − + = − + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫

1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
• Đặt
2
2t x dt xdx= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
1 1
2
4 2
0 0
1
1 2
1 3
2 4
x dt
I dx
x x
t
= =
+ +

2 4
4
dt dy
I
t
y
= =
   
+ +
+
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
• Đặt
3 2
4
3
z y dz dy= ⇒ =

[email protected]
Đổi cận:
y
1
2
3
2
z
1

 ÷
 
∫ ∫ ∫
• Đặt
( )
2
tan 1 tanz u dz u du= ⇒ = +

Đổi cận:
z
1
3
3
u
6
π
3
π
Ta được:
3
2
3
2 2
1
6
3
1 1 1 tan 1
3
1 1 tan
3 3 3 6 3

t dt
t x x dx
−
= + ⇔ = ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 3
Khi đó:
( )
1 3 3
2
2 2
0 1 1
1
3
1 1 1 1 1 1 2
2
. ln ln3
1
2 4 4 4 3
2 1
t
x dt
I dx dt t
t t t t
x
−
     
= = = − = + = −

1 1 2 1 2
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t
−
= + = − = − + = − + =
 
= − + = − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
[email protected]
Bài 42: Tính
2
0
1
dx
I
cosx
π
=
+
∫
Giải:
2 2 2
2 2

Ta có:
1 1
15 8 8 8 7
0 0
. 1 3 . . 1 3 .x x dx x x x dx+ = +
∫ ∫
• Đặt
8 7
1 3 24
24
dt
t x dt x dx dx= + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 4
Khi đó:
(
)
5 3
1 1 4 4
2 2
3
1
15 8 8 8 7
2 2
0 0 1 1
4
1 1 1 1 29
. 1 3 . . 1 3 . . .

)
(
)
(
)
( )
(
)
3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1 1. 1.
0
5 5

3 3 5 3
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
5 3
2 2
2 2
1 1 1 1 1 2
1 .
1 1
2 2 2 2 5 3
2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 3 5 3 15 15 15
J t t dt t t dt t dt t dt t t= − = − = − = − =
= − − + = − + = +
∫ ∫ ∫ ∫
Vậy
2 2 1
15 15
I = −
[email protected]
Bài 45: Tính
4
2
0
sin 4
1
x
I dx
cos x

t 2
3
2
Khi đó:
( )
( )
3 3
2
2 2
3
2 2
2
2
2 2 3
6 6
4 4 4 6ln
3
2
3 3 4
4 2 6 ln 2 ln 2 6ln
2 2 3
t dt
I dt dt t t
t t t
− −
   
= = − + = − = − =
 ÷  ÷
   
   

4
dx dx dx dx
I x
x
x cosx
cos x
cos x
π π π π
π π π π
π
π
π
π
π
 
= = = = = − =
 ÷
+
 
 
+
 
 
−
 ÷
−
 ÷
 
 
 

x cosx x cosx
π π
− +
=
+ + + +
∫ ∫
• Đặt
( )
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx= + + ⇒ = −

Đổi cận:
x 0
4
π
t 2
2 2+
[email protected]
Khi đó:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 2 3 2
0 0
2
1 2 1 1 1 1 1 12 2
3 9
2 2 6 4 2
0
1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 9 4 2 5
9 9 9

Giải:
Ta có:
( ) ( )
4 4
0 0
sin sin
s 2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
π π
− +
=
+ + + +
∫ ∫
• Đặt
( )
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx= + + ⇒ = −

Đổi cận:
x 0
4
π
t 2
2 2+
Khi đó:
( )
( )

2
0
sin 2 1 sinI x x dx
π
= +
∫
Giải:
• Đặt
2
1 sin 2 2sin sin 2t x dt xcosxdx xdx= + + ⇒ = =

Đổi cận:
x 0
2
π
t 1 2
Khi đó:
( )
2
4
2
3
2 3
0 1
2
1 15
sin 2 1 sin 4
1
4 4 4
t

x 0
2
π
t 1 0
Khi đó:
( ) ( )
0 1
2 3 4
2 3 2 3
1 0
1
2 17
2 2
0
2 3 4 12
t t t
I t t t dt t t t dt
 
= − + + = + + = + + =
 ÷
 
∫ ∫
Bài 51: Tính
2
2 2 2 2
0
sin
sin
xcosx
I dx

2 2 sin
sin sin
sin
tdt b a xcosxdx
t b a x a t b a x a
tdt
xcosxdx
b a

= −

= − + ⇒ = − + ⇒

=

−


Đổi cận:
x 0
2
π
t |a| |b|
Khi đó:
( )
2 2
2 2
2 2
1 1
.

3
3 2
3
2
3 2 3 2 3 3 ;
3
t
t x t x t dt dx x
−
= + ⇒ = + ⇒ = =

Đổi cận:
x 0 2
t
3
2
2
Khi đó:
( )
3 3
3
2 2
5 2
2 4
3
2 2
2
2
1 1 1 42 4 2 37 4 2
3

• Đặt
( )
2 2 2
2 2
9 9 0 ;
9
dx tdt tdt
t x t x t tdt xdx
x x t
= + ⇒ = + > ⇒ = = =
−

Đổi cận:
x
7
4
t 4 5
Khi đó:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
4
9 6 3 6 4
dt t
t t
−
= =

4
π
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
1 2 3
1 1
2 2
2 2
0 0
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 1
0 0 0
J J J
dt t dt tdt dt
I dt
t t t t
t t t
 
−
 
= = − = − +
∫ ∫ ∫
+ + + +
+ + +

ln 1
0
2 1 4 1 4 4
d t
tdt
J t
t t
+
= = = + =
+ +
∫ ∫
 Tính:
1
4
3
2
0 0
1 1
2 1 2 8
dt
J du
t
π
π
= = =
+
∫ ∫
(với t = tanu)
Vậy
ln 2 ln 2 ln 2

sint cosx dt xdx= ⇒ = −

Đổi cận:
x
3
π
2
π
t
1
2
0
Khi đó:
( )
1 1 1 1
0
2 2 2 2
2 2
1
0 0 0 0
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln
2
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2
0
dt dt dt dt
I dt t t
t t t t t t

x x xdx x
I dx dx
cos x cos x cos x
+
= = +
∫ ∫ ∫
14 2 43 14 2 43
 Tính
3
1
2
0
xdx
I
cos x
π
=
∫
Đặt
2
1
tan
u x
du dx
v x
dv dx
cos x
=

=

π π π
π
= = − = − = + = + =
= +
∫ ∫ ∫ ∫
 Tính
( )
3 3
2
2 2
0 0
sin 1
2 1 1
3
0
d cosx
x
I dx
cos x cos x cosx
π π
π
−
= = = = − =
∫ ∫
Vậy
3
ln 2 1
3
I
π

2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1. 1. 1.
0
5 5
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x
x x x x
x
x x dx x x x xdx x x xdx
+ − + −
= = = = + − =
+ −
+ +
+ + + −

5 2 5 2 3 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
I t t dt t t dt t dt t dt
t t
= − − = − − = − + −
 
= − + − = − + − − + = − + − = − +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
[email protected]
Bài 58: Tính
1
1
5 4
x
I dx
x
−
=
−
∫
Giải:
• Đặt
5 4 4t x dt dx= − ⇒ = −

Đổi cận:
x -1 1
t 9 1
Khi đó:
( ) ( )

Bài 59: Tính
9
3
1
1I x xdx= −
∫
Giải:
• Đặt
1t x dt dx= − ⇒ = −

Đổi cận:
x 1 9
t 0 -8
Khi đó:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
9 8 0
7
4
4 7
3 4
3 3 3
3 3
1 0 8
0
3 3 3 3 468
1 1 2 2
8

2
6 6 6
2
3 sin sin
3 1
sin sin
sin sin
6
2 2
dx dx dx
I
x xcosx
x x
x x cosx
π π π
π π π
π
= = = =
   
+
+
+
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )

 ÷
+
 
∫ ∫ ∫
∫
[email protected]
( )
( )
( )
( )
( )
3 3
6 6
3 tan 1
tan
1
3 3
2 2 2 ln tan 2 ln 3 tan 1 2 ln 3 ln 2 ln 4 ln 2
tan
3 tan 1 3
6 6
3
2ln 3 2ln 2 ln
2
d x
d x
x x
x
x
π π


Đổi cận:
x 0 1
t 1 e
Khi đó:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
2
2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 1 1
2
2 2 2
2 2
1
1 2 1
3 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
. ln ln 3 2 ln
1
2 3 3 6 6 4
e e e e
x
e
d t
dx dt tdt tdt

I
x
−
=
+
∫
Giải:
• Đặt
11 5 5t x dt dx= + ⇒ =

Đổi cận:
x -2 1
t 1 6
Khi đó:
( )
1 6
2
2
2 1
6
1 1 1 1 1
1
5 5 30 5 6
11 5
dx dt
I
t t
x
−
−

sin 1 0 1 1
0
e
x
I dx tdt cost cos cos cos
x
= = = − = − + = −
∫ ∫
Bài 64: Tính
5
2
3
9I x dx= −
∫
Giải:
[email protected]
• Đặt
2
2
2 2 2
2
2
9
9
2
9 9 9
9
2 2 2
t
t x x x

 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫
Bài 65: Tính
( )
4
2
12
1
sin
I dx
x cosx
π
π
−
=
+
∫
Giải:
( )
4 4
2
2
12 12
1 1 1 1 3
4
cot
2 2 4 2

• Đặt
2t x dx td= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:
1
0
2 sinI t tdt=
∫
Đặt
sin
u t du dt
dv tdt v cosx
= =
 
⇒
 
= = −
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
1 1 1
2 2 2 2 sin 2 sin1 1
0 0 0
I tcost costdt tcost t cos= − + = − + = −
∫

x
I xe dx=
∫
Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
=

=


⇒
 
=
=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
( )
( )
1 1 1

dx
v x
dv
s x
=

=


⇒
 
=
=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
( )
3 3 34
2
0 0 0 0
3 sin 3 3 3
tan tan ln ln 2
3 3
3 3 3 3
0 0
d cosx
x x
I dx x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx

=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2 2
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx= = − = −
∫ ∫ ∫
Tiếp tục tính:
1
0
x
J xe dx=
∫
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 

x
du dx
u x
v e
dv e dx
−
−
=

= +


⇒
 
= −
=



Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
3
0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 2 5
3 1 3 1 3 1 3 1

 ÷
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
•
2 2
2
0
2
2 8
0
x
xdx
π
π
π
= =
∫
• Tính
2
0
2xcos xdx
π
∫
Đặt
1
2
sin 2
2
du dx

2
2
2
0
4
sin
16
I x xdx
π
π
+
= =
∫
Bài 6: Tính
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
Giải:
Ta có:
2 2
sin sin
0 0
sin 2 2 sin
x x

⇒
 
= =
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1 1
0 0
1 1 1
1
0 0 0
t t t t t
te dt te e dt te e= − = − =
∫ ∫
Vậy I = 2
Bài 7: Tính
( )
1
4 1 ln
e
I x xdx= +
∫
Đặt
( )
2
ln
4 1
2
dx
u x
du

( )
1
2
0
ln 1I x x dx= +
∫
Đặt
2
1 2t x dt xdx= + ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
( )
1 2
2
0 1
1
ln 1 ln
2
I x x dx tdt= + =
∫ ∫
Đặt
ln
dx
u t
du
t
dv dt

∫
Bài 9: Tính
( )
2
6
ln sinI cosx x dx
π
π
=
∫
Đặt
( )
ln sin
sin
os
sin
cosx
u x
du dx
x
dv c dx
v x

=
=
 
⇒
 
=
