Tích phân Trần Só Tùng
Trang 14

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a/ Nếu
f(x)dxF(x)Cvàu(x)=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm thì
f(u)duF(u)C=+
ò
.
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
f(x)dxf[(t)].'(t)dt.=jj
òò

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=

êú
ëû
ê
p
ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax+
xatgtvớit
22
xacotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
ê
=<<p
ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t


Khi đó:
2
x
Id(tdt)tgtCC.
1x
==+=+
-
ò

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
233
2
x
(1x)costvàtgt
1x
-==
-

là bởi:
2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï

ú
2222
333
2
xdx2dt2(costsint)dt
sin2t8sintcost
x1
+
=-=-
-22
222
1111
(cotgt.tgt.)dt
4sintcostsintcost
11121
(cotgt.tdt.)
4sintcosttgtcost
1d(tgt)
[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2].
4tgt
=-++
=-++
=--++

Khi đó:
1d(tgt)
I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]

-
===-
22
2
sint2sint1cos2t1cos2t
cost2sint.costsin2tsin2t
sin2t
= --
2
11
1
sin2t
sin2t

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 16
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I
(1x)
=
+
ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<< . Suy ra:

2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost
1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
==
ï
+
ỵ

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:

222k1
dx
I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
ò
=
++

xx
ttg(vớicos0)
22
=¹
Hàm
1
f(x)
(xa)(xb)
=
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
txaxb=+++
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
txaxb=-+--

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x=- . Suy ra: dt6xdx=


Giải:
Đặt:
2
t1xx1t=-Þ=-
Suy ra:
222
42
xdx(1t)(2tdt)
dx2tdt&2(t2t1)dt
t
1x
--
=-==-+
-

Khi đó:
425342
122
I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC
5315
ỉư
=-+=--++=--++
ç÷
èø
ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC

-
ỉư
-=-=-=-
ç÷
èø

Khi đó:
7485632
33113
I(tt)dtttC(5t8t)tC
8885320
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò22222
3
3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
=----+

4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320

ò3
2
(cosx7cosx)cosxC.
21
=-+
Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:
3
2
cosx.sinxdx
I
1sinx
=
+
ò

Giải:
Đặt:
22
t1xx1tat1sinx=-Þ=-=+
Suy ra: dt2sinxcosxdx,=

32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-

1
dtdx,
sinx
=-

22
2222
862422
222
cosxdxcosxdx1dxdx
cotgxcotgx.(1cotgx)
sinxsinxsinxsinxsinxsinx
t.(1t)dt.
===+
=+

Khi đó:
22642753
121
It.(1t)dt(t2tt)dttttC
753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò753
1

2(1)dt
eee(1e)e(1e)1tt1
-
--
-
====+
-----