Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-
òò

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12
If(x)dxf(x).f(x)dx.==
òò

+ Bước 2: Đặt:
1
2
uf(x)
du
dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ

22
2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+
ì
ì
ï
=++
+
ï
ï
==
Þ
íí
+++
=
ïï
+
ỵ
ï

=
ỵ

Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+
ò
(1)
Xét Jsin(lnx)dx.=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx.
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I=-=-

Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
2
, như sau:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=-
ì
ï
Þ
íí

2
uln(cosx) sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí
=
ïï
=
ỵ
ỵ

Khi đó:
2
2
1
Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx
cosx
ỉư
=+=+-
ç÷
èø

ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+a
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+
ò

trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx (2)a=+a++
Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính :
2
Ix.sinxdx=
ò
(ĐHL_1999)

=
ì
ï
+
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó:
x1x1
Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC.
2224
=-=++
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2
1x1
Ixsin2xcos2xC.
448
=+++
Ví dụ 5: Tính :
32
I(xx2x3)sinxdx.=-+-
ò

a0a1
3ab03ab1
(I)và(II)
2bc02bc2
cd0cd3
=-=
ìì
ïï
+=-=-
ïï
íí
+=-=
ïï
ïï
+=-+=-
ỵỵ

Giải (I) và (II), ta được:
11112222
a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.=-======-=-
Khi đó:
322
I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.=-++++-++

Bài toán 3: Tính
( )
axax
Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.=¹
òò


aa
=+
ò

+ Bước 2: Xét
ax
Jesin(bx)dx.=
ò

Đặt
ax
ax
dubcosx(bx)dx
usin(bx)
1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ


trong đó A, B là các hằng số.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 26
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

axaxax
ax
e.cos(bx)b[Asin(bx)Bcos(bx)]ea[Acos(bx)Bsin(bx)]e
[(AaBb).cos(bx)BaAb)sin(bx)]e.
=-+++
=++-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
22
22
a
A
AaBb1
ab
BaAb0b
B
ab
ì
=
ï
+=
ì
ï
+

1
, như sau:
Đặt:
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
12
1b1b
Iecos(bx)esin(bx)dxecos(bx)I.(3)
aaaa

21
1b1b
Iesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(4)
aaaa
=-=-
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: axax
12
2222
[a.cos(bx)b.sin(bx)]e[a.sin(bx)b.cos(bx)]e
IC.IC.
abab
+-
=+=+
++

2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân:

ax2ax2
12
Jesin(bx)dxvàJecos(bx)dx.==
òò

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
x2
Ie.cosxdx.=

Khi đó:
xx
Jecos2x2esin2xdx(2)=+
ò

· Xét:
x
Kesin2xdx.=
ò

Đặt:
xx
usin2xdu2cos2xdx
dvedxve
==
ìì
Þ
íí
==
ỵỵ

Khi đó:
xxx
Kesin2x2ecos2xdxesin2x2J(3)=-=-
ò

Thay (3) vào (2), ta được:

xxx
1

2a1a1/2
2(2cb)1b1/10.
2(c2b)0c1/5
==
ìì
ïï
+=Þ=
íí
ïï
-==
ỵỵ

Vậy:
x
1
I(5cos2x2sin2x)eC.
10
=+++
Bài toán 4: Tính
x
IP(x)edx
a
=
ò
với P là một đa thức thuộc R[X] và
*
R.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 28
+ Bước 1: Ta có:
xx
IP(x).e.dxA(x)eC.(1)
aa
==+
ò

trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x)
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

xx
P(x).e[A'(x)A(x)].e(2)
aa
=+a
Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được A(x).
+ Bước 3: Kết luận
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
· Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
· Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 7: Tính :
3x

=-=-+
ò

Ví dụ 8: Tính :
322x
I(2x5x2x4)edx=+-+
ò

Giải:
Ta có:
322x322x
I(2x5x2x4)edx(axbxcxd)eC.(1)=+-+=++++
ò

Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

322x322x
(2x5x2x4)e[2ax(3a2b)x(2b2c)xc2d]e(2)+-+=++++++
Đồng nhất đẳng thức ta được:
2a2a1
3a2b5b1
2b2c2c2
c2d4d3
==
ìì
ïï
+==
ïï
Û
íí

=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
a+
ỵ

Khi đó:
111
2
xxxx
IlnxdxlnxC.
111(1)
a+aa+a+
=-=-+
a+a+a+ a+
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 29
Ví dụ 9: Tính
2
Ixln2xdx.=
ò

Iln2xxdxln2xC.
339
==-+
ò

BÀI TẬP
Bài 16. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x)lnx;= b/
22x
f(x)(x1)e=+ ; c/
2
f(x)xsinx;=
d/
x
f(x)esinx;= e/ f(x)x.cosx;= f/
x2
f(x)e(1tgxtgx).=++
ĐS: a/
xlnxxC-+
b/
22x
1
(2xx3)eC;
4
-++
c/
2
(2x)cosx2sinxC;-++ d/
x
1

2(x1)eC;-+ b/
2
lnx
2lnx2xC;
x
--+
c/
32
(x1)(x1)sin2x(x1)cos2xsin2x
C;
6448
+++
++-+
d/
2x
e
(3sin3x2cos3x)C;
13
-
-+ e/
[ ]
x
sin(lnx)cos(lnxC;
2
++
f/
22
xK
xKlnxxKC.
22

tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)g(x)± dễ xác đònh hơn so với
hàm số f(x), từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
+ Bước 2: Xác đònh các nguyên hàm của các hàm số f(x)g(x),± tức là:

1
2
F(x)G(x)A(x)C
(I)
F(x)G(x)B(x)C
+=+
ì
í
-=+
ỵ

+ Bước 3: Từ hệ (I), ta nhận được:
1
F(x)[A(x)B(x)]C
2
=++
là họ nguyên hàm của hàm số f(x).

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số:
sinx
f(x).
sinxcosx
=
-

-
-==Þ-==+
-
òò
ò

Ta được:
1
2
F(x)G(x)lnsinxcosxC
1
F(x)(lnsinxcosxx)C.
2
F(x)G(x)xC
ì
+=-+
ï
Þ=-++
í
-=+
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số:
4
44
cosx
f(x)
sinxcosx
=

f(x)g(x)
1
sinxcosx(cosxsinx)2cosx.sinx
1sin2x
2
--
-===
++-
-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 31
2
2
2cos2xd(sin2x)1sin2x2
F(x)G(x)dxlnC
2sin2x
sin2x2
22sin2x2
-
Þ-==-=-+
-
-
+
òò

Ta được:
1
2
F(x)G(x)xC

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:
22
1
22
2
f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2sin2xF(x)G(x)2sin2xdxcos2xC
f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2cos2x.sin2xsin4x
1
F(x)G(x)sin4xdxcos4xC
4
+=+=Þ+==-+
-=-=-=-
Þ-=-=+
ò
ò

Ta được:
1
2
F(x)G(x)cos2xC
11
F(x)cos2xcos4xC.
1
24
F(x)G(x)cos4xC
4
+=-+
ì
ï
ỉư

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có:

xx
xx
xxxx
xx
1
xxxx
xx
2
xx
ee
f(x)g(x)
ee
eed(ee)
F(x)G(x)dxlneeC
eeee
ee
f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC.
ee
-
-
--
-
--
-
-
+
+=
-

BÀI TẬP
Bài 19. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a/
sinx
f(x);
sinxcosx
=
+
b/
2
f(x)sinx.cos2x.= c/
x
xx
e
f(x)
ee
-
=
+

ĐS: a/
1
(xlnsinxcosxC;
2
-++ b/
11
(sin2xsin4xx)C;
44
--+ c/
xx

ò
(1)
2.
22
dx1xa
lnC,vớia0
2axaxa
-
=+¹
+-
ò
(2)
Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
42
xdx
I
x2x2
=
--
ò

Giải:
Ta có:
2
422222
dxxdx1d(x1)
2x2x2(x1)3(x1)3
-
==
------

dt2xdx&..
2(x1)3t3
==
---

Khi đó :
2
2
2
1dt11t31x13
I.lnClnC.
22
t3
23t343x13
---
==+=+
-
+-+
ò