Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 1 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững hai công thức đổi biến số
- HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài toán liên quan
II/ Nội dung bài dạy
* Công thức đổi biến số dạng 1
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
* Quy tắc đổi biến số dạng 1:
* Công thức đổi biến số dạng 2
( )
( )
( ( )) '( ) ( )
b
b
a a
f x x dx f t dt
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
=
∫ ∫
* Quy tắc đổi biến số dạng 2:

4
2
)13(
12
dx
x
x
4)
∫
+
32
5
2
4
1
dx
xx
5)
∫
++
e
dx
x
xxx
1
ln)ln31(
6)
∫
+
3ln

1
1
1
x
dx
x x
+
+
− +
∫
10)
7
2
7
7 2
1
1
(1 )
x
dx
x x
−
+
∫
11)
11 4
1
dx
x x+
∫

dx
x x
π
+
∫
15)
2
4
sin cos
3 sin 2
x x
dx
x
π
π
+
+
∫
16)
2
6 3 5
0
1 cos sin cosx x xdx
π
−
∫
17)
3
4
6

x
x x dx+
∫
22)
2
2 2
0
4x x dx−
∫
23)
1
4 2
0
4 3
dx
x x+ +
∫
24)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫
25)
1

2
2
2
3
1
x dx
x −
∫
29)
2
cos
dx
x x
∫
30)
3
3 2
2
0
1
x x
dx
x
+
+
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 2 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững công thức tích phân từng phần và hiểu bản chất công thức

(3 1) sin(4 )
3
x x dx
π
π
− −
∫
35)
1
2 2 3
3
2
( 2 1)
x
x x e dx
−
+
−
+ −
∫
36)
sin ln(tan )x x dx
∫
37)
3
2
3
sin
cos
x x

∫
40)
3
1
( 1 7ln )ln
e
x x x
dx
x
+ +
∫
41)
2
2
sin 3
0
sin cos
x
e x xdx
π
∫
42)
0
2
cos ln(1 cos )x x dx
π
−
+
∫
43)

π
+
+
+
∫
47)
6
2
1
3x dx+
∫
48)
2 2 2
1
a
x x a dx+
∫
49)
2
3
ln ( 1)x
dx
x
+
∫
50)
2
2
ln( 1 )
1

x
e dx
x
+
+
∫
54)
2
2
2
0
( sin cos )
x dx
x x x
π
+
∫

Bài 3 TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC; HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần, bảng
các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm đa thức và hàm hữu tỉ.
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
II/ Nội dung bài dạy
Bài toán tổng quát. Cho P(x) và Q(x) là các đa thức. Tính tích phân sau:
( )
( )
b
a

− −
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2/ I =
( )
( )
2 2 2 2
2
3
1 1 1 1
2 1
1 1 2 4
ln
3 1 3 1 3 3
1
x dx
dx dx dx
x x x x
x x
−
= − − =
+ − +
+
∫ ∫ ∫ ∫
3/
( )
1 1 1
2
4
2 2

+
∫
5/
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
9 3
1
3 6 9 6 3 6 9
x x
dx
dx
x x x x x x
+ − +
= =
+ + + + + +
∫ ∫
=
( ) ( )
( )
2
3 9
1 1 1 1 1 1
ln
18 3 6 6 6 18
6
x x
c
x x x x
x

 ÷
= = −
 ÷
− +
− − − −
 
∫ ∫ ∫6
6
1 2
ln
6 1
x
c
x
−
= +
−
7/
( )
( )
2 2
2
3 2 2
2
3
1 1 1 3
ln

dx
x x x
x x x x
 
+ −
 ÷
= = − =
 ÷
+
+ +
 
∫ ∫ ∫ ∫
=
( )
( )
4 4
3 4
5 5 4 4 4
4
1 1 1 1 1
3
1 1 1 1 1 1 1
ln
1
3 3 3 9 9 3 12 36 3
3
e e e e e
x x dx
e
dx dx dx x dx x

x x
−
= = =
 
− − − −
− − −
 
∫ ∫ ∫

( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
11
3 2 11
1 1 1 1
ln
3 3 3 6
11 11
3 2
t t
x
tdt dt
dt c
t
t t t

x (1 x ) dx−
∫

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
3
2
4
x 4 dx
−
−
∫
I =
2
3 2
1
x 2x x 2 dx
−
− − +
∫
I =
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
Bài 2: I =
1
2

dx
4 x−
∫
I =
1
2
5
1
dx
2x 8x 26
−
+ +
∫
I =
1
2
0
x
dx
4 x−
∫

I =
1
2
2
0
4x 1
dx
x 3x 2

x 1−
∫
I =
3
3
2
1
x
dx
x 16−
∫
I =
2 2
1
( 3 2)
dx
x x+ +
∫
I=
2
4 1
2 5 2
x
dx
x x
+
− +
∫
I=
4 2

(x 1)+
∫
I =
1
4 2
0
1
dx
(x 4x 3)+ +
∫

I=
4
1
6
0
1 x
dx
1 x
+
+
∫
I =
2
2
4
1
1 x
dx
1 x

x 1+
∫
I=
2
2 2
0
1
dx
(4 x )+
∫

I =
3
6 2
1
1
dx
x (1 x )+
∫
I=
5 3
dx
x x+
∫
I=
3
6
6 2
1
2 1

2
3 2
1
4 11 9
3 3 7
x x
dx
x x x
−
+ +
+ + −
∫

ln13
ln5
(3 ) 1
x
x x
e
dx
e e+ −
∫

3
6 4 2
4 4 1
x x
dx
x x x
−


Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 4 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ
A/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các bài toán
tích phân, bảng các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vô tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
B/ Nội dung bài dạy
I. Dạng 1. Tích phân dạng:
2
dx
ax bx c+ +
∫
Nx:
2
2
ln
du
u u k c
u k
= + + +
+
∫
.
Thật vậy: Đặt
2
2 2
1
u dt dx

x x+ +
∫
=?
Cách 1: Làm theo phương pháp trên.
Cách 2: * Nếu x > -1, đặt:
1 1 2
1 2
2 1 2 2 1. 2
dt dx
t x x dt dx
t
x x x x
 
= + + + ⇒ = + ⇒ =
 ÷
+ + + +
 
( ) ( )
( )
2 2ln 2ln 1 2
1 2
dx dt
t c x x c
t
x x
⇒ = = + = + + + +
+ +
∫ ∫
* Nếu x < -2 , đặt:
1 1 2

x x− +
∫
2)
2
2
1
3 5 4
dx
x x− +
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
3)
7
2 1
3
2
1
4 6 3
dx
x x
−
−
− −
∫
4)
2
7 8 10
dx
x x− −
∫

0
4
4 5
x dx
x x
+
+ +
∫
2)
( )
0
2
1
2
2 2
x dx
x x
−
+
+ +
∫
3)
( )
0
2
2
1
4 5
x dx
x x

2
+ bx + c có nghiệm x
0
, đặt
( )
2
0
ax bx c t x x+ + = −
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
2
1 1
dx
x x+ + +
∫
(HVKTQS – 99) 2)
2
1
dx
x x x− − +
∫
3)
2
1 1
dx
x x+ − −
∫
4)
( )
( )

1)
2
( 1) 2 2
dx
x x x+ + +
∫
2)
1
2
2
1
2
(2 3) 4 12 5
dx
x x x
−
+ + +
∫
3)
2
(3 2)
( 1) 3 3
x dx
x x x
+
+ + +
∫
V. Dạng 5. Tích phân dạng:
,
n

−
= −
+
∫
2)
( )
5
3 3
3
3
1 3 1
5
1
xdx
x x c
x
= + − + +
+
∫
(đhan-01)
3)
6
4
4
2ln3 1
2 2
x dx
x x
−
× = −

1
x t t
t x dx dt
x t
t
+ +
= ⇒ = ⇒ =
− −
−
( )
3 4
3I t t dt⇒ = −
∫
5 4
6 6
3 1 3 1
5 1 4 1
x x
c
x x
+ +
   
= − +
 ÷  ÷
− −
   
VI. Một số tích phân khác.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1)
( )

+
=
+ +
∫ ∫
. Đặt
2
3t x= +
3)
2
1
1
x
dx
x
+
+
∫
Đặt
1t x= +
4)
( )
( ) ( )
2 2
2
4 2
2 2
1. 1
1 1
3 2 2
1 2

1
3 2 ln
3 2 2 3 2
t t
dt dt
c
t t t t
− +
= − = +
− − + −
∫ ∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
5)
3
1 1
xdx
x x+ + +
∫
6)
3
(2 1) 3 5x xdx− −
∫
7)
5
2
3
x dx
x +
∫
Đặt

∫
2)
( )
1
2 2
0
3 5 2
xdx
x x− −
∫
Đặt
2
2t x= −
3)
( )
3
2 2
2
2 3
dx
x x− +
∫
Đặt
2
3
x
t
x
=
+

2
5
2
0
1
x dx
x−
∫
BTVN
Bài 1: I =
2
1
0
x
dx
(x 1) x 1+ +
∫
I =
2
1
x
dx
1 x 1+ −
∫
I =
3
8
1
x 1
dx

∫
I =
2
3
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫

I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2

dx
3 2x−
∫
Bài 2: I =
4
2
2
1
dx
x 16 x−
∫
I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9−
∫
I =
2
2 3
0
x (x 4) dx+
∫
I =
2
4
4 3
3

x 1 x dx+
∫
I =
2
3
2
0
(x 3) x 6x 8 dx− − +
∫
I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫
I =
2 3
2
5
1
dx
x x 4+
∫
I =
3
3 2
0
x . 1 x dx+

3
2
0
x
dx
1 x+
∫
I =
2
3
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
I =
2
2
2
3
1
dx
x x 1−
∫
I =
3
2
2

dx
x 2+
∫
Bài 3: I =
1
2 2
3
1
dx
x 4 x−
∫
I =
2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫
I =
1
2 3
0
(1 x ) dx−
∫
I =
1
2
0
1

2
1
2
2
2
1 x
dx
x
−
∫
I =
2
1
2
0
x
dx
4 x−
∫
I =
1
2
0
3x 6x 1dx− + +
∫
Bài 4: I =
2
2
0
4 x dx+

I =
1
2
0
x 1dx+
∫
I =
2
3
2
1
x 1
dx
x
+
∫
I =
2
1
2
0
x
dx
x 4+
∫
Bài 5: I =
2
0
x
dx

−
+ +
∫
I =
3
1
2
0
x
dx
x 1 x+ +
∫
I =
1
2
1
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
3
3
2
4
1
x x

( 1)
x x
dx
x x
−
+
∫
2)
2
3
( 1)( 1)
dx
x x− +
∫
3)
a x
dx
a x
+
−
∫
4)
, 0
2
x
dx a
a x
>
−
∫

ax b cx d+ +
∫
10)
2 2
( )
xdx
ax b cx d+ +
∫
11)
5
2
2
2 2x x
dx
x
+ +
∫
12)
3 2
1x x dx−
∫
13)
2 2
( 1) 1
xdx
x x− +
∫
14)
3
4

3 5
1
dx
x x +
∫
BÀI 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
- Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II/ Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
B. Bài tập
* Dạng 1.
sin cos
dx
a x b x c+ +
∫
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1)
2
2 2
tan
2
3sin 4cos
3tan 2 2 tan
6sin cos 4 cos sin
2 2
2 2 2 2
x
d

asinx + bcosx + c = α(msinx + ncosx + p) + β(mcosx – nsinx) + γ, với mọi x
⇔ asinx + bcosx + c = (αm - βn)sinx + (αn - βm)cosx + αp + γ, với mọi x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
3sin 4cos 3
. 1, 2, 6
sin 2cos 3
x x
dx
x x
α β γ
− + −
= = = −
+ +
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
2)
2
0
sin cos 1
sin 2cos 3
x x
dx
x x
π
− +
+ +
∫
3)
2cos sin 3

xdx
x x x c
x x
= = + + +
+
∫
* Dạng 3.
( )
sin ;cosf x x dx
∫
. f là hs hữu tỉ đối với sinx và cosx.
+
( ) ( )
sin ;cos sin ;cosf x x f x x− = −
đặt t = cosx
+
( ) ( )
sin ; cos sin ;cosf x x f x x− = −
đặt t = sinx
+
( ) ( )
sin ; cos sin ;cosf x x f x x− − =
đặt t = tanx
+ Có thể đặt
tan
2
x
t =
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1)

3 3
ln
cos sin cos 3
dx
x x x
π
−
=
−
∫
5)
3
3 5
4
4
sin cos
dx
x x
π
π
∫
6)
3 5
sin cos
dx
x x
∫
Cách 1: Đặt t = cosx ⇒ dài
Cách 2: Mũ của sinx và cosx hơn kém nhau 2 đơn vị.
( )

∫
8)
3 11
sin cos
dx
x x
∫
9)
5
tan xdx
∫
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1)
2 sin cos
dx
x x+ −
∫
(ĐHBK – 00)
2)
sin cos
sin cos
x xdx
x x+
∫
( )
2
sin cos 1
1
2 sin cos
x x

cot xdx
∫
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1)
2 4
sin cosx xdx
∫
2)
5 2008
sin 2 cosx xdx
∫
3)
4
sin cos
dx
x x
∫
4)
5
3 2
cos
sin
xdx
x
∫
5)
3
3
sin
cos cos

− +
∫
2)
2
0
sin
3 cos2
xdx
x
π
+
∫
3)
2
3
6
4
sin
cos
x
dx
x
π
π
∫
4)
2
cos
sin 3 cos
x

cos
7 cos 2
xdx
x
π
+
∫
8)
tan( )cot( )
3 6
x x dx
π π
+ +
∫
Bài 9. Tính các tích phân sau:
1)
2
2
2
cos
4 sin
x x
dx
x
π
π
−
+
−
∫

2
2
0
4 sin
x
dx
x
π
π
−
=
−
∫
2)
( ) ( )
2
0
sin sinI x nx dx n
π
= − ∈
∫
¢
Cách 1: Đặt
2x t
π
= −
( ) ( )
2 2
0 0
sin sin sin sin 0x nx dx t nt dt I

∫
I =
2
4
0
sin xdx
π
∫
I =
∫
2
0
π
sin
2
x.cos
2
xdx
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
3
0
(2cos2 x-3sin2 x)dx
π
∫
I =
4
4
0
cos xdx

π
∫
I =
2
0
sin x.sin 2x.sin3xdx
π
∫
I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫
I =
2
2
0
cos x.cos4x dx
π
∫
I =
0
cosx sin xdx
π
∫
I =
2

4
2
6
(2cotg x 5)dx
π
π
+
∫
I =
∫
−
3
6
π
π
(tgx-cotgx)
2
dx
I =
3
4
4
tg xdx
π
π
∫
I =
∫
4
6

4
sin
1
π
π
x
dx I =
∫
4
0
6
cos
1
π
x
dx I =
4
0
1
dx
cos x
π
∫
I =
4
3
0
1
dx
cos x

sin x
dx
cos x
π
∫
I =
3
2
0
cos x
dx
1 sin x
π
−
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 4: I =
2
0
1 cosx
dx
1 cos x
π
−
+
∫
I =
2
2
sin( x)

∫
I =
4
2
6
1
dx
sin x cot gx
π
π
∫
I =
3
4
4
sin 2x dx
π
π
∫
I =
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫
I =

∫
I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3)
π
+
∫
I =
3
3
6
4sin x
dx
1 cosx
π
π
−
∫
I =
3
2
6
1
dx
cos x.sin x

I =
2
0
1 sin x
dx
1 3cos x
π
+
+
∫
I =
2
2
cosx 1
dx
cos x 2
π
π
−
−
+
∫
I =
2
0
cosx
dx
sin x cosx 1
π
+ +

2
4
0
1 2sin x
dx
1 sin 2x
π
−
+
∫
I =
2
0
sin3x
dx
cos x 1
π
+
∫
I=
2
4
0
sin 2x
dx
1 sin x
π
+
∫
I =

cos x
dx
7 cos2x
π
+
∫
I =
3
4
2
0
sin x
dx
cos x
π
∫
I =
2
2
0
sin x
dx
cos x 3
π
+
∫
I =
3
4
cos x sin x

3
2
2
0
sin x.cos x
dx
cos x 1
π
+
∫
I =
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
cosx sin x
π
π
+ +
+
∫
I =
2
3
2
cosx cos x cos xdx
π
π
−
−

3
2
0
cos x
dx
cos x 1
π
+
∫
I =
2
0
1
dx
2cos x sin x 3
π
+ +
∫
I =
3
6
0
sin x sin x
dx
cos2x
π
+
∫
I =
3

2 2
0
sin 2x
dx
sin x 2cos x
π
+
∫
Bài 5: I =
3
2
4
tan x
dx
cosx cos x 1
π
π
+
∫
I =
3
3
2
3
sin x sin x
cot gx dx
sin x
π
π
−

π
−
+
∫
I =
4
0
1
dx
2 tgx
π
+
∫
I =
3
2
4 2
0
cos x
dx
cos 3cos x 3
π
− +
∫
I =
2
4
0
sin xdx
π

x.tg x dx
π
∫
I =
3 4
0
xsin x cos xdx
π
∫
I =
2
0
sin x
dx
x
π
∫
I =
4
0
x
dx
1 cos2x
π
+
∫
Bài 6:
1)
4cos 3sin
cos 2sin

3sin 4 sin 6 3sin 2
x
dx
x x x− −
∫
5)
sin sin 4
tan cot 2
x x
dx
x x+
∫
6)
cos5 tanx xdx
∫
7)
6
3
4
4
cos
sin
x
dx
x
π
π
∫
8)
4

4
4 4
0
sin 2
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
14)
3
3
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫
15)
sin 2 2sin
dx
x x−
∫
16)
2
(sin cos ) cos
dx
x x x−

4 cos
xdx
x
π
+
∫
20)
3 3
2
3
3
sin sin
tan sin
x xdx
x x
π
π
−
∫
21)
3 3
cos
sin cos
xdx
x x−
∫
22)
3 5
4
sin cos

+ +
∫
26)
2
0
(cos sin )
3 sin 2
x x dx
x
π
+
+
∫
27)
4
0
1 tan
dx
x
π
+
∫
28)
3
6
1 tan
dx
x
π
α

+ −
∫
32)
2
1
2
4
cot
sin
3
4
cos (2cot 3cot 1)
sin
x
x
x x x
e dx
x
π
π
+
−
+ +
∫

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
BÀI 6 TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LÔGARIT
Bài 1: I =
1
x

dx
e 1
−
−
+
∫
I =
∫
+
4
0
2
2
cos
π
x
e
tgx
I =
ln 2
x
0
e 1dx−
∫
I =
2x
1
x
0
e

∫
I =
2x
ln5
x
ln 2
e
dx
e 1−
∫
I =
1
4x 2x
2
2x
0
3e e
dx
1 e
+
+
∫
I =
2
1
3 x
0
x e dx
∫
I =

dx
1 e
−
+
∫
I =
1
2x x
0
1
dx
e e+
∫
I =
x 2
1
2x
0
(1 e )
dx
1 e
+
+
∫
I =
1
1
x
3
a

Bài 2: I =
2
2
sin x
4
e sin 2x dx
π
π
∫
I =
0
2x
3
1
x(e x 1)dx
−
+ +
∫
I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)+
∫
I =
2x 2
0

π
+
∫
I =
1
2 2x
0
(1 x) .e dx+
∫
Bài 3: I =
e
2
1
ln x
dx
x(ln x 1)+
∫
I =
e
1
sin(ln x)
dx
x
∫
I =
3
2
e
1
ln x 2 ln x

∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 4: I =
2
e
1
x 1
.ln xdx
x
+
∫
I =
3
2
2
ln(x x)dx−
∫
I =
1
2
0
ln(1 x)
dx
x 1
+
+
∫
I =
e
2

∫
I =
2
e
2
e
1 1
( )dx
ln x
ln x
−
∫
I =
2
2
1
1
x ln(1 )dx
x
+
∫
I =
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)+
∫

2
5
1
ln x
dx
x
∫
I =
2
2
1
(x x)ln xdx+
∫
I =
2
3
cosx.ln(1 cos x)dx
π
π
−
∫
I =
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫

)(tan
cos
2
xd
x
dx
=
+
)(cot
sin
2
xd
x
dx
−=
+
)(ln xd
x
dx
=
+
)(
1
baed
a
dxe
xx
+=
+
)(

++
=
+
2
2
2
)(
+






+=






−
x
xddx
x
11
1
2
+


f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
3) Không phụ thuộc biến số tích phân:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f t dt f x dx f u du= =
∫ ∫ ∫
4) Bất đẳng thức tích phân: nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a ; b] thì :

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
3. Quy tắc đổi biến số.
Bước 1: Đặt x = ϕ(t) (hoặc t = ϕ(x)) ⇒ dx = ϕ’(t)dt (hoặc dt = ϕ’(x)dx)
Bước 2: Đổi cận x = a ⇒ ϕ(t) = a ⇒ t = α
x = b ⇒ ϕ(t) = b ⇒ t = β
Bước 3: Áp dụng công thức
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
4. Công thức tích phân từng phần.

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
a)
2
3
0
x x dx−
∫
e)
( )
2
2
2 1 cos 2x dx
π
π
−
−
∫
= 4
b)
4
3 2
0
2x x xdx− +
∫
f)
0
cos sinx xdx
π
∫
4

( )
3
0
2 4 1
x
x dx− −
∫
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
4
0
tan sin 2x x x dx
π
+ −
∫
c)
1
2
0
3
10
1
x
dx
x
+
−
+
∫
b)

( )f x dx
π
π
−
∫
Đặt t = - x ⇒
3 3 3 3
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x dx f t dt f t dt f x dx
π π π π
π π π π
−
− − −
= − − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
( ) 2 1 cos 2 2 sinf x f x dx x dx x dx
π π π
π π π
− − −
 
+ − = − =
 ∫ ∫ ∫
Bài 4. Tìm m để I(m) =

π
π
dxxxx
c)
∫
−






−
+
+
2
1
2
1
1
1
ln)sin
2
sin4(cos dx
x
x
x
x
x
b)

−
0
1
2
2
dxe
x
. Tính
∫
+
−
−
−
ab
ab
a
bx
dxe
2
2
2
)(
với a, b dương bất kì.
Bài toán 3. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
∫∫∫∫
−−−
===
+
a
aa

−
−
+
+
1
1
2
12007
)1ln(
dx
x
x
b)
∫
−
++
1
1
2
)1)(1(
dx
xe
e
x
x
d)
∫
−
++
++

bx
ex
dx
)1)(1(
2
. Tính
I(a)lim
∞→a
Bài toán 4. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 1] khi đó
∫∫
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfdxxf
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
2
0
cossin
sin
π
dx
xx
x

33
cossin
cos
π
π
dx
xx
x
e)
∫








−
2
0
2
2
)(costan
)(sincos
1
π
dxx
x
f)

b
a
dxxf
ba
dxxxf )(
2
)(
Ví dụ 6. Tính các tính phân sau:
a)
∫
+
π
0
2
3
cos31
sin
dx
x
xx
b)
∫
+
+
π
0
2
cos3
sincos
dx

Bài toán 6. Giả sử f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì
∫∫
+
+
=
nTb
nTa
b
a
dxxfdxxf )()(
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
π
4
0
8
109
16cos1
cos6sin
dx
x
xx
b)
∫
−
π
2007
0

4
tan
+
>






+
π
Ví dụ 9. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm thực phân biệt x
1
, x
2

Tính I
n
=
)( )2(
2
1
2
12
Nndxebax
x
x

sin x cosx
π
+
∫
I =
4
2
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
I =
2008
2
2008 2008
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫
I =
2
0
sin x

1
dx
(x 1)(4 1)
−
+ +
∫
I =
4
1
x
1
x
dx
1 2
−
+
∫
Bài 3: I =
4
0
ln(1 tgx)dx
π
+
∫
I =
2
0
xsin x
dx
1 cos x

ln( x a x)dx
−
+ +
∫
Bài 5:
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
1)
∫
−
+
1
1
4
21
dx
x
x
2)
∫
−
+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x

+
2
0
cos1
sin1
ln
π
dx
x
x
6)
∫
+
−
2
0
2
)cos(sin
cossin3
π
dx
xx
xx
7)
∫
π
0
4
cossin xdxxx
8)

∫
−
−
2
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
11)
∫
−
+
+
4
4
66
76
6)cos(sin
π
π
dx
xx
xx
x
3)
12)
∫
−

−
2
0
5
6
3
1
π
xdxxx cos.sin.cos
A-02 I =
x
x(e x )dx.
0
2
3
1
1
−
+ +
∫
B-02
( )
.
ln
∫
+
=
3
0
3

02 T
59
=
4
1 cos2
0
x
dx
x
π
∫
+
T
60
=
1
3 2
1
0
x x dx−
∫
D-03
.dxexI
x
∫
=
1
0
2
3

3
1
3
xx
dx
A-04
.dx
x
xx
I
∫
+
+−
=
2
0
2
4
4
1
D - 05
( )
sin x
I tgx e cos x dx.
π
= +
∫
2
0
D -05 I =

2
1
π
=
+
∫
. A - 05
3
2
e
1
ln x
I dx
x lnx 1
=
+
∫
A - 05
7
3
0
x 2
I dx
x 1
+
=
+
∫
D – 06: I =
2

12 xx
dx
A – 06:
6
2
.
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
D – 07:
∫
=
2
0
2
π
xdxxI cos
. D – 07: I =
dx
x
xx
∫
−
−
1
0

I
B1- 08:
2
0
1
4 1
x
I dx
x
+
=
+
∫
A2- 08:
∫
−+
=
2/
0
2cossin43
2sin
π
dx
xx
x
I
A1- 08 :
∫
+
=

π
−
∫
+
T
65
=
2
2
0
x x dx−
∫
(2004): T
1
=
2
1 1
1
x
dx
x
∫
+ −
T
2
=
1 3ln .ln
1
e
x x

5
=
2
sin 2 .cos
1 cos
0
x x
dx
x
π
∫
+
I=
2
sin
cos cos
0
x
e x xdx
π
 
 ÷
 
+
∫
(2006): I =
2
2 2
0
sin 2

x xdx
∫
(2008) : I =
6 4
0
tan
os2x
x
dx
c
π
∫
I =
4
0
sin( )
4
sin2x+2(1+sinx+cosx)
x
dx
π
π
−
∫
I =
2
3
1
ln x
dx

(2010) : I=
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫
I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x+
∫
I =
1
3
(2 )ln
e
x xdx

π
π
∫
+

(C§SP B×nh Phíc 2004) T
16
=
2
sin
2
1 cos
0
x x
dx
x
π
∫
+
(C§SP Kon Tum 2004) T
17
=
1
1
0
dx
x
e
∫
+

=
4
2
5
0
1
x
dx
x

+
(CĐ A2004) T
22
=
1
2
2 5 2
0
dx
x x

+ +
(CĐ KTKH Đà Nẵng 2004) T
23
=
.
3
2 2
1
0

5 2
1
0
x x dx

(CĐ KTKT I - 2005) T
27
=
2
3 5
sin
0
x
e xdx


(CĐ TCKT IV - 2005) T
28
=
3
2 5
1.
0
x x dx+

(CĐ Truyền hình A2005) T
29
=
2
4

dx
x

(CĐ Sp Vĩnh Long 2005) T
32
=
7
3
1
3
3 1
0
x
dx
x
+

+
(CĐ SP Bến Tre 2005) T
33
=
2
cos3
sin 1
0
x
dx
x



0
xdx
x

+
(CĐ SP Sóc Trăng 2005)T
35
=
2
3
.sin
2
sin 2 .cos
0
x x
dx
x x


(CĐ SP Vĩnh Phúc 2005) T
40
=
2
1
1 ln
e
dx
x x



2004
4
sin
2004 2004
sin cos
0
x
dx
x x


+
(CĐ SP Kon Tum 2005)T
42
=
3
2
4sin
1 cos
0
x
dx
x


+
(CĐ KTKH Đà Nẵng 2005 ) T
43
=
4

=
2
1
2
3
0
( 1)
x x
dx
x
+

+
(CĐ SP Hà Tĩnh AB2002) T
69
=
2
5
cos
0
xdx