1
VÀI MO NH KHI TÍNH TÍCH PHÂN BNG
PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG
PHN
LÊ ANH DNG
(Gv THPT Chuyên Hunh Mn t, Rch Giá, Kiên Giang)
Khi tính tích phân bng công thc tích phân tng phn
udv uv vdu
 
 
, nu
ta chn u, v mt cách khéo léo thì thành phn
vdu

s đn gin và vic tính tích phân s
đn gin hn. Bài vit này trao đi vi các bn mt s k nng khi tính tích phân bng
phng pháp tích phân tng phn.
1. Tách tích phân thành 2 phn, tng phn 1 phn sao cho phn còn li kh vdu
Thí d 1: Tìm nguyên hàm I =
2x 2
e (x 4x 1)dx
 

Bình thng ta đt u = x
2
+ 4x + 1 thì phi tích phân tng phn 2 ln; đ tránh điu này,
ta thêm bt, đ thành phn vdu kh ht phn còn li.
2
2x
2x
2x

Li gii. I =
2x 2 2x 2 2x
e (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx
     
  
t
2
2x
u x 3x
dv e dx
 








, chn
2x
du (2x 3)dx
1
v e
2
 





; nên vdu= 3x e dx
dv e dx v e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s kh ht 3x
2
e
x
do đó ta thêm vào u : x
2
đ phn còn li còn li 3x
2
3 2 2
2 x
x x
u x x du (3x 2x)dx
; nên vdu=(3x +2x)e dx
dv e dx v e
   
 
 
 


, chn
2
x
du (3x 2x 2)dx
v e
  








x 3 2 x 2 x 2
I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx
        
 
x 3 2 x x 3 2
e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C
        

Trên c s đó, ta có th s dng s đ sau đ tìm thành phn u cho bài toán tính tích
phân tng phn ca hàm s
ax b n n 1
n n 1 1 0
e (a x a x a a )dx
 


b a
k 2
b a b
a

 







 
(Nhân lên, ly h s ca đa thc tr ri h xung)
Thí d 3: Tính I =
1
2x 5 3
0
e (x 4x x 1)dx
  

Ta lp s đ sau ngoài nháp đ tính u
5
2
-
3
2
1
-

e x x x x x dx e x 5x x x 1 dx
2 2 2 2 2 2
   
 
 
        
 
 
 
 
   
 
t
2x
5 4 3 2
u x
dv e dx
5 3 5
x x x x
2 2 2





   





1
2x 5 4 3 2 2x 4 3 2
0
0
1
2x 4 3 2
0
1 5 3 5 5 3 3 5
I e x x x x x e x 5x x x dx
2 2 2 2 2 2 2 4
5 3 3
e x 5x x x 1 dx
2 2 2
   
         
   
   
 
    
 
 


1
1
2x 5 4 3 2 2x
0
0
1
2x 5 4 3 2 2





 

Chú ý:
2 4 3
1
(x 1) ' 2x; (ln x)' = 4. ln x
x
  , ta tách I thành 2 tích phân đ kh vdu
Li gii. I =
2 2
e e e
4 3 4 3
1 1 1
x 1 x 1
x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx
x x
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 










Suy ra I =


2 4
2 2
e e
1 1
x 1 ln x
x 1 x 1
e
2 ln x dx 2 ln x dx
1
2 x x

 
 
   
 
 
 
 

1
 

Li gii. t
3
u ln(x )
dv (2x 1)dx
1

 








, chn
3
2 2
2
2
3x 3x
du
x (x 1)(x )
v x
dx
1 x 1
x

(x x 1)ln(x ) dx
x 1
+1  


=
1
1
0
0
2
1
ln 2 3 x 1 dx ln 2 ln
x 1
x 3
3 x x 1 2ln 2
2 2
     

 
 




   

 




v =
2
1
cos
dx
x
chn
sin cos
tan
cos
x x
x
x
v + 1

 
Bình thng ta hay ly v = tanx nhng  đây ta thêm C = 1 đ kh mu
Khi đó: I =
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
x x x dx
x



phi nm trong thành phn dv; đ tìm đc
nguyên hàm theo bin xsinx + cosx ta cn có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
5
Li gii.
 
4 4
2
2 2
0 0
x x cos x x
dx dx
cos x
(x sin x cos x) (x sin x cos x)
.

 
 
 
t
2 2
x
u
cos x
x cos x d(x sin x cos x)
dv dx
(x sin x cos x) (x sin x cos x)













Khi đó I =


4
4
2
0
0

4
0
x dx
tan x
cos x(x sin x cos x)
cos x
2
 4 
 4 4 
  

3 4
4 2 4 2
u x
x dx 1 d(x 1)
dv
4
(x 1) (x 1)


 
 





, chn
4
4
du 5x dx
1 1
v
4
x 1

 





 













 
 
  
Ta có
1
1
3
3
2
0
0
1 1 x 1 1 1 3 1
1 dx x ln ln
4 x 1 4
2(x 1)
3 3 1

2(x 1)

12



Vy I =
1 1 3 1
ln
4
3 3 1

12




Cui cùng chúng tôi xin đa ra mt s bài tp đ các bn t luyn tp
Tính các tích phân sau:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
6
1)
2
2
1
ln(1 x)
dx.
x


1 sin x
dx
(1 cos x)e




6)
1
0
2 3
1
dx
(x )1

_ HT_
www.MATHVN.com
www.mathvn.com