®¹i häc

CƠ
CƠ SỞ
SỞ CƠ
CƠ HỌC
HỌC MÔI
MÔI TRƯỜNG
TRƯỜNG LIÊN
LIÊN TỤC
TỤC
VÀ
VÀ LÝ
LÝ THUYÊT
THUYÊT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1(39)


Chương 7

bàitoán
toánphẳng
phẳngtheo
theoứng
ứngsuất
suất--Hàm
Hàmứng
ứngsuất
suấtAiry
Airy

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3(39)


Mở đầu
Bài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như
ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ
không gian ba chiều.
Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vào hai
trong ba biến số toạ độ. Loại bài toán này chia làm hai nhóm: bài toán
ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng.
Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong
một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên
chiều dày tấm và song song với mặt trung bình.
Bài toán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong


τ xy

σx

(σ z )z =± h = 0
(τ zx )z =± h = 0

(τ )

zy z = ± h

=0

τ xy

σy
τ xy

σ x , σ y ,τ xy
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5(39)

σx



+
=
+
≠
yy ) ⎦
xx
yy ⎦
⎜ zz
⎟
⎣ ( xx
1− μ ⎣
E
⎝
⎠

2. Phương trình cân bằng:

∂σ xx ∂σ yx
+
+ fx = 0
∂x
∂y

∂σ xy
∂x
July 2009

+

∂σ yy

+
=2
2
2
∂x∂y
∂y
∂x
5. Phương trình định luật Hooke:

1
ε xx = ⎡⎣σ xx −νσ yy ⎤⎦
E
1
ε yy = ⎡⎣σ yy −νσ xx ⎤⎦
E

ε xy =

1
1 +ν
σ xy =
σ xy
2μ
E

July 2009

⎧σ x ⎫
E
⎪ ⎪

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

7(39)


7.2. Bài toán biến dạng phẳng
7.2.
7.2.Bài
Bàitoán
toánbiến
biếndạng
dạngphẳng
phẳng

Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng
Đập nước

γ xy

ε x , ε y , γ xy

εy
γ xy

Đoạn chiều dài 1 đ.v

1

τ xy


9(39)


7.2. Bài toán biến dạng phẳng
1. Đặc điểm:
ƒ Giả thiết:

ε zx = ε zy = ε zz = 0 ⇒ σ zx = σ zy = 0;

(σ zz ≠ 0 )

σ xx ; σ yy ; σ xy
Các ẩn số biến dạng: ε xx ; ε yy ; ε xy

ƒ Các ẩn số ứng suất:
ƒ

∂σ xx ∂σ yx
+
+ fx = 0
∂x
∂y
∂σ xy ∂σ yy
+
+ fy = 0
∂x
∂y
3. Phương trình động hình học Cauchy



Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

10(39)


7.2. Bài toán biến dạng phẳng
Vì:
Mà:

ε zz =

⇒ σ zz = ν (σ xx + σ yy )

1
⎡σ zz −ν (σ xx + σ yy ) ⎤ = 0
⎦
E⎣

1
1 −ν 2 ⎛
ν
⎞
⎡
⎤
−
ε xx = ⎣σ xx −ν (σ yy + σ zz ) ⎦ =
σ
σ

1 −ν
ν
⎢
E
⎪ ⎪
⎢ ν
σ
1 −ν
=
⎨ y⎬
⎪τ ⎪ (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢ 0
0
⎢
⎩ xy ⎭
⎣

E1 =

ν1 =

E
1 −ν 2

ν
1 −ν

⎤⎧ ⎫
⎥⎪ ε x ⎪
0 ⎥⎨ ε y ⎬
1 − 2ν ⎥ ⎪ ⎪


∇ 2 (σ xx + σ yy ) = 0
July 2009

(Biểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp với
phương trình cân bằng, lực thể tích =const)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

12(39)


7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
7.3.2. Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng
Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định
ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm
ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn:
--Là
Làhàm
hàmhai
haibiến
biếnđộc
độclập
lập(x,
(x,y)y)
--Khi
Khibỏ
bỏqua
qualực

∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
∇ 4ϕ = 4 + 2 2 2 + 4 = 0
∂x
∂x ∂y
∂y

July 2009

Phương trình
điều hoà kép

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13(39)


7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
7.3.4. Đường lối giải bài toán LTĐH
Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác
(khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục).
a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực
tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó
khăn khi muốn có lời giải chính xác.
b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng
từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản.

∂ 4φ
∂ 4φ
∂ 4φ
∇ ϕ= 4 +2 2 2 + 4 =0
∂x
∂x ∂y
∂y
4

• Xác định các thành phần ứng suất

σ xx =

∂ ϕ
∂y 2
2

σ yy

∂ 2ϕ
= 2
∂x

σ xy

∂ 2ϕ
=−
∂x∂y

•Tìm tải trọng theo điều kiện biên

Email:

17(39)