CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU
TÓM TẮT CÔNG THỨC
(1) Phương trình mặt cầu
1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2

2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là
x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R =
222
abcd+ +−
nếu ta có điều kiện
a
2
+ b
2

⎧
⎪
⎪
=−
⎨
⎪
=−
⎪
⎩
5

Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là
a
G
=
1
1, , 1
2
⎛
−
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
. Vậy phương trình (P) viết
(x – 2) +
1
2
(y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0
Giao điểm K giữa (d) và (P) có tọa độ

(x – 2)
2
+ (y – 3)
2
+ (z + 1)
2
= 289
Ví dụ 2:
Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d)

24 70
4 5 14 0
xyz
xyz
+−−=
⎧
⎨
++−=
⎩
và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình
(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0
Giải
Ta có (P) // (Q) nên khi gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc
với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P).
Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ
A(2, 1, 1)
24 70
45 14
2220
xyz

Vậy tâm mặt cầu là I(–1, 3, 3) và bán kính R = 1
Nên phương trình mặt cầu viết thành
(x + 1)
2
+ (y – 3)
2
+ (z – 3)
2
= 1.
Ví dụ 3 ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm
A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3
điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Giải

2
Cách 1: x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
nên ta có:

⇔

++=−
⎧
⎪
+=−

+ y
2
+ z
2
– 2x – 2z + 1 = 0
Cách 2: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu
Giả thiết cho:
22
IA IB IC
I(P)
⎧
==
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
2
2

⇔

⎧
−++−=−++
⎪
⎪
−++=−+−+−
⎨
⎪
++−=

=
⎧
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
Bán kính R = IB = 1
Suy ra phương trình mặt cầu: (x – 1)
2
+ y
2
+ (z –1)
2
=1
Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường
thẳng d : và mặt cầu
⎩
⎨
⎧
=−−+
=+−−
04z2y2x
01zy2x2
(S) : x
2
+ y
2

2y z 1 0
2y 2z 4 0
−−+=
⎧
⎨
−−=
⎩
y1
z1
=
⎧
⎨
= −
⎩
⇒
A(0; 1;
−
1)
(d) có
⇒
= 3(2; 1; 2)
1
2
n (2, 2, 1)
n(1,2,2)
→
→
⎡
=−−
⎢

a
.

Δ
vuông IHN ta có :
IM
2
= IH
2
+ HN
2

⇔
13 – m = 9 +
81 117
44
=3

⇔
m =
65
4
−
.

Ví dụ 5 ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng

+ 3m – 1 = 9 hay m
2
+ 3m – 1 =
−
9

⇔
m
2
+ 3m – 10 = 0 hay m
2
+ 3m + 8 = 0 (VN)

⇔
m =
−
5 hay m = 2
⇒
(P) : 2x + 2y + z – 10 = 0
Phương trình đường thẳng
Δ
qua I và
⊥
(P) :
x12t
y12
z1t
=+
⎧
⎪

t =
±
1

⇒
M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M
∈
P
⇒
M(3; 1; 2)

PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN
( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN ) 4