- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

*Truy cập mỗi ngày để tải các đề thi thử THPT Quốc Gia ( Đại
Học ) các môn TOÁN – ANH – VĂN – LÝ – HÓA – SINH mới nhất,nhanh nhất từ
các trường THPT và trung tâm luyện thi đại học trong nước.Chúng tôi luôn cập nhật
đề thi thử mỗi ngày vậy nên các bạn yên,luôn có các đề thi thử mới nhất để các bạn
tham khảo.
*Tham gia nhóm : ÔN THI ĐH TOÁN – ANH trên Facebook để cùng hỏi đáp, học
tập : />*Like Fanpage : Đề Thi Thử THPT Quốc Gia – Tài Liệu Ôn Thi để cập nhật nhiều
hơn qua Facebook. />

Ứng dụng của Tích phân
2.1
2.1.1

Tính diện tích hình phẳng
Công thức tính

Một hình phẳng giới hạn bởi (𝐶1 ) : 𝑦 = 𝑓 (𝑥), (𝐶2 ) : 𝑦 = 𝑔(𝑥), và
𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, khi đó diện tích hình phẳng tính bởi công thức:
∫︁𝑏
|𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)| 𝑑𝑥

𝑆=
𝑎

Một số lưu ý
1) Trong trường hợp đề bài không cho sẵn cận 𝑎, 𝑏 ta tìm hoành độ
giao điểm (𝐶1 ) và (𝐶2 ) là nghiệm phương trình 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0.
2) Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta có 3 cách


[𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥⃒
𝑎

Các ví dụ

Ví dụ 2.1.1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong
−3𝑥 − 1
(𝐶) : 𝑓 (𝑥) =
và hai trục tọa độ.
𝑥−1



Giải
Ta tìm cận của tích phân là hoành độ giao điểm của (𝐶) với các trục
1
tọa độ. Hoành độ giao điểm của (𝐶) và trục hoành là 𝑥 = − , với trục
3
tung là 𝑥 = 0
)︂
∫︁0
∫︁0 (︂
4
4
4
⃒
⃒
Khi đó: 𝑆 =
−3 −
𝑑𝑥 =


Chương 2. Ứng dụng của Tích phân

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình
(𝑒 + 1)𝑥 = (1 + 𝑒𝑥 )𝑥 ⇔ 𝑥 = 0

∨

𝑥=1

Do (𝐶1 ) cắt (𝐶2 ) tại hai điểm phân biệt nên ta được
∫︁1
∫︁1
𝑥
𝑆 = |(𝑒 + 1)𝑥 + (1 + 𝑒 )𝑥| 𝑑𝑥 = |𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥 | 𝑑𝑥
0

0

∫︁1



(𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥 ) 𝑑𝑥 = |𝐼|
⃒
⃒
0
∫︁1
∫︁1
∫︁1

0

1

2

3

Ví dụ 2.1.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (𝐶) :
𝑦 = |𝑥2 − 4𝑥 + 3| và 𝑑 : 𝑦 = 𝑥 + 3
Giải
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
c Nguyễn Hồng Điệp
○

113


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

2.1. Tính diện tích hình phẳng

Chương 2. Ứng dụng của Tích phân

Phương trình hoành độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑
⃒ 2
⃒
𝑥 − 4𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 ⇔
∫︁5
Ta có 𝑆 =

2

2

Xét dấu 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 3 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của |𝑥2 − 4𝑥 + 3|
Cho 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇔ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 3
Bảng xét dấu:
𝑥
𝑓 (𝑥)

0

1
0

+

−

3
0

5
+

Khi đó:
∫︁1
∫︁3
𝑆 = (𝑥 + 3 − 𝑥2 + 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 3) 𝑑𝑥
0

- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

2.1. Tính diện tích hình phẳng

Chương 2. Ứng dụng của Tích phân

Ví dụ 2.1.4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (𝑃 ) : 𝑦 2 = 4𝑥 và
𝑑 : 𝑦 = 2𝑥 − 4
Giải
𝑦2

4
𝑦+4
𝑦 = 2𝑥 − 4 ⇔ 𝑥 =
2
Tung độ giao điểm (𝑃 ) và 𝑑 là nghiệm phương trình
Ta có: 𝑦 2 = 4𝑥 ⇔ 𝑥 =

𝑦2
𝑦+4
=
⇔ 𝑦 = −2
4
2

∨

𝑦=4

Khi đó diện tích hình phẳng được tính bởi


2

0

2

4

−2

Nhận xét: trong bài này ta tính diện tích theo biến 𝑦 đơn giản khi tính
theo biến 𝑥.
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
c Nguyễn Hồng Điệp
○

115


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

2.2. Thể tích vật thể tròn xoay

Chương 2. Ứng dụng của Tích phân

✜ Bài toán tương tự
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥 và 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥.
Đáp số: 92 .
√︂

8
𝑥
𝑥
7 ln 2.

2.2
2.2.1

✸

Thể tích vật thể tròn xoay
Hình phẳng quay quanh Ox

Công thức

Hình phẳng (𝐻) giới hạn bởi (𝐶1 ) : 𝑦 = 𝑓 (𝑥), (𝐶2 ) : 𝑦 = 𝑔(𝑥), 𝑥 =
𝑎, 𝑥 = 𝑏 khi quay (𝐻) quanh trục 𝑂𝑥 ta được một vật thể tròn xoay có
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
116

c Nguyễn Hồng Điệp
○


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

2.2. Thể tích vật thể tròn xoay

Chương 2. Ứng dụng của Tích phân


∫︁2
Khi đó: 𝑉 = 𝜋

ln2 𝑥 𝑑𝑥

1

Sau khi tính tích phân từng phần 2 lần ta thu được kết quả
𝑉 = 2 ln2 2 + 4 ln 2 + 2
.

1

0

1

2

−1
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
c Nguyễn Hồng Điệp
○

117


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

2.2. Thể tích vật thể tròn xoay


Công thức

Hình phẳng (𝐷) giới hạn bởi các đường
(𝐶1 ) : 𝑥 = 𝑓 (𝑦), (𝐶2 ) : 𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑦 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏.
Quay hình (𝐷) quanh trục 𝑂𝑦 ta được vật thể tròn xoay mà thể tích
nó được tính theo công thức
∫︁𝑏
𝑉 =𝜋

|𝑓 2 (𝑦) − 𝑔 2 (𝑦)| 𝑑𝑦

𝑎

Trường hợp (𝐶2 ) là trục tung thì công thức trên trở thành
∫︁𝑏
𝑉 =𝜋

𝑓 2 (𝑦) 𝑑𝑦.

𝑎

Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
118

c Nguyễn Hồng Điệp
○


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

−1

= 16𝜋

∫︁1 √︀

1 − 𝑦 2 𝑑𝑦

0

Nhận xét: do

∫︁1 √︀

1 − 𝑦 2 𝑑𝑦 là diện tích một phần tư hình tròn

0

tâm 𝑂 bán kính 1. Do đó
∫︁1 √︀

1
1 − 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝜋
4

0

Vậy 𝑉 = 4𝜋 2 .

1

𝑉 =𝜋

[︀
]︀
32𝜋
(2 − 𝑦)2 − 𝑦 4 𝑑𝑦 =
15

0

1

−1

0

1

2

✜ Bài toán tương tự
1. Gọi (𝐷) là miền giới hạn bởi các đường 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 ; 𝑦 = 0. tính
thể tích vật thể tròn xoay khi ta quay (𝐷) một vòng quanh trục
𝑂𝑦.
Đáp số: 83 .
2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi
𝑦 = (𝑥 − 2)2 ; 𝑦 = 4 một vòng quanh 𝑂𝑦.
Đáp số: 128
.
3

𝑥−1
Đáp số: −1 + 4 ln 43

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 𝑦 =
(2002-D).
𝜋

4. Tính

∫︁2 √
6

1 − cos5 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 (Dự bị 2002-A).

Đáp số:

12
91

0

∫︁0 (︁
)︁
√
3
2𝑥
5. Tính 𝑥 𝑒 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥 (Dự bị 2002-A).

Đáp số:


3.1. Các đề thi tuyển sinh 2002-2013

Chương 3. Bài tập tổng hợp

1
7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (𝐶) : 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥
3
và trục 𝑂𝑥 (Dự bị 2002-D).
Đáp số: 94
∫︁1
8. Tính 𝐼 =

𝑥3
𝑑𝑥 (Dự bị 2002-D).
1 + 𝑥2

Đáp số: 12 (1 − ln 2).

0
√

∫︁2
9. Tính 𝐼 =
√

3

1
√
𝑑𝑥 (2003-A).


|𝑥2 − 𝑥| 𝑑𝑥 (2003-D).

Đáp số: 1

0
𝜋

∫︁4
12. Tính 𝐼 =

𝑥
𝑑𝑥 (Dự bị 2003-A).
1 + cos 2𝑥

Đáp số:

𝜋
8

− 14 ln 2.

0

∫︁1
13. Tính 𝐼 =

√
𝑥3 1 − 𝑥2 𝑑𝑥 (Dự bị 2003-A).


Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
122

c Nguyễn Hồng Điệp
○


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

3.1. Các đề thi tuyển sinh 2002-2013
∫︁1
16. Tính 𝐼 =

Chương 3. Bài tập tổng hợp

2

𝑥3 𝑒𝑥 𝑑𝑥 (Dự bị 2003-D).

1
2

Đáp số:

0

∫︁𝑒
17. Tính 𝐼 =

𝑥2 + 1

1

∫︁𝑒 √

1 + 3 ln 𝑥
𝑑𝑥 · ln 𝑥 (2004-B).
𝑥

19. Tính 𝐼 =

116
135

Đáp số:

1

∫︁3
20. Tính 𝐼 =

ln(𝑥2 − 𝑥) 𝑑𝑥 (2004-D).

Đáp số: −2 + 3 ln 3.

2

21. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra √
khi quay quanh 𝑂𝑥 hình
phẳng (𝐷) giới hạn bởi 𝑂𝑥 và (𝐶) : 𝑦 = 𝑥. sin 𝑥(0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋) (Dự
3

0

∫︁ln 8
√
24. Tính 𝐼 =
𝑒2𝑥 𝑒𝑥 + 1 𝑑𝑥 (Dự bị 2004-D).

Đáp số:

1076
15

ln 3
𝜋

∫︁2
25. Tính 𝐼 =

sin 2𝑥 + sin 𝑥
√
𝑑𝑥 (2005-A).
1 + 3 cos 𝑥

Đáp số:

34
27

0
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />


27. Tính 𝐼 =

𝜋
4

− 1.

0
𝜋

∫︁3

sin2 𝑥. tan 𝑥 𝑑𝑥 (Dự bị 2005-A)

28. Tính 𝐼 =

Đáp số: ln 2 −

3
8

0

∫︁7

𝑥+2
√
𝑑𝑥 (Dự bị 2005-A).
3

ln

√

Đáp số:

0

2+𝑒

√1
2

−1

∫︁𝑒3
32. Tính 𝐼 =

ln2 𝑥
√
𝑑𝑥 (Dự bị 2005-D).
𝑥 ln 𝑥 + 1

Đáp số:

76
.
15

1

𝑥 + 4 sin2 𝑥

𝑑𝑥 (2006-A).

Đáp số:

0
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
124

c Nguyễn Hồng Điệp
○

2
3


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

3.1. Các đề thi tuyển sinh 2002-2013
∫︁ln 5
35. Tính 𝐼 =

𝑒𝑥

Chương 3. Bài tập tổng hợp

1
𝑑𝑥 (2006-B).
+ 2𝑒−𝑥 − 3


2

∫︁10

1
√
𝑑𝑥 (Dự bị 2006-B).
𝑥−2 𝑥−1

38. Tính 𝐼 =

Đáp số: 2 ln 2 + 1

5
√

∫︁ 𝑒
39. Tính 𝐼 =

3 − 2 ln 𝑥
√
𝑑𝑥 (Dự bị 2006-B).
𝑥 1 + ln 𝑥

Đáp số:

√
10 2−11
3

43. Cho hình phẳng (𝐻) giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 =
𝑒. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (𝐻) quanh
3
trục 𝑂𝑥 (2007-B).
Đáp số: 𝜋(5𝑒32−2)
∫︁𝑒
44. Tính 𝐼 =

𝑥3 ln2 𝑥 𝑑𝑥 (2007-D).

Đáp số:

5𝑒4 −1
32

1
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
c Nguyễn Hồng Điệp
○

125


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

3.1. Các đề thi tuyển sinh 2002-2013
∫︁4
45. Tính 𝐼 =

Chương 3. Bài tập tổng hợp

49. Tính 𝐼 =

𝑥(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 (Dự bị 2007-D). Đáp số: 1 + ln 2 − 32 ln 3.
𝑥2 − 4

0
𝜋

∫︁2
50. Tính 𝐼 =

𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥 (Dự bị 2007-D).

𝜋2
4

Đáp số:

− 2.

0
𝜋

∫︁6
51. Tính 𝐼 =

tan4 𝑥
𝑑𝑥 (2008-A).
cos 2𝑥

4

Đáp số:

0

∫︁2
53. Tính 𝐼 =

(︁
𝜋 )︁
sin 𝑥 −
4
𝑑𝑥 (2008-B).
sin 2𝑥 + 2(1 + sin 𝑥 + cos 𝑥)

ln 𝑥
𝑑𝑥 (2008-D).
𝑥3

Đáp số:

3−2 ln 2
16

1
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
126

c Nguyễn Hồng Điệp

sin 2𝑥
𝑑𝑥 (Dự bị 2008-A).
3 + 4 sin 𝑥 − cos 2𝑥

Đáp số:

0

− 12 + ln 2.
∫︁2
56. Tính 𝐼 =

𝑥+1
√
𝑑𝑥 (Dự bị 2008-B).
4𝑥 + 1

Đáp số:

11
6

0

∫︁1
57. Tính 𝐼 =

𝑥3
𝑑𝑥 (Dự bị 2008-B).
4 − 𝑥2

𝑑𝑥 (Dự bị 2008-D).

Đáp số:

3.

59. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥, 𝑦 = 𝑥 (Cao
đẳng 2008).
Đáp số: 92 .
𝜋

∫︁2
60. Tính 𝐼 =

(cos3 𝑥 − 1) cos2 𝑥 𝑑𝑥 (2009-A).

Đáp số:

8
15

− 𝜋4 .

0

∫︁3
61. Tính 𝑖 =

3 + ln 𝑥
𝑑𝑥 (2009-B).

○

127


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!

3.1. Các đề thi tuyển sinh 2002-2013
∫︁1
63. Tính 𝐼 =

(︀

Chương 3. Bài tập tổng hợp

)︀
𝑒−2𝑥 + 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 (Cao đẳng 2009).

1
𝑒

Đáp số: 2 −

0

∫︁1
64. Tính 𝐼 =

𝑥2 + 𝑒𝑥 + 2𝑥2 𝑒𝑥
𝑑𝑥 (2010-A).

)︂
ln 𝑥 𝑑𝑥 (2010-D).

Đáp số:

𝑒2
2

−1

1

∫︁1
67. Tính 𝐼 =

2𝑥 − 1
𝑑𝑥 (Cao đẳng 2010).
𝑥+1

Đáp số: 2 − 3 ln 2

0

∫︁1
68. Tính 𝐼 =

2𝑥 − 1
𝑑𝑥 (Dự bị 2010-B). Đáp số: 8 ln 2 − 5 ln 3
𝑥5 − 5𝑥 + 6


ln 𝑥 − 2
𝑑𝑥 (Dự bị 2010-D).
𝑥 ln 𝑥 + 𝑥

Đáp số: 1 − 3 ln 2

1
𝜋

∫︁4
71. Tính 𝐼 =

𝑥 sin 𝑥 + (𝑥 + 1) cos 𝑥
𝑑𝑥 (2011-A).
𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥
√ )︁
+ 22

Đáp số:

(︁ √0
𝜋
+ ln 𝜋 8 2
4
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />128

c Nguyễn Hồng Điệp
○



√

Đáp số:

Đáp số:

34
3

+ 10 ln 35

0

∫︁2
74. Tính 𝐼 =

2𝑥 + 1
𝑑𝑥 (Cao đẳng 2011).
𝑥(𝑥 + 1)

Đáp số: ln 3

1

∫︁3
75. Tính 𝐼 =

1 + ln(𝑥 + 1)
𝑑𝑥 (2012-A). Đáp số:
𝑥2

1
4

Đáp số:

8
3

Đáp số:

0

∫︁1
78. Tính 𝑖 =

√

𝑥
𝑑𝑥 (Cao đẳng 2012).
𝑥+1

0

∫︁2
79. Tính 𝐼 =

𝑥2 − 1
· ln 𝑥 𝑑𝑥 (2013-A).
𝑥2



3.2. Bài tập tổng hợp
∫︁1
81. Tính 𝐼 =

Chương 3. Bài tập tổng hợp

(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 (2013-D).
𝑥2 + 1

Đáp số: 1 + ln 2

1
√
𝑑𝑥 (Cao đẳng 2013).
1 + 2𝑥 − 1

Đáp số: 2 − ln 2.

0

∫︁5
82. Tính 𝐼 =
1

3.2

Bài tập tổng hợp
𝜋

Đáp số: ln

(︁

)︁
√
2
𝑒+ 1+𝑒
√
1+ 2

0
𝜋

∫︁4

sin 4𝑥
𝑑𝑥.
4 + cos2 2𝑥

3.

Đáp số: − 12 ln 45

0

∫︁0

1 − 𝑒𝑥
𝑑𝑥.

𝑑𝑥.
𝑥2
1

∫︁1
7.

1
𝑑𝑥.
1 + 𝑥6

Đáp số: − 2√1 3 ln(2 −

√

3) +

0
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
130

c Nguyễn Hồng Điệp
○

𝜋
6


- Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!


𝑥4 − 1
𝑑𝑥.
𝑥2 + 9

Đáp số:

√

√
Đáp số: 2 2 − 2

20𝜋
3

− 18.

0
𝜋

∫︁2
10.

1 − sin 2𝑥 𝑑𝑥.

0

∫︁2
11.

1 − 𝑥7

yên,luôn có các đề thi thử mới nhất để các bạn tham khảo.

*Tham gia nhóm : ÔN THI ĐH TOÁN – ANH trên Facebook để cùng
hỏi đáp, học tập : />*Like Fanpage :ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ÔN THI để cập
nhật nhiều hơn qua Facebook. />
Tham gia ngay! Group FB:ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : />
c Nguyễn Hồng Điệp
○

131