TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
2

Câu 1.

x2

I 

1x



1

2

 I   1

2

2
16
1
6
9 
6ln x  4  9
l n x  3  1 = 1 2
16ln
9ln


x
1 1
 

x x3 x2  1
x3( x2  1)

 Ta có:


2
1
3
1
3
1))    lln2
 lln(
n( x2  1
n 2  lln5
n5
2
2
8
2
2x
1
1

nx

4
 I   lln
n  lln
n  lln2
n2
3 3 15 6 5

xxdx
dx

1

I 

( x  1)3
1
x
x  1 1
1
1))2  ( x  1
1))3  I   ( x  1

 (x  1
 Ta có:
x
1))2  ( x  1
1))3 d
dx
3
3

0  2x  1

99
9
9

 7x  1 
 I  

 2x  1 
0
1

1  x 1 
 Ta có: f ( x)  .

3  2x  1 

d
x
dx

100

Câu 7.

I 

0 (x


 x  1 
1  x 1 
.
 I  
 C
9  2x  1 
 2x  1 

d
x
dx

1  100 
1

2  1
0 900

 Đặt t  x2  4  I 

1
8

Trang 1
/>

1

x7



2 1 t5
4 25

1
0

 Đặt t  1  x3  d
xd
x
dtt  3x2d
dx
dx
4

Câu 10. I 

3

1


2

Câu 11. I  

d
x
dx



  t  t 2  1ddtt  4 llnn 2


dx
xx4.d
x

5

 I 

((1 x7 ))..x6
1

dx
d
x
x (1
(1  x2 )
3
3

tt 6
1
 I   2 d
dt
t 
t


1 

dtt =
d

12
135
t2  1

.d
x . Đặt t 
dx

1

x2

dtt  
1  d

2
x3

dx
d
x.

000
11
x22000

dx

000
1 2 (t  1
)1)11000
1 2  1
 I   1000 2 d
dtt    1  
21 t
2 1 t 
t

1  x2



 t t

.d
x
dx
2

3
2 1002
1 x (1  x )

2

3

Câu 15. I  

1
2

6

1 (1 

 I 

11 6
1  t 7 t8 
1
t
1
(

t
)
d
t

(1
dt
  

30
3  7 8  168



I 

 Đặt t  x2  I 

dx
d
x
x( x4  1)

1

d
tdt

 1
1
d 1  
 t  2002.21001

d
x
dx

Trang 2
/>

1 x

2

 2 1 

t 2
1
1
 I  2

.ln

ln


dt


2
t  2 t  2 
 2  1
2
2
t

2
2
2
2
2
t

2


5

1
2 dt
2

1
1
1 x
dt
x
 Ta có:
. Đặt t  x   dt   1   dx  I   
.

2
x
1  x 4 x2  1
1
t

2
 xx2 
2
x2
du
u
d
5

a

2 u
2
2 
2

1

I

2

Câu 17. I  

1
1
 x2

3
1 x x

u

u

1

1
2

x
dx

x 4  1 ( x 4  x2  1
x4  x2  1
x2
1
x2
1))  x2





x6  1
x6  1
( x2  1)( x4  x2  1) x6  1 x2  1 x6  1

 Ta có:

1 1 dd(xx3)
 1  
 I   2 dx   3 2 dx   . 
3 0 (x )  1
4 3 4 3
0 x 1
1

Câu 19.


xx

( x  1)( x  1)
2

1

Câu 20. I  

0x

2

xxdx
dx
4

 x2  1

.

d
xdx 

1
2

3
3 


2
 1  3 

t    
 2  2 

2




6 3

Trang 3
/>

Câu 21. I 

1 5
2



x2  1
x 4  x2  1

1

1






1

dt
dt

0t

2

 I 

1

4

du
d
u

. Đặt t  ttan
an u ddtt 

2

cos u


3

1
1
+ I 1   3x d
9x2  )1
1)  (9
(9x2  1
1)) 2  C2
x   9x2  1 d((9
dx
xdx  x  C1 + I 2   x 9x  1d
27
18
2

2

3

3

1
 I  (9
(9x2  1
1)) 2  x3  C
27
x2  x

Câu 23. I  

4
dx
x . Đặt t= 1  x x  t 2  1  x x  x3  (t 2  1
d
x  t (t 2  1
dx
1))d
dtt
1))2  x2d
3
1 x x

+ I1  

4
4
4
4
  (t 2  1
1))d
dtt  t 3  t  C =
9
3
3
9
x

+ I2  

1 x x


1 x

x

3



4
1  x x  C1
3

2 d((1
1  x x)
4
d
1 xx x  C2
=

3
3
1 x x
1

C

 Đặt t  2x  1 . I =

3


 Đặt t  4x  1 . I  lln
n 

1

 Đặt: t  1  x2  I    t 2  t 4 d
dtt 

0

0

1

1 x

Câu 27. I  


1
01

2
.
15

d
x
dx

3

x3

Câu 28. I  

d
x
dx
1

x
3
3
x


0
2

2
2
1
3
ln
6ln
d
2t  6
d
dtt   ((2

1

 t7 t4 
9
 Đặt t  x  1  t  x  1  d
dx
dtt  I   3
3((t  1
1))ddtt  3    
x  3t d
2
8
28
 7 4 0
0
3

3

5

Câu 30. I  

1

x2  1

x 3x  1

1

4
2 1 3 
100
9
t 1

 ln .
  t  t   ln
9 3
5
t  1 2 27
2
3

Câu 31. I  

0

 Đặt

2 x2  x  1

x 1



4
dtt
24 2
d

2ttdt
dt
t
1

2

 4t 5

5
4
54
(2t 4  3t 2 )d
dtt  
 2 (2
 2t 3  
 5
1 5
1
2

Trang 5

/>

1

x2d
x
dx

Câu 33. I  

1 

0

2

2
 t3
 1
1
16  11 2
 t   dt  2   2t   
t 1
3
3
 t

2

1  2x 

2

dx
d
x

 Đặt t  1  1  2x  d

2
2
22
22
2 2
t t2 
t
t
4

=

Câu 34. I 

8



3

1  t2
2
1
4ln
ln t   = 2
ln 2 
2ln2
  3t  4
t 
2  2




n
= 1  lln

3  2  lln
n  8  3

1

Câu 35. I   ( x  1
x
1))3 2x  x2 d
dx
0
1

1

 I   (x 1
)1)3 2x  x2 d
x   ( x2  2x  1
)1) 2x  x2 ( x  1
x . Đặt t  2x  x2  I  
dx
1))d
dx
0


x

x

1
 I 
ddx
x . Đặt
dtt  .
 I  2  (t 2  1
)1)d
3
0
x2  x  1
1
2

x3d
x
dx

Câu 37. I  

3

0

4  x2

3

Trang 6
/>

 Ta có: I 
+ I1 
+ I2 

1
1
1  x  1  x2
1 11 
1  x2
dx

dx

dx
x
x

1
d
x

d
d
 2x ddxx
 (1 x2)2  ((1 2x2 )

x 

x . Đặt t  1 x2  t 2  1 x2  2ttdt
2x



1

2



t 2d
dt
t

2(t 2  1)
1)
2 2(

0

Vậy: I  1 .
Cách 2: Đặt t  xx  xx2  1 .



1

Câu 39. I  


0

t (ttdt
dt )



4  t2

3

Câu 41. I 



0

1

x  x2

3

 Đặt t  x  I  5 

1
1
0

td

t tt  1 t  1

1)
t(t  )1
1 
3

t3  2
2

1

ddx
x
x2 xx  1
1 3
1

3

5

2

 Đặt t  x  xx2  x  1x I  x 
Câu 44. I  


2 3 


0

tt 2

x

27
7
2
7



4  x2  t 2  4  x2  ttdt
dt   xxdx
dx


tt  2 
 
d
((1
)d
dtt   1
dtt   t  ln
ln

2
t2 
tt 2  4

1 x
x
1

x2

(  1  x )2 (2
(2  1 xx )2
(1
01
4



1
dtt
2d
 lln(2
n(22t  1
)1))
11
2t  1

3

 lln
n

3 2 3
3


/>

3

x2

2(( x  1
1))  2
02

x 1  x x 1

Câu 45. I  

2

 Đặt t  x  1  I  
Câu 46. I 

3

2 2



1

t (t  1)2


2011



3

 I



dx . Đặt t 

dx 

2 2



1

0 (1 

x2

1  M  

3
2




3

3

2

dt



2
 3

 
1
t 2. t 3  1  3  
  t 

Đặt u  1 

Câu 48. I 

1
t33

2 2





3

2



 Đặt t  1  x  I 

1

1

7
2

dx
x
d

Câu 47. I  



3

3

14077 213 7
.

x

1

x

d

1

1

x2
x3

1

2
2 2
2
1))3 
 2 (t  1
1))2 d
dtt  (t  1
1
3
3
1

dt



2



dtt
d

1

t 2.(t 3  1) 3

2



1



t 
t4

2 1  3 



1


 
 3 0

1
1 2
 u3
0



1
3

2

x4
dx
d
x

1 2
 x  x  x 1



 Đặt t  x2  1

Trang 8
/>


2
2t 2
3 4

12
(t 2  1)

2

Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
1


 dx

2
x
x
n
l
ln
1

x
x


 1 x
 dxx


 Tính K   2x ln
 K
ln(1
(1  x)d
x . Đặt 
dx
22
dx
dv  2xxdx
 dv
0
v
x
d

Câu 50. I 

2

4x  x
 x( x x x) 4) xd
5

22

2 2

d
x
dx

x +
2

2
2

+ Tính A =

x

2

x

2

4  xxdx2dxd
dx
x = A + B.

2

4  x2 d
x . Đặt t   x . Tính được: A = 0.
dx

5

2
2

1
2

 Ta có: I  

2

3

44
1 2x

2

+ Tính I 1 = 

3

4
1 2x

2

+ Tính I 2  

1

dx
dx  


dt .
dx .xĐặt x  2
ddx
2x 4

Trang 9
/>







1 cos
cos tdt
ttd 1
12
3
2  1 

c
o
t
t
d
t


cot 2 t .d (cot

11 
77 22 33 .
1
66
16

1

x2dx
dx

0

4  x6

Câu 52. I  

6

6

2
 Đặt t  x3  dt
dt t 3xx
d
dxx I 
dx

1 1 dtd
dtt

d
x
dx
x2

Câu 53. I  

0

2

0

1

x
x2d
dx

0

3  2 x x2x2

Câu 54. I  

1

 Ta có: I  

0

2cos
dx
2sin
c
so
s t d
x
x  2
si n ttdt
dt  I  4  sin
sn
i 2 dt
dt t    2 .

(1
(1 2
2s
sco t) 2
siin
nt
2cos
2sin
dd
tt =
dt
2
4  (2
(2cos
co
s t)

dx

6

 Đặt x  ssin
i n t  I   ((cos
c ost  s
i nt) s
cos
co ttdt
sin
dt 

0

0


2
1
12



3 1

8 8

Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 56. I 


 I  x x 1
2

5 2

3



2

 I

3
2



3



x.

2

x  1dx 
2


3
2

1
5 2
 ln 2  1  ln2
2
4

Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x 

1
vì  ;2
3    1
1
2;3
;1;1
cost

Trang 11
/>

TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
Câu 57. I  

8
co
s 2 x  ssin2
i n 2x  3

x
dx
sin4x
2cot
2tan2
2cot
2
cot 2x  2
tan 2 x
2
cot 4 x
ccos4
os4 x
1
 Ta có: I  
dx
dx
dx
d
x 
d
x  2
d
x
CC
2
sin4x
sin4 x
2sin4 x
sin 4x




1 
dx


4  dx 




2
2 2  1  sin  2x   
 


  


sin  x    cos x    

4

8
8  

 




1 

3  

 ln 1  sin  2x    cot  x 
  C

8  
4

4 2 
Câu 60. I 



 2



dx

3
si n x  ccos
os x
3sin

3

ddx

6

1

 2sin x 
0

x
d
dx
33

Trang 12
/>

 Ta có: I 





6

6

1
2 0

1



sin sin





0 2cos x   .sin x  
sin03sin
3 x  sin




3
2 6
2 6
 


x 

cos
sin   
  
  x   


6
6

 Tasin
có: ((sin
 ccos4
os4x  ccos8
os8x  I 
.
cos
cos
si n4 x  c
os4 x))(sin
(si n6 x  c
os6 x) 
1
28
64 16
64
128
2cos
.sin 3 2 
2
Câu 663. 2I   c
os2x((sin
si n4 x  ccos
os4 x)ddx
x
cos2
6  0

   


os2 x.d
x
1)) ccos
dx
   0
  

   2
2
2
8
 A =  ccos
os5 xdx   1d s
isin
n2 x  xd((sin
si n x) =
15
0

 0

  

2
12

2
B
=
cos

x 2
dx
os 2 x ccos
os 22xxdx
dx
Câu 65. I   ccos
dx
x0
x
6
6

x



0 2





1
12
2
I cos
c
o
s
x

cos2
xdx
(1
cos2
cos2
xdx
dx


 (1(1 22cos2
2
4
sin 2 6
0
0
0
2 6
1122
sin cos
Trang 13
262
I
/>6 
0

2





si n3 x((1
1  ccos
os x)
4sin
4sin
4sin
2sin2

4
si n x  4
si n x ccos
os x  4
si n x  2
si n 2x
1  cos x
sin2 x


 I   2 (4sin x  2sin2x)dx  2
0

2

Câu 67. I 



sinxxdx
dx
11 sin


2

2



0

 3

2
2
x  
x 
 2   sin   dx   sin    dx   4 2
2 4
2 4 
0
3


2




Câu 68. I 

4

ssin2
i n 2xxdx
dx
3  4sin x  cos2x
2
i2sin
ns cx scos
o x
1
 Ta có: I  
sin
n x  I  lln
n ssin
in x  1 
C
ddx
x . Đặt t  is
ssin
in x  1
2sin2 x  4sin x  2
dx
d
x
Câu 70. I  
3
sin x.cos5 x
ddxx
ddxx
 8 3
 I 3

n2 x 
1 t2
1
Câu 69. I  

Trang 14
/>

dx
d
x

Câu 71. I  

sin x.cos3 x
dxdx

 I 

ddx
x

 2

. Đặt t  ttan
an x  d
dtt 

dx
d

Câu 72. I  

2011
2
011

011
009
s
isin
n 22011
xs
isin
n 22009
x
ccot
ot xxdx
dx
5
sin x

1

2011
2
1
01 1 

issin
n2 x ccot


ccot
ot xxdx
dx

4
024
4024

8
046
8046

2
011 22011
2
011 22011
2011
2011

t 011 
t 011  C
4024
8046
4
024
8
046

8


cos
0




2
1))2
(t  1
ssin
i n x..cos
cos2 x
cos
os x  I  2
d
ln2  1
dtt  2
2ln2
d
x . Đặt t  1 c
dx
t
cos
x
1

c
o
s

os2 x))sin
si n x
(1 ccos
cos
osx
d
x 
d
x . Đặt t  c
dx
dx
cos
ccos
s x
o
c
o
s
x
0

1
2

1 uu2
3
d
u  lln2
n2 
du




2

2

Trang 15
/>





+ H   2sin
2sin xxdx
dx   (1(1 cos2
cos2x )d
)x   
dx
2





2

2


dx   2  sin
s
i n2 xxd
d(sin
(si nx))

I 





2

2
3

2
3



Câu 76. I 

3

dx

 ssin
i n2 x..cos


I 

3



(1  t 2 )2dt
dt
t2

1

3





1

3

 1
1
tt 3 
8 34
2

2

  2  ssin
in x 
2

0





2

2

ssin2
i n 2x

 Ta có: I  

2
0 (2  sin x)

3

 I  2

2

t 2
t2

2 3

2
3



Câu 78. I 

6

ssin
in x

 cos2x ddxx
0





6

6
ssin
in x
ssin
in x
cos
dtt   s


d
dtt 


6

t 

1
2 2

lln
n

3
2
2t  2
2t  2

1

=
3
2

1
2 2

lln

.sin x.cos x. dx

0


2

1
dx
2

Câu 80. I   sin x  sin2 x 



 Đặt t  cosx . I 

3
(  2)
16

6


Câu 81. I 

4

sin4x


3
2 1 
dx . Đặt t  1  sin2 2x  I =   
t
dt =
3
4
3
t


1

1
1
4



2
.
3



Câu 82. I 

2

sin x


sin x  sin   x     =
sin  x    cos x  
6 6
2
6 2
6







sin  x   dx
2
6
3
1 2
3
dx

I=
=



6
16 0







4

sin x

4

sin x



cos2 x



cos2 x





1  cos2 x .dx 






sin x dx

3



= 

0

sin2 x



cos2 x





4

dx  

0

sin2 x
cos2 x


1
1
3  dx .

I
dx = 
dx = 
20


20


0 sin x  3 cos x
sin  x  
1  cos2  x  
3
3








6

6



I





2

3



sin x  3 cos x dx = I 

0





sin x  3 cos x dx 

2

 sin x 

3 cos x dx  3  3



costdt

0



2

cosxdx

 (sin t  cost )3  (sin x  cosx)3


0





12
dx
1
 4
1
 
  cot( x  )  1  I 
 2I  
2

20 2

Đặt x 


2



2

sin xdx

 sin x  cos x 

3

I2 

;

2



0

cos xdx

sin x  cos x 

3

2cos2 ( x  )
4







1
 
tan( x  ) 2  1
4 0
2

Trang 18
/>

 I1  I 2 

1
 I  7I 1 – 5I 2  1.
2



Câu 88. I 

3sin x  2cos x


2

Câu 89. I 

2

3sin x  2cos x

3cos x  2sin x

 (cos x  sin x)3 dx

0





2

3cos x  2sin
2sin x

2

11

 (sin x  cos x)3 dx   (cosx  sin x)3 dx   (sin x  cosx)2 dx  1 

0

 2I   

2
0 1  cos t



(  t )sin t

1  cos2 t



dt   

sin t

2
0 1  cos t

dt  I

  
2
    I 
2
8
 4 4
0 1  cos t
d(cost )

cos3 t  sin3 t

dt 

2

sin4 x cos x

 cos3 x  sin3 xdx

0

2



 2I 

2





cos x sin x  sin x cos x
4

4

sin3 x  cos3 x

2

1
4

 I .


Câu 91. I 

2

1

  cos2(sin x)  tan


0

 Đặt x 


2


(cos x)  dx


 t  dx  dt





2
2

1
1
Do đó: 2I   
 tan2 (cos x)  tan2(sin x)  dx = 2  dt  

2
2

 cos (sin x) cos (cos x)
0
0

 I


2

.



Câu 92. I 

4


4  4sin2 t



4





12

  dt 

6

.

6



Câu 93. I 

3

sin x

0

1 t2
= ln
4 t 2

3

2

3

sin x.cos x
cos2 x 3  sin2 x

sin2 x

+ Tính I 1  

3

2
3

+ Tính I 2= 

3







1
15  4
32 
1 
 =
 ln
 ln
ln 15  4  ln  3  2  .

4
2
15
4
3
2







2
3

x
2
3





dx

dx
.
1  sin x

u  x


du  dx
dx  
I1 

dx . Đặt 
dv 
v   cot x
3
sin2 x

sin2 x


x

2

dx

Câu 95.

sin2x

I

cos2 x  4sin2 x

0



I

2



dx

2
udu
22
2
3
dx . Đặt u  3sin x  1  I  
  du 
3
u
31


4

I
dx . Đặt t  tan x  dt 
dx   
dx  (tan2 x  1)dx
2
2
cos2x
cos x
0
0 (tan x  1)


6

1

 I 

3



0

1

1 3 1 3




sin2 x(1  cot x)

 I  2

dx . Đặt 1 cot x  t 

1
sin2 x

dx  dt

6

 I 2

3 1



3 1

t 1
dt  2  t  ln t 
t

3 1
3 1



sin2 2x.cos2 x

 Ta có: I  4. 

. Đặt t  tan x  dx 

dt

1 t2

4

3
3
3 (1  t 2)2 dt
3 1
1
8 34
t
  (  2  t 2)dt  (  2t  )

 I 
2
3
t
3
t2
1

2
1 1 2
1 
1
 I  2
dt   

 dt  ln3  ln2
3 0  t  2 2t  1 
2
3
0 2t  5t  2
1

t


4

sin2 xdx



cos4 x(tan2 x  2tan x  5)



Câu 100. I 



t 2dt

1
2
dt

2

3
ln


 2
3 1 t 2  2t  5
1 t  2t  5

 tan u  I 1 

1
2

0




du 





2

sin x

sin x

 3sin x  4sin3 x dx   4cos2 x  1 dx





6

6

Đặt t  cosx  dt   sin xdx  I  

0



3
2



Câu 102. I  2


ln(2  3)
4

dx

  
 Ta có: 1 sin2x  sin x  cos x  sin x  cos x (vì x   ;  )
4 2


 I  2
4

I 

1

sin x  cos x
dx . Đặt t  sin x  cosx  dt  (cosx  sin x)dx
sin x  cos x

21

2
1
dt  ln t 1  ln2
t
2

Trang 22


Câu 104. I 

4

tan xdx

0

cos x 1  cos2 x





 Ta có: I 

4

tan xdx

0

cos2 x tan2 x  2



3

tdt


t 3
1
dt   .
3
32
2 t

 Đặt t  cosx  sin x  3  I  

dx

0



Câu 106. I 

4

sin4x

0

cos x. tan x  1



2


1



Câu 107. I 

4

sin4x

 1  cos2 xdx

0



 Ta có: I 

4



2sin2x(2cos x  1)
2

1  cos x
2

0


1 3
dx . Đặt t  tan x  I   
.

2
2

(tan
x
1)
t
(

1)
2
0
0
6

 Ta có: I   

2

Trang 23
/>



Câu 109. I 







Câu 110. I 

2

cos x



7  cos2 x

0

I

dx

2

1

cos x dx



2

1



 Ta có:

3



sin x

4

4

3

dx 



1

1

.

2
tan x cos x


cos x cos x sin x
)dx
1  cos 2 x
3





 cos x(1  cos2 x)  sin x 
x.sin x
dx

x
x
dx

dx  J  K
.cos
.



2
2


1



2
0 1  cos x



K 

dx .

(  t ).sin(  t )

0



 2K  
0

1  cos (  t )
2

( x    x).sin x
1  cos2 x

Đặt x    t  dx  dt


dt  
0


Trang 24
/>

Đặt t  cosx  K 



1

dt

,
2  1 t2

đặt t  tan u  dt  (1 tan2 u)du

1



K 





4

(1  tan u)du





du 


2



. u 4 


2

4

4

4

2



Câu 113. I 

2


2



3

dt

4  t2



1
 ln( 15  4)  ln( 3  2)
2

Dạng 3: Đổi biến số dạng 2


2

Câu 114. I   sin x  sin 2 x 



1
.dx
2

6











2
3sin x  4cos x
4cos x
3sin x
3sin x
4cos x


dx
dx

dx
dx

dx
2
2
2
2


dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I1  
2
3  t2
3  cos x
0
0

+ Tính I1  

Trang 25

/>