hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015
1) I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
π
π
−
+
∫
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
x x
dx
π
+
+
∫

3) I =
2

x xdx
π
+
 
−
 
 
∫
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
x x
dx
x
π
π
−
−
∫
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x

2
x x dx
π
π
+
∫
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
π
π
 
+
 ÷
 
∫

11) I =
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx

π
π
 
−
 ÷
 
∫
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
π
 
+
 ÷
+ +
 
∫
15) I =
( )
2
3
0
sin
sin 3cos
x

x
dx
x x x
+ + −
∫
18) I =
( )
( )
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
+
+ + +
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x

.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
π
 
 ÷
−
 
∫
22) I =
( )
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
π
+
∫
23) I =
( )
1
1
2 ln 1
ln
e

26) I =
1
2
0
1 6 3x x dx+ −
∫
27) I =
1
2
1
1
1 1
dx
x x
−
+ + +
∫
28) I =
( )
1
3 2
2 2
0
10 3 1 10
1 1
x x x
dx
x x
+ + +
+ +

∫
31) I =
1
2 2
3
4
2tan
cos
x
e x
x x dx
x x
π
π
 
 
 
+ +
 ÷
 
 
 
 
∫
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx

2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
+
+
∫
36)
( )
4
2
2
0
.log 9I x x dx= +
∫
37) I =
1
3
3
4
1
3
2014x x x
dx

40) I =
( )
1
4 2
1
3
ln 3 2lnx x x dx
 
+ −
 
∫
41) I =
( )
1
2
2
0
.
2
x
x e
dx
x
−
−
∫
42)
( )
( )
2 2

2 2 2
2
4 4
1 1 1 1
. .
1
cos tan 3 cos
2
cos
dx dx
x x x
x
π π
π π
− −
=
+
+
∫ ∫
Đặt t = tanx => dt =
2
1
cos
dx
x
. Đổi cận => I =
1
2
1
1

( )
2
2 2
1 2
0 0
2 2 2
1
2
2
0 0 0
2
1
2
0
sin
1 sìn2x 1 sìn2x
1
1 sìn2x 2
sin cos
sin
4
cos
1 1
1
4
cot
cot
2 4 2
sin
sin

+
 ÷
 
=

 
=

+
 ÷

 
 
 
⇒ ⇒ = − + +
=
 
 
 ÷
= − +
 
 
 ÷
 
+
+
  ÷


 

0
sin 1 1 cos2 1 1 1 cos sin
1 sìnx 2 4 2
sin cos sin cos
sin
4
sin cos
1 1 1 1 1
cot ln sin cos
4 4 2 sin cos 2 2 2
x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
x
d x x
x dx x x
x x
π π π π
π
π
π
π
π
− −
= = = −
+
 
+ +
+
 ÷

=> 2tdt = - sinxdx. Đổi cận
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN

( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1
1
3
3
2
2
2
2 2
2
2 . 2 2
1 2 1 6 1
ln 1 ln 2 3
3
2 2 2 2
t t
tdt dt dt dt

3 3 3
2 4 2 2 2
4 4 4
3
3
3
2
3
4
4
4
sin cos 1 1
.
4sin .cos 4 cos cos sin 2
1 1 1 tan 3 2 3 1
1 tan tan cot 2 tan
4 2 4 3 6 3
x x dx dx
dx
x x x x x
x
x d x x x
π π π
π π π
π
π
π
π
π
π

0 0
2 .2sìn2xcos2xdx 2sìn2xcos 2xdx I I
π π
+
− = +
∫ ∫
Tính: I
1
=
4
1 sin2x
0
2 .2sìn2xcos2xdx
π
+
∫
. Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận
( )
2 2 2
1
1 1 1
2 1 .2 2
t t t
I t dt t dt dt= − = −
∫ ∫ ∫
. Đặt:
2
2
ln 2
t

t t t t
t
t
I dt dt dt
 
= − − = − +
 ÷
 
 
= − + = −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
hoctoancapba.com
Tính:
4
4
2
0
2sìn2x.cos 2I xdx
π
=
∫

( )
4
4 5
4
0
0

π
π
−
−
∫
=
0
2 2
4 4
2 2 2
0
3 3
sin sin
sin sin
cos cos cos
x x
x x
dx dx dx
x x x
π π
π π
− −
= − +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
0
4
0
4
2 2

.
1 cos
x
x
e dx
x
π
+
+
∫
=
2 2 2 2
2
0 0 0 0
sin . 1 sin
1 cos 1 cos 2 1 cos
cos
2
x x x
x
e dx x e dx e x
I dx e dx
x
x x x
π π π π
= + = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫

2 2

I dx e dx I I
x
π π
= + = +
∫ ∫
Tính: I
1
=
2
2
0
1
2
cos
2
x
e dx
x
π
∫
Đặt
2
1
2tan
cos
2
2
x
x
u e

π
 
 
⇒ = − = −
 
 
2
1 2
I I I e
π
⇒ = + =
8) I =
( )
( )
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
x x
π
π
+ +
+
∫
=
2 2

π
π
∫
Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=

=


⇒
 
= −
=



hoctoancapba.com
I
1
= - xcot
2

x
π
π
+
∫
=
2
3
2
3
sin cos
2 2
dx
x x
π
π
 
+
 ÷
 
∫
2
2
3
3
2
3
3
1
cot

+ −
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
π
π
+
∫
=
2
2
6
3
sin . cos
2
x xdx
π
π
−
∫
. Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
Đổi cận => I = -
3
0
2

= + = + = +
 ÷
 
∫ ∫

10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
π
π
 
+
 ÷
 
∫

Ta có: cosx. cos (x +
4
π
) = cosx (
1
2
cosx -
1
2

π
= − = − −
−
∫
3 3
2 ln
3
−
= −

hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
11) I =
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx
x x
π
+
+
∫

=
( ) ( )
2 2
2 2 2 2


Tính: I
1
=
2
2
0
sin
3
3 cos
x
dx
x
π
+
∫
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận
I
1
= 3
1
2
0
3
dt
t +
∫
Đặt t =
3
tanu => I

sin 2 sin 2 sin 2
d x
x
x x x
π
π
−
= −
+ − +
∫
= ln3
Vậy I =
3
6
π
+ ln3
12) I =
( )
2
3
4
7sin 5cos
sin cos
x x
dx
x x
π
π
−
+

2
2 2 2 2
7 sin . .cos 5 cos . sin .
2 2 2 2
1
sin
2 2
t t t t
dt
t
π
π
   
− − +
 ÷  ÷
   
∫
=
( )
3 3
3
4 4
4
3 3
2
2 2
sin
1 2 sin 6 2 cos 1
cot 3
sin 2 sin

cos2
x
dx
x
π
π
 
−
 ÷
 
∫

Ta có:
2
2
2
tan 1 sin
tan ;cos 2 cos . 1
4 1 tan cos
x x
x x x
x x
π
 
−
 
− = = −
 ÷
 ÷
+

x + 1) dt, đổi cận
I = -
( )
1
1
3
3
2
0
0
1 1 1 3
1 2
3 1
1
dt
t
t
−
= = − =
+
+
+
∫
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx

x
I dx
x
π
=
+ +
∫
; Đặt
3sin 1t x= +
=> t
2
= 3sinx + 1
=> 2tdt = 3cosx dx
( )
( )
2
2 2
2
1
1 1
1
2 2 2 2 2
1 2ln 2 2 2ln 2 1 2ln3
3 2 3 2 3 3
t
I dt dt t t
t t
⇒ = = − = − + = − − +
+ +
∫ ∫

2 2
I x x xdx x
π
π π
π π
⇒ = − = + = −
∫
2
2 2
2
0 0
0
.sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
π
π π
π π
⇒ = − = + = −
∫
Vậy:
1 2
4 3 1
ln
3 4 2 3
I I I
π
= + = + −

hoctoancapba.com

x
π
π
 
+
 ÷
 
∫
Đặt t = x +
3
π
dt =dx, sinx = sin ( t -
3
π
) =
1 3
sin cos
2 2
t t−
. Đổi cận
I =
5
6
3
3
1 3
sin cos
1
2 2
8 sin

1 3 1 3 3
cot
32 12 6
4 3 4 3
t
π
π
+ = + =

16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
x x
π
π
π
 
+
 ÷
 
∫
=
2
6
cos
6 6

6
x x x x
dx
x x
π
π
π π
π
   
+ + +
 ÷  ÷
   
=
 
+
 ÷
 
∫
=
2
6
sin
2 cos
6
sin
3
cos
6
x
x

x x
π
π
π
 
 
− + =
 ÷
 ÷
 
 
=
ln 4
3

* Cách khác: Do sinx.cos (x +
3 1
) sin cos sin
6 2 2
x x x
π
 
= −
 ÷
 
( )
2
1
sin 3 cot 1
2

x
π
π
= − −
2 ln 4
.ln 2
3 3
= =

hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
17) I =
(
)
3
2 2
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
+ + −
∫
Đặt t = lnx =>dt =
1
dx
x
, đổi cận

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )
( )
1 1
3 3
2 2
2 2
0 0
1 1 1
4 4 5 5 3 3 16
6 6 6
t t= + + − = + −
*Cách khác:
Đặt t =
2 2
4 ln 4 lnx x+ + −
2 2 4
8 2 16 8 2 16 lnt x t x⇒ = + − ⇒ − = −

( )
4 2 4 4 2 4
64 16 4 16 ln 4ln 16t t x x t t⇒ + − = − ⇒ = −
3 3
ln
2
4
x t
dx t dt
x

( )
( )
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
+
+ + +
∫
=
( ) ( )
2
2
0
1 1
1 1 3
x
dx
x x
+ +
 
+ + +
 
∫

( )

∫
Đặt x+1 =
3
tant => dx =
3
(1+ tan
2
t)dt, đổi cận
( )
( )
2
3
1
2
6
3 1 tan
3

18
3 1 tan
t
I dt
t
π
π
π
+
= = =
+
∫

du u
I du
u u u u u
−
 
= = − = =
 ÷
− −
 
∫ ∫
Vậy I =
3 3ln3
18
π
+
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
x e
dx
x e
−

I =
3 2013
3 2013
3 2013
2015
2015
2015
2013
2013ln
e
e
e
t
dt t t
t
+
+
+
−
= −
∫
3 2013
3 2 2013ln
2015
e
e
+
= − −
20) I =
3

∫ ∫
Tính I
1
=
3
1
2
0
.
x
x e dx
∫
Đặt t = x
3
=> dt = 3x
2
dx => I
1
=
1
0
1 1
3 3
t
e
e dt
−
=
∫
Tinh I

⇒ = = + − = − +
 ÷
 ÷
+ + +
 
 
∫ ∫ ∫
8
4
3
J= − +
Với
1
2
0
1
dt
J
t
=
+
∫
Đặt t = tanu => dt = (1 + tan
2
u)du =>
2
4
4
2
0

0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
π
 
 ÷
−
 
∫

I =
2
2 2
sin
1 2
2
0 0
sin .cos
.sìn2x
2cos 8
x
x x
e dx dx I I
x
π π

cos
sin
x
x
u x
du dx
dv e d x
v e
=
 =

⇒
 
=
=


hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
2 2
sin sin sin
2
1
0
0 0
2sin . 2 .cos 2 2 . sin
x x x
I x e e xdx e e d x
π π

1
1 1
2
2 2
0 0
0
1 1 4 1 1 2 1 ln3
1 ln
2 4 2 4 2 2 2 2 2
t t
dt dt
t t t
−
 
= + = + = −
 ÷
− − +
 
∫ ∫
Vậy I =
5 ln3
2
−
22) I =
( )
4
2
0
tan tan
x

x
π
∫
Đặt
2
1
tan
cos
x
x
u e
du e dx
v x
dv dx
x

=

=

⇒
 
=
=



I
1
=

Vậy I = 1
23) I =
( )
1
1
2 ln 1
ln
e
x
x
dx
x x
+ +
+
∫
=
( )
1
2 ln 1
ln
e
x x
dx
x x x
+ +
+
∫
Đặt t = lnx => x = e
t
, dt =

e t
+
+
∫
Đặt u =
( )
1
t t
e t du e dt+ ⇒ = +
, đổi cận
( )
1
1
ln 1
e
du
J e
u
+
= = = +
∫
Vậy I = 1 + ln(e + 1)
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
24) I =
8
3
ln
1
x

8
3
3
1
2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2
x
I x x dx J
x
+
= + − = − −
∫
Tính: J =
8
3
1x
dx
x
+
∫
Đặt t =
2
1 1x t x+ ⇒ = +
,
2tdt dx=
, x = t
2
– 1, đổi cận
3
2
2

( )
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
x x
dx
−
− −
∫
( )
( )
1 1
2 2 2
0 0
2 2 .2
2
2 9 3.2 2
2 9 3
2
x x x
x x
x
x
I dx dx⇒ = =
− −
− −

1 1
1
5 5 5
2 2 1 1
. . . ln
ln 2 ln 2 0 5 . 5 5ln 2 5
25
t t t
t
I dt dt
t t t
t t
+ − − −
= = =
+ − +
−
∫ ∫
1 3 2 1 9
ln ln .ln
5ln 2 7 3 5ln 2 14
 
= − =
 ÷
 
26) I =
1
2
0
1 6 3x x dx+ −
∫

3 3
I t t t dt t dt
π π π
− − −
⇒ = − = = +
∫ ∫ ∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
0
3
2 1 2 1 3
sin 2
2 3 2 2
3 3
t t
π
π
−
 
 
− −
 
= + = −
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 

1 1
2
1 1
1 1
2 2
x x
dx dx
x x
− −
+ +
= −
∫ ∫
1 2
I I= −
Tính:
( )
1
1
1
1
1
1 1 1
1 ln 1
2 2
I dx x x
x
−
−
 
= + = + =

+ + +
+ +
∫
1 1
1 2
2
2
0 0
1
10 3 10 3
1
1
x
dx dx I I
x
x
= + = +
+
+
∫ ∫
1
2
1 1
2
0
; 1 2 1
1
x
I dx t x I
x

cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
π
π
+
+ +
∫
( )
2
2
2
cot cot 1
2
4
cot 2cot 3cot 1
.
sin
x x
x x x
e dx

dt u du I t e dt= + ⇒ = −
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
( )
3
3
2
1
1
1
1 1
t t
t t
u t du dt
dv e dt v e
I e t e dt e e

= − =

⇒
 
= =


= − − = = +
∫

30) I =

tan
cos
cos
u x
du dx
J x dx
v x
x
dv dx
x
π
=

=


= ⇒
 
=
=



∫
( )
4 4
4
4
0
0

x x dx
x x
π
π
 
 
 
+ +
 ÷
 
 
 
 
∫

1
2
2 2
3 3 3
4 4 4
2 tan
cos
x
e x
I dx dx x xdx J M N
x x
π π π
π π π
= + + = + +
∫ ∫ ∫

4 4
2
; tan 2 tan
1
tan
cos
cos
u x
du xdx
x
M dx M x x x xdx
v x
x
dv dx
x
π π
π
π
π π

=
=


= ⇒ ⇒ = −
 
=
=



2 .ln 2.
2
1
cos4
sin 4
4
x
x
du dx
u
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
=



2 2
2
0
0 0
1 1 ln 2
.2 .sin 4 .ln 2 2 sin 4 . 2 sin 4

2
0
0
ln 2 1 ln 2 1
.2 .cos4 . .ln 2. 2 .cos 4
4 4 4 4
x x
I x xdx
π
π
 
−
 
 ÷
= − −
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
∫
2
2 2
2
2 1 .ln 2
ln 2 ln 2 ln 2
2 1 . 1
16 16 16 16
I I I
π

ln
1
x x
I dx
x
=
+
∫

( )
( )
2
2
2
1
ln
1
1
2 1
u x
du dx
x
x
dv dx
v
x
x


=

dx
I x dx
x x x x x
+ −
= − + = − +
+ + +
∫ ∫
3
3
2
1
1
ln3 1 1
ln
20 2 2 1
x
x dx
x
= − + −
+
∫
( )
( )
2
3
3
2
2
1
1

, đổi cận
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
1
2
0
1
ln 1
3
I t dt= +
∫

( )
2
2
2
ln 1
1
t
u t
du dt
t
dv dt
v t


= +
=
 

0 0
1 1
1
1 1
t dt
dt
t t
+ −
= −
+ +
∫ ∫
Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan
2
u)du, đổi cận
2
4
2
0
tan 1
1 1
tan 1 4
u
J du
u
π
π
+
= − = −
+
∫

1 2 2 . .
: 1 2
1 1 1 1
x x
x x
x x x e x e
Do I e dx e dx dx
x x x x
 
+
= − ⇒ = − = −
 ÷
 ÷
+ + + +
 
∫ ∫ ∫
1 2e J= − −
Tính
( )
1
2
0
.
1
x
x e
J dx
x
=
+

+
+


1
1
0
0
.
1
1 2
x
x
x e e
J e dx e
x
= − + = − + −
+
∫
Vậy I = 1
36)
( )
4
2
2
0
.log 9I x x dx= +
∫
( )
( )

=


+
= +
 
⇒
 
=

+


= + =


+ − −
= + − = =
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
* Cách khác: t = x
2
+ 9
=> I =
25 25
25
9
9 9
1 25ln5 9ln3 8

x x
−
+ = +
∫ ∫
3
1 1
3
3
2
1
4 3
1 1
3 3
1
1
x x
x
I dx dx
x x
−
−
= =
∫ ∫
Đặt
3 2
3
2 2 3
1 1 3
1 1
2

38) I =
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
+
 
+ −
 ÷
 
∫
=
1 1
1 1
1 1
2 2
1
x x
x x
e dx x e dx J K
x
+ +
 
+ − = +


 

= −
 
 ÷
=
⇒
 
 
 
=

=

1
5
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
.
2
x

x
x x
e
dx
e e+ + +
∫
Đặt t =
2
3 3
x x
e t e+ ⇒ = +
,
2
x
tdt e dx=
,đổi cận
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
2
2
2 2 2
2 1 1
2
2 2
2 3 1 2 1 . 1
3 2 3 7
t t
t t

2
.( 3x
2
+1 )] – lnx
2

hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
= ln( 3x
2
+ 1 ), nên I =
( )
1
2
1
3
ln 3 1x dx= +
∫
Đặt:
( )
2
2
6
ln 3 1
3 1
xdx
u x
du
x
dv dx

x
+
= + − = −
+
∫
( )
1 1 1
2
1
1
2
2 2
3
1 1 1
3 3 3
6 2 1 4
2 2 2 2
3 1 3 1 3
3 1
x
J dx dx x dx K
x x
x
 
= = − = − = −
 ÷
+ +
 
+
∫ ∫ ∫

+
∫
Vậy
12ln 2 3ln3 12 3
9
I
π
+ − +
=
41) I =
( )
1
2
2
0
.
2
x
x e
dx
x
−
−
∫
Đặt
( )
( )
2
2
. 2

−


1
1
2
0
0
. 1
.
2
x
x
x e
I x e dx J
x e
−
−
= − = −
−
∫
Với
1
0
.
x
J x e dx
−
=
∫

( )
2 2
2
2
1
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
+ + +
+
∫

( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
2 2
1 1 1
(ln 2 ln ) 1
ln ln
e e e
x x x x x x x x
dx dx dx A B
x
x x x x x x
+ + + + +
= = + = +

d x
e
x
B dx
x x e
x x x
+
+
= = = − =
+ +
+ +
∫ ∫
Vậy I =
( )
2
2 1
1
e
I
e e
−
=
+