HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu
(gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, y,...
B
b
a
A
(Chú ý: AB BA )
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0
Ví dụ: MM , AA ,....
A
a) Tất các vectơ khác 0 ;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.
B
o
D
Các kí hiệu thường gặp
AB cùng phương CD kí hiệu: AB // CD
AB cùng hướng CD kí hiệu: AB CD
AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD
-1-
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
| a || b |
+ Sử dụng định nghĩa:
a b
a, b cuøng höôùng
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
A
B
AB DC , BC AD ,…
o
(hoặc viết ngược lại)
D
+ Nếu a b, b c a c
C
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
A
Chứng minh: EF CD
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
E
F
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
B
N
A
của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
-2-
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
a) AM = a ;
b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |.
Giải
Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//
(nếu A thuộc thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP .
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
-3-
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
A
* FO là vectơ cần tìm
khi đó BB ' AB
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC ' AB
+ tương tự
A
B
Bài 8: a) AB DC , OB DO
O
D
-4-
C
Bài 10: AB DC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
AC
2
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2) AQ AQ 0
-5-
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : MQ = NP
3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN
6. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN
a/ CMR : KP = PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL = 0
-6-
§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết
1. Tổng các vectơ
C
C
A
D
+ Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ
a +(- a )= 0
a , kí hiệu là - a
+ Mọi vectơ đều
có
vectơ
đối,
ví
dụ
có
vectơ
4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có:
+ Giao hoán : a b = b a
+ Kết hợp ( a b ) + c = a (b + c )
+ a + 0= 0 + a = a
+ a+( a )=
A
a +a = 0
+ |a + b | ≤ | a |+| b |,dấu “=”
ra khi a , b cùng hướng.
xảy
+ a b và | b | ≥ | a | | a + b |=| b || a |
Giải:
a) + Vì MC AN nên ta có
NC MC = NC AN = AN NC = AC
+Vì CD BA nên ta có
-7-
AM CD = AM BA = BA AM = BM
+Vì NC AM nên ta có
AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM AN AC
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC
Vậy AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
, N d. Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d AB//EC
AB // EC
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm AM AN ; MN NC ; MN PN ; BP CP .
b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP .
Giải
a) AM AN = NM
MN NC = MN MP = PN (Vì NC MP )
MN PN = MN NP = MP
BP CP = BP PC = BC
b) AM NP MP MN
Tính | OA CB |; | AB DC |;| CD DA |
Giải
Ta có AC=BD= a 2 ; OA CB CO CB BO
-8-
C
D
a 2
| OA CB | BO
2
| AB DC || AB | | DC | 2a (vì AB DC )
Ta có CD DA CD CB BD | CD DA |=BD= a 2
Do đó
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh: AB BE CF AE BF CD
Giải
VT = AB BE CF AE ED BF FE CD DF
= AE BF CD ED DF FE
= AE BF CD (vì ED DF FE 0 )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Giải
Ta có DC CD; CE EC nên
VT = AC DE DC CE CB = AC DE CD EC CB
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR : AB + CD + EA = CB + ED
3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
a/ DO + AO = AB
c/ OA + OB + OC + OD = 0
b/ OD + OC = BC
d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý)
6. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AD theo a
9. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính AB AD
b/ Dựng u = AB AC . Tính u
10. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v = AB AC .
b/ Tính v .
11. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC , OD có độ dài bằng
nhau và OA OB OC OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
c/ AB DC FE = CF DA + EB
14. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ MA MB + MC = 0
b/ MB MC + BC = 0
c/ MB MC + MA = 0
d/ MA MB MC = 0
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
a) v AB DC BD CA
b) m AB CD BC DA
c) n BC CD AB DB .
d) p AB BC CD DE
AO = a ; BO = b
Bài 2: Cho hình
bình
hành
ABCD
tâm
O
.
Đặt
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB - AC theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
-10-
OA OB OC OA' OB' OC '
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng HB + HC = HD
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA - CB
-11-
VỚI MỘT SỐ
PHÉP NHÂN VECTƠ
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+ c cùng phương a
MA MB MC 3MG
3) Điều kiện để
hai vectơ cùng phương
a , b ; a cùng phương b ≠ 0 0≠k
: a =k b
( a , b ; b cùng phương a ≠ 0 0≠k : b =k a )
4) Điều
kiện
A, B, C thẳng hàng
để ba điểm
AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m,
1) Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
OM 3a; ON 4a
Giải
a
N
O
M
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a )
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM 3a .
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON 4a
, vì AM AB k=
a) AM k AB | k |
5
AB 5
| AB |
1
1
b) k=
c) k=
4
5
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b
Giải
a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a
AG AD u v
3
3 3
DE FA AF 0.u ( 1)v
DC FE AE AF u v
Giải Ta có AI
C
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
vectơ u AB, v AC .
Giải
Ta có AM AB BM AB
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC.
3
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
-13-
1
2 BI BA BM BA BC
2
Ta có
4 BI 2 BA BC (1)
Ta có
1
BK BA AK BA AC
3
1 2 1
BA ( BC BA) BA BC
3
3
3
3BK 2 BA BC
(2)
2MN AM BM ND NC
2MN
A
C
N
B
D
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2 AC AD 3 AC .
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB AD AC
VT= AC 2 AC 3 AC VP (đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG ' AA ' BB ' CC ' .
Giải
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD .
-14-
Giải
AG 2GD A,G,D thẳng hàng.
A
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
G
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA 2 IB 0 .
HD
A
B
C
GA GB GC GD 2GI 2GK
hay GI GK 0
B
C
I
K
A
G là trung điểm IK
D
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AM + BN + CP = 0
a/ CMR : AD + BC = 2 EF
b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)
c/ CMR : AB AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ OA + OB + OC + OD = 0
-15-
1
AB + AC
4
6
b/ CMR : KD =
1
1
AB + AC
4
3
Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1
1
a/ AM = AB + AC
3
8
điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
a) Tính AI , AJ theo AB, AC
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
e/ | C
-16-
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng
1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox
i
x
x '
O
I
O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài
đại số của AB đối với trục đã cho.
Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i
*Nhận xét:
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB = ba
Tính chất:
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.
Tọa độ của vectơ đối với
hệ trục tọađộ
Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .
Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’)
x x'
a =b
y y'
Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó:
1) a b = (x x’; y y’)
2) k a =(kx ; ky) với k
y
cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y)
M(x;y)
M
2
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hồnh độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y)
O
M1
x
x= OM1 ; y= OM 2
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N
2) | AB | = ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai điểm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì
M(xM ; yM) có toạ độ là:
x kx B
y ky B
xM A
yM A
;
(nếu k= 1 thì M là trung điểm AB)
1 k
1 k
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng
xC xA yC yA
AC / / AB xC x A y C y A ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng khi
xB xA yB yA
xB x A
yB y A
-18-
BÀI
Đáp án: a) c =(11;11), | c |=11 2
b) c =(8;19)
d) a =(0;0)
d) u = j
4) Cho a =(2;4); b =(-3;1); c =(5;-2). Tìm vectơ:
a) AB (2; 2), BA ( 2; 2)
b) M(4;3)
c) N(2;0)
6) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng,
j và AB cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung
điển N của BC và trung điểm M của CD.
Đáp án:
A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)
5 5
5
5
I ( ; ), N ( ;5), M (5; )
2 2
2
2
7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc BAD 600 . Chọn
hệ trục tọa độ (A; i, j ), trong đó i và AD cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ AB, BC , CD, AC .
Đáp án: Kẻ BHAD, ta có
12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các
véc tơ AG, GM , AM . Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án: AG
, GM
, AM
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
b) AF 2BF 4CF 0 .
a) CE 3 AB 4 AC
Đáp án:
b) u =(0;5), v =(x;7)
d) a =( t+1;2) b =(3;4-t).
a) x= 6
Đáp án:
d) a = (-1;-3) và b =(1;2).
16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
b) a =( 2 = -1) và b = (-2; 2 ).
c) x= 3
b) x= 0
d) t=1; t=2
c ma nb
1
1
HD: Tìm các số m, n sao cho c = m a + n b giải hệ 1
c
m
a
nb
2
2
2
Đáp án:
3 4
a b
5
5
Đáp án: A, B, C thẳng hàng AC / / AB x=14
21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD.
Đáp án: ta có CD 2 AB AB và CD song song hoặc trùng nhau
2 6
1
2
AC không cùng phương AB C không thuộc AB CD//AB
Ta AC (2;6), AB (1; 2)
22) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C.
Đáp án: C(0;4)
23) Cho A(2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC
a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a 3
a
a
), B( ;0), C ( ;0)
2
2
2
a a 3
)
b) E ( ;
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G.
4 4
26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O; i, j ), trong đó O là tâm của lục giác đều, i OD ,
j EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6.
Đáp án:
a) A(0;
Đáp án: A(6;0), D(6;0)
27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
BÀI TẬP THÊM
1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của AB .
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1
2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB MC = 0
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA 3 NB = NC
3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB
4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
2
6/ Viết dưới dạng u = x i + y j , biết rằng :
u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)
7/ Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
1
a/ u = 3 a 2 b
b/ v = 2 a + b
c/ w = 4 a
b
2
8/ Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó.
12/ Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại
M.
13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ABC.
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a) AB AC AB AC
b) Vectơ AB AC vuông góc với vectơ AB CA
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a) AC BC DC
b) DB m DC DA
-22-
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho
AA' k BC , BB' k CA . Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng
minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 OA + OB + OC = 4 OI
2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
a/ CMR : 2 AI = 2 AO + AB
b/ CMR : 3 DG = DA + DB + DC
3/ Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC = 3 BN . Tính AN theo AB và AC
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC và MF = MB +
CA . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MF
-23-
7/ Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/ MA = MB
e/ MA + MB = MA + MC
8/ Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2 AB ,
2
AE = AC
5
a/ Tính AG , DE , DG theo AB và AC
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
9/ Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD =
( TỪ 00 đến 1800)
1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = và M(x0;y0). Khi đó ta
định nghĩa:
sin của góc là y0; ký hiệu sin = y0
côsin của góc là x0; ký hiệu cos = x0
y
y
tang của góc là 0 ( x0 0); ký hiệu tan = 0
x0
x0
x
x
côtang của góc là 0 ( y0 0); ký hiệu cot = 0
y0
y0
* Dấu của các tỉ số lượng giác:
00≤ ≤900
900
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
a. Sin 450 =
Giải:
A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200)
4. Góc giữa hai vectơ
b
a
=0
A
O
B
Copyright: Tài liệu đại học ©