Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc, ∀a, b, c ≥ 0

(

)

Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh răng (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ 1 + 3 abc , ∀a, b, c ≥ 0
3

Bài 3: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
a)

a+b b+c c+a
+
+
≥6
c
a
b

b)

a

b ( a − b)
4

( a − b )( b + 1)

2

b) a +

≥ 3, ∀a > b > 0

d)

1
b ( a − b)

a2 + 2
a2 + 1

2

≥ 2 2, ∀a > b > 0

≥ 2, ∀a ∈ R

Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng

8
729

c2
a+b+c
+
+
≥
, ∀a, b, c > 0
b+c c+a a+b
2

1
1  3
 1
Bài 12: [ĐVH]. Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có ( a 2 + b 2 + c 2 ) 
+
+
 ≥ ( a + b + c)
a+b b+c c+a 2

Bài 13: [ĐVH]. Cho x ≥ 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x 2 + 2 x + 17
2 ( x + 1)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Bài 14: [ĐVH]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =


1
1+ z2

Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x+ y
y+z
z+x
+
+
xy + z
yz + x
zx + y

Ví dụ 3. Cho x, y > 0 và x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
+
3
x +y
xy
3

Ví dụ 4. Cho x, y > 0 và xyz = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1


Ví dụ 6. Cho x, y, z > 0 và

1
1
1
+
+
= 2.
1+ x 1+ y 1+ z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz

Hướng dẫn:
Tách


1
1  
1 
y
z
yz
= 1 −
+
≥2
 + 1 −
=
1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1
( y + 1)( z + 1)

1+ y2 + z2
1 + z 2 + x2
+
+
xy
yz
zx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 8. Cho các số thực x > 1; y > 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

( x3 + y3 ) − ( x2 + y 2 )
( x − 1)( y − 1)
Hướng dẫn:

( x3 − x2 ) + ( y3 − y 2 )
2 xy
x2
y2
Ta có P =
=
+
≥


b)

a+b
b+c
c+a 1 1 1
+ 2 2+ 2
≤ + + 
2
2
a + b b + c c + a2  a b c 

2

Bài 2: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và

1
1
1
1
+
+
≥ 2 . Chứng minh rằng abc ≤
1+ a 1+ b 1+ c
8

Bài 3: [ĐVH]. Cho a, b, c bất kỳ. Chứng minh rằng :
a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c )
2

≤
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P =

1
1
1
+ 3 3
+ 3
3
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
3

Bài 8*: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
a 3 + b3
b3 + c3
c3 + a3
Tìm GTNN của P = 2
+
+
a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

+
+
≥2
x6 + x3 y 3 + y 6 y 6 + y 3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 x3 + x6

Bài 10: [ĐVH]. (Khối D – 2006) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1.

1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx

Chứng minh rằng

Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng

2 y
2 x
2 z
1
1
1
+ 3 2+ 3
≤ 2+ 2+ 2

2

( x + y)
≥

2

b) x + y
4

2

4

( x + y)
≥

4

8

1 1 1
+ + =4.
a b c
1
1
1
Chứng minh rằng :
+
+

+
x+z

20
.
y+2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. KĨ THẬT TÁCH, GHÉP
Ví dụ 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

a2
a+b+c
∑b+c ≥ 2

Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c =
a) Tìm GTLN của biểu thức P = ∑
b) Tìm GTNN của biểu thức Q =

(


Tìm GTNN của biểu thức P = ∑

a
b +1

Ví dụ 6. Cho x, y > 1 và thỏa mãn xy = 1 .

x3
y3
Tìm GTNN của biểu thức P =
+
y +1 x +1
Hướng dẫn:
Tách

x3
y + 1 1 3x
+
+ ≥
...
y +1
4
2 2

Ví dụ 7. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn xy xy + yz yz + zx zx = 1 .

x6
y6
z6
Tìm GTNN của biểu thức P = 3

x
y
z

a3
Thay vào biểu thức P ta được P = ∑
b + 2c
a3
a(b + 2c) 2a 2
+
≥
... Tương tự, đến đây các em tự làm nốt nhé!
Ta có
b + 2c
9
3
Ví dụ 9. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.
b b
c c
a a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+
+
2a + b + c
2b + c + a
2c + a + b
Hướng dẫn:
Cách 1:
b b
c c

3
=

64 4
 2 b + 3 2 b + 3 16
Tương tự 
a a
c+3
a3 3a
 a a
3
+
+
≥
=
3

64 4
 2 c + 3 2 c + 3 16
Cộng vế theo vế các bất đẳng thứ trên ta được:
b b
c c
a a
a+b+c+9 3
3
+
+
+
≥ (a + b + c) ⇔ P ≥
16

≤

( a + b + c )( a + b + c + 9 ) =

36 = 6

3
. Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
2

Ví dụ 10. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
CMR:

a3
b3
c3
3
+
+
≥ .
2
2
2
b +3 c +3 a +3 4

Ví dụ 11. Cho các số dương x, y, z . CMR:

x4
y4
z4

a3
b3
c3
Ví dụ 13. Cho a, b, c > 0: a + b + c = 1 . Tìm GTNN: P =
+
+
2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b
2

2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 14. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 6 . Tìm GTNN: P =

Facebook: LyHung95

x3
y3
z3
+
+
y+ z z+x x+ y

Ví dụ 15. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.

+
+
y+z x+z x+ y y+z z+x x+ y

Hướng 1:
Theo BĐT Cauchy thì:
x3
y + z 1 3x
+
+ ≥ ;
y+z
4
2 2
⇒P=

y3
z + x 1 3y
+
+ ≥ ;
z+x
4
2 2

z3
x + y 1 3z
+
+ ≥
x+ y
4
2 2

x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
y + z z + x x + y xy + zx zy + xy zx + yz

Cauchy − Schwarz

≥

( x2 + y 2 + z 2 )

2

2 ( xy + yz + zx )

Mặt khác lại có: xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2
Suy ra ⇒ P ≥

2 2 2
3
x 2 + y 2 + z 2 33 x y z
≥

≥ x;
y+z
4

y2
z+x
+
≥ y;
z+x
4

2

z2
x+ y
+
≥z
x+ y
4

x2
y2
z2
1
1
3
+
+
≥ ( x + y + z) ⇒ P ≥ ( x + y + z) ≥
y+z z+x x+ y 2


 x+ y+ z
=

2



2

x+ y+z 3
≥
2
2

Vậy GTNN của P là PMin =

3
⇔ a = b = c =1
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2


. c+a + 2
. a+b
 2
b c+a
c a+b
a b+c


2 Bunhiacopxki



1
1
1
+ 4
+ 4
 4
 2 ( a + b + c ) 


 a ( b + c ) b ( c + a ) c ( a + b) 

≤

2

1
1 
 1

c 
a b



2 Cauchy

(

(

)

⇒P≥

2

1
1 
 1
2
+ 2 + 2  ≥ ( a + b + c)
2
b
c 
a

Và: ( a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b2 + c2 . Nên suy ra: 
2


+
+
2
2
1 + y 1 + z 1 + x2

Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P = ∑
Ví dụ 3. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN của biểu thức P =

Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

x2
x + 2 y2

x +1 y +1 z +1
+
+
1 + y 2 1 + z 2 1 + x2

a2

1
≥ (a + b + c)
3a + 8b + 14ab 5

∑

2

2

=

1

( 3a + 4b )2 − ( a − b )2

≥

2

2

1
3a + 4b
2

 6a + 8b 
2
Hướng 2: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 2a + 5b )( 4a + 3b ) ≤ 
 = ( 3a + 4b )
 2 
2

2

1

⇒

8a + 26ab + 15b

3b + 4c 2
+
≥ ;
3b + 4c
49
7

(

1
3c + 4a 2
+
≥
3c + 4a
49
7

)

Bunhiacopxki
6 a+b+c
2
−
. Mà : ( a + b + c )
≤
(1 + 1 + 1) a 2 + b2 + c2 = 9 → a + b + c ≤ 3 .
7
7

3

1
1
1 Cauchy − Schwarz (1 + 1 + 1)
+
+
≥
3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a
7 ( a + b + c)
3

Mặt khác:

Lại có: ( a + b + c )
⇒P≥

2

Bunhiacopxki

≤

(1 + 1 + 1) ( a 2 + b2 + c2 ) = 9 → a + b + c ≤ 3 .

3
. Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
7

Cách 3:
 x = 8a 2 + 26ab + 15b 2


1
a2
b2
c2
+
+
+
ab + bc + ca ≥ a + b + c
a+b b+c c+a 2
x4 y
y4 z
z4 x
3
Ví dụ 7. Cho các số thực x, y , z > 0, xyz = 1. CMR: 2
+ 2
+ 2
≥
x +1 y +1 z +1 2
Ví dụ 8. Cho các số thực x, y , z > 0 .

Ví dụ 6. Chứng minh với mọi số dương a; b; c :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ∑

Ta có


1
x
= 1 −


Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 3 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + b 2 + c3

Ví dụ 3. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + 2b 2 + 3c 2 = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P = 2a 3 + 3b3 + 4c3

Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
Tìm GTLN của biểu thức P = (1 + 2a )(1 + 2bc)

Ví dụ 5. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn 2a + 4b + 3c 2 = 68 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + b 2 + c3

Ví dụ 6. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 2 + 2b 2 + 3c 2

Ví dụ 7. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn a + 4b + 9c = 6 .
Tìm GTNN của biểu thức P = a 3 + b3 + c3

Đ/s: min P =

1
1
1
1
⇔ a = ;b = ;c =
6
6
3
2

2
a

 a , b, c > 0
1
1
1

2
2
2
Bài 3: [ĐVH]. Cho 
3 . Tìm GTNN của biểu thức P = a + 2 + b + 2 + c + 2
b
c
a
a + b + c ≤ 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 a, b > 0
1
1
Bài 4: [ĐVH]. Cho 
, tìm GTNN của P = 2
+


Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 5 ( 2a + b )( a + c ) a + 5 ( 2b + c )( b + a ) b + 5 ( 2c + a )( c + b ) c ≤ 3 5 6

Bài 11: [ĐVH]. Cho a > b ≥ 0. Chứng minh rằng 2a +

32

( a − b )( 2b + 3)

2

≥5

Bài 12: [ĐVH]. Cho các số dương x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1.


 1
 1
 S = (1 + x ) 1 +  + (1 + y )  1 + 
y
 x


Tìm GTNN của các biểu thức sau : 
2
2
1
1
2

+ 2 2+ 2
+
+ +
2
2
a +b b +c c +a
ab bc ca
2

Bài 15: [ĐVH]. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 3 y +

6 10
+
x y

Bài 16: [ĐVH]. Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.

≥
1− a 1− b a + b 2

Bài 4: [ĐVH]. Cho các số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1.
a2
b2
1
5
Chứng minh rằng
+
+a+b+
≥
1− a 1− b
a+b 2

Bài 5: [ĐVH]. (Khối A – 2005) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Chứng minh rằng

1 1 1
+ + =4
a b c

1
1
1
+
+
≤ 1.
2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b



1
1
1
1
1
1
+
+
≥
+
+
a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b

Hướng dẫn:
Ta có:

1
1
4
2
+
≥
=
a + 3b b + 2c + a ( a + 3b ) + ( b + 2c + a ) a + 2b + c

Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm.

Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Hướng dẫn:
a) Ta có

1
1
1 1
1
2 
=
≤ 
+
+
…
2a + 3 ( b + c ) ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c ) 16  a + b a + c b + c 

Tương tự cho các BĐT khác rồi cộng lại ta được đpcm.
b) Ta có

1
1
1 1
1 
=

 1 1 1
+
+
≥ 2 + + 
p −a p −b p −c
a b c

Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0, và abc = 1.
Tìm GTLN của biểu thức P =

1
1
1
+ 2
+ 2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3
2

1
1 
1
1 
 1
 1
Bài 13: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0 và thỏa mãn 15  2 + 2 + 2  = 10 
+
+
 + 2007 .

≥
2
2
2
ab + 2c + 2c cb + 2a + 2 ac + 2b + 2b ab + bc + ac

Bài 15: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 vaø a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

a
b
c
+
+
.
2
2
1 + b 1 + c 1 + a2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN


y
z

Bài 4: [ĐVH]. Với a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc.

b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
≥ 3.
Chứng minh rằng
ab
bc
ca
Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + (1 − yz ) + y 2 + (1 − zx ) + z 2 + (1 − xy )
2

2

2

Bài 6: [ĐVH]. Cho các số thực x, y thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

( x − 1)

2


Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn xy + yz + zx ≥

Chứng minh rằng

x2 +

1

( x + 1)

2

+ y2 +

1

( y + 1)

2

+ z2 +

1

( z + 1)

2

4
3


(

(x

3

+ y3 ) − ( x2 + y2 )
( x − 1)( y − 1)

)

Bài 3: [ĐVH]. Cho x, y là các số thực thỏa điều kiện 2 x 2 + y 2 = xy + 1 .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x4 + y 4
2 xy + 1

Bài 4: [ĐVH]. Cho x, y thoả mãn là các số thực thỏa mãn x 2 − xy + y 2 = 1 .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P =

x4 + y 4 + 1
x2 + y 2 + 1

Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + yz + zx +

5
x+ y+ z


• Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) + b sin x.cos x + c = 0
• Dạng phương trình: a (tan 2 x + cot 2 x) + b(tan x ± cot x) + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b sin 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b cos 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b sin 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b cos 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a sin 4 x + b cos 4 x + c.cos 2 x + d = 0

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0

b) 2sin2x – 3sinx.cosx + cos2x = 0

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0

b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
π

a) sin 2 x + 2 sin  x −  = 1
4


b) tan x − 2 2 sin x = 1

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 1 + tan x = 2sin x +



2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x

b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2

Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2

b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1

Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)

2 sin 2 x ( sin x + cos x ) = 2

b) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1

Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 sin 2 x − 3 3 sin x + cos x + 8 = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2
b) ( sin x − cos x ) − ( 2 + 1) ( sin x − cos x ) + 2 = 0

Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) tan 2 x + cot 2 x + 3(tan x − cot x) = 6
Bài 15: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
3

x
x
x
x

a)  sin + cos  − 2 sin x + sin + cos − 2 2 = 0
2
2
2
2


b)

1
1
1
1 
+
( sin 3x + cos 3x ) + 1 +  tan 3x + cot 3x +
=0
2
2
sin 3x cos 3x 

Bài 16: [ĐVH]. Giải các phương trình sau