PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỪ LIÊM
TRƯỜNG THCS CẦU DIỄN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI
TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ TRUNG HỌC CƠ SỞ

Môn: TOÁN
Tên tác giả: Nguyễn Đức Quỳnh
Giáo viên môn: TOÁN


NĂM HỌC 2012 - 2013

2


ĐẶT VẤN ĐỀ
Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy các bài
toán cực trị không được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà
chỉ hình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa.
Nhưng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thường gặp trong các kỳ thi, các đợt
kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành phương pháp giải bài toán cực trị một
cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn
gặp nhiều trở ngại. Xuất phát từ những kinh nghiệm có được của bản thân qua
thực tế giảng dạy và sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo, đặc biệt là dạy toán
THCS . Tôi chọn nội dung : Cách giải bài toán cực tri đạisố THCS” làm sáng
kiên kinh nghiệm năm học 2012-2013.
Qua sáng kiến kinh nghiệm, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu
hơn về vấn đề này, tự sưu tầm và phân loại được một số dạng toán về cực trị,

f (x) ≤ g (x)
3) Đa thức bậc 2 f(x) =ax2 + bx + c (a≠ 0)
=a(x+

b 2 b 2 − 4ac
)2a
4a

4) )

Bất đẳng thức Cô si .
a1 + a2
≥
2

≥-

2

b 2 − 4ac
4a

(với a>0) ; ≤ -

b 2 − 4ac
(với a
g 2 (x)

(k là hằng số)

Nếu f (x) = k + g 2 (x) thì min f (x) = k ⇔ g (x) = 0
Nếu f (x) = k - g 2 (x) thì max f (x) = k ⇔ g (x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = (x+2)2 + (x-1)2
Giải:

Ta có: (x+2)2 ≥ 0 dấu “ = ” ⇔ x = - 2
(x-1)2 ≥ 0 dấu “ = ” ⇔ x = 1
Nên A > 0

Nhưng không thể kết luận được min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu
đẳng thức.
Do vậy ta phải giải như sau:
A = (x+2)2 + (x-1)2
= x2 + 4x + 4 + x2 - 2x + 1
= 2x2 + 2x + 5 = 2 ( x2 +x +
=2

(x2 + 2x

Do đó min A =

5
)
2


x=0
Vậy B = 36 khi x2 + 5x = 0 ⇔ hoặc x = -5
Do đó: max B = 36 Khi ⇔ x= 0

hoặc x = -5
6


2- Một số nhận xét:
- Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả
mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ
nhất ).
- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể như ví dụ 1 ta có thể dặt
y = x + 2 kho đó A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2
3- Một số bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 19
C = (x+1)2 + ( x+3)2 ;

B = x 4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 11;

D = x( x+1) ( x+2) ( x+3)-24

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A= 4x - x2 +11

;B = 50- 8x- x 2

;


⇔ a = -3 hoặc b = 1

Vậy min M = 2 ⇔ b = 1; a = -3
Bài tập tương tự:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A = 19- 4x- 5x2
B = xy- x2- y2 + 4x+ 51
C = x2 + y2- 6x- 2y + 107
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = 5x2- 12xy + 9y2- 4x + 41
B = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2013
C = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 71
D = 2x2 + 9y2- 6xy- 6x- 12y + 2013
III/ Cực trị của phân thức đại số:
1- Một số kiến thức cần lưu ý:
Cho P =

m
với A > 0 :
A

- Nếu m = 0 ⇒ P = 0
- Nếu m > 0
max P =

1
1
; min P =
min A
max A

3

3

Do đó (2 x − 1) 2 + 4 ≤
4

(Theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử

mẫu đều dương)
Vậy maxM =

3
1
với x =
4
2

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
N=
Giải:

2x 2 + 6x + 6
x 2 + 4x + 5

N=

2x 2 + 6x + 6
x 2 + 4x + 5 + x 2 + 2x + 1
=

Đặt

1
1
+ ( x − 1) 2
x −1

1
= A ta có P = 1 +A + A2
x −1

P = A2 + A + 1 = A2 + 2A
P=

1
1
3
1
3
+ + = (A + )2 +
2
4
4
2
4

≥

3
4

 11 1
 1 1
1 1
11 1

+ − 1 =  + − x ÷=  + − 4 + y + z ÷= 
+ y÷ 
+ z ÷ ≥ 0( x, y, z > 0)
÷ x z
xy xz
x y z

 x y z
 x  y


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : y = z = 1, x = 2.=> A min=0 ⇔ y = z = 1, x =
2
3- Một số bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
202
A=
6x − 5 − 9x2

x 2 + x + 18
; B=
( x + 1) 2

x 2 + 14
; C= 2

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ f (x), g (x),..., h(x) cùng dấu.
(Việc chứng minh đơn giản)
Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
A ≥ x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu
⇔ -1 ≤ x ≤ 6

2- Các ví dụ:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau:
A = x-1996 +  x- 2000
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức
x + y ≥ x +y dấu “ = ” xảy ra khi xy ≥ 0
Ta có: A = x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + 2000- x ≥ x- 1996- x +2000 = 4
Vậy A ≥ 4 ⇔ (x- 19996) (2000- x) ≥ 0
⇔

(x- 1996) (2000- x) ≥ 0 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000

Vậy min A = 4 ⇔ 1996 ≤ x ≤ 2000

11


Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B = x- x2 -


2

Theo ý (d) vì max f(x) = -

1
1
⇔ x=
2
2

min f(x) =
min B =

1
1
khi x =
2
2

1
3
1
- 2 = - khi x =
2
2
2

V/ Dùng các bất đẳng thức đã biết:
1- Các bất đăng thức:
a, Bất đẳng thức côsi (áp dụng cho 2 số không âm)


Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2

b,Chứng minh bất đẳng thức Bunhiakoxki:
(2) ⇔ (a1b2-a2b1)2 ≥ 0

Dấu “=” xảy ra ⇔ a1b2=a2b1

2- Các ví dụ:
Ví dụ 11:
Cho a,b,c là ba số dương có tích abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)
Giải: Vì a,b,c dương ta có:
1+a ≥ 2 a

1+ b ≥ 2 b

1+ c ≥ 2 c

y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) ≥ 8 abc

mà abc = 1

⇒ y ≥ 8 vậy min y = 8 khi a = b = c = - 1

Ví dụ 12: Cho a > 1; b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của:
a2
b2
P=

a2
b2
ab
+
≥2
(*)
b −1 a −1
b − 1. a − 1

≥ 2 thật vậy: Vì a > 1

⇒ a −1 > 0

− 2 ≥ 0 ⇔ a ≥ 2 a −1

Bình phương hai vế ta có: a 2 ≥ 4(a − 1) ⇔ (a − 2) 2 ≥ 0 đúng
13


Do đó:

a
a −1

≥ 2 từ đó ta cũng có:

b
b −1

≥2


2
x+
x

⇔ ( 2 x + 3 ) 2 ≤ 6( x + y )

Dấu “=” xảy ra khi

3
y)2
y

⇔

≤

2

3

( x + y ) (x+y)

1
6

(x+y) ≥ ( 2 + 3 ) 2 =

5+ 2 6
6

6

14


Ví dụ 14:
a, Tìm giá trị lớn nhất của:

A = (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2)

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của:

B=

16 x 2 + 4 x + 1
với x > 0
2x

Giải: a, Xét (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 không đổi
⇔ x 2 − 3 x + 10 = 0 ⇔ x 2 = -2 hoặcx1 = 5 khi đó A= 11.11 = 121

Vậy max A = 121

1
16 x 2 + 4 x + 1
B=
= 8x + 2 +
2x
2x



1 1
4
+ ≥
x y x+ y

2) Với x,y>0 và 2x+3y ≤ 2

4

9

Tìm giá trị nhỏ nhất A= 4 x 2 + 9 y 2 + xy

Hướng dẫn:
1

1

4

1) x + y ≥ x + y  (x-y)2 ≥ 0
2)

A=

4
4
26
16


9a 2 + b
+ b2
4a

Hướng dẫn
A=2a+

b
1 a+b
1
1
1
1
+ b 2 = 2a − +
+ b 2 ( a + b ≥ 1) ⇒ A = a +
+ (b + ) 2 + ≥ 1 + = 1,5
4a
4 4a
4a
2
2
2

=> Amin=1,5

<=> a=b=0,5

Ta thấy ở 2 ví dụ 15,16 đều phải áp dụng BĐT CoSi cho các cặp số không âm
4x2;9y2 và

≥

5
2

hay y ≥

5
2

Vậy

ymin =

5
2

⇔ x = −1

Ta có thể xây dưng nhiều bài toán tương tự:

16


x 2 + 2 x + 12

1) Tìm GTNN y=

x 2 − 2 x + 18


y
x
Hướng dẫn:

(

)(

)

x +1

y +1 ≥ 4

=> xy + x + y + 1 ≥ 4

=> xy + x + y ≥ 3 (1)

(

x+ y

)

2

≥ xy

4


)(

)

(

x + y +6 ≥ 0

x+ y

)

2

x+ y

)

2

+4

(

)

x + y − 12 ≥ 0

=> x + y ≥ 2


x y
x y
+ ≥ 2 => + − 1 ≥ 1
y x
Ta có : y x
(4)

17


Từ (3) và (4) => P =

x y 
+ − 1÷ ≥ 2.1 = 2
y x 

( x + y) 

P(min) = 2 khi x = y = 1
b) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa món a ≤ b ≤ 3 ≤ c; c ≥ b + 1; a + b ≥ c
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=

2ab + a + b + c(ab − 1)
(a + 1)(b + 1)(c + 1)

Hướng dẫn:
Ta có : a + b ≥ c => a + b –c ≥ 0 (1)
Từ a + b ≥ c ≥ b + 1 => a ≥ 1 mà b ≥ a
ab ≥ a + b − 1 ab ≥ c − 1

=
(ab + a + b + 1)(c + 1) (ab + ab + 1 + 1)(c + 1) 2(ab + 1)(c + 1)

Q≥

Q≥

=>

ab
c+2
1
c+2
.
=
.
≥
1  c +1
2( ab + 1) c + 1

2 1 + ÷
 ab 

c + 2 (c − 1)(c + 2)
=
1  c +1
2c(c + 1)

2 1 +
÷

c = 3
c = 3



18


2) a. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường ĐHSP Hà Nội (2012-2013)
Cho các số thực dương x, y thoả món điều kiện : x + y = ( x − y ) xy . Tỡm giỏ trị
nhỏ nhất của biểu thức P = x + y
Hướng dẫn
x+y=(x-y) xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2
⇔ (x+y)2=

2
4
4( xy ) 2
2 4( xy )
⇔
=> xy-1>0 (x+y) =
= 4(xy-1)+ xy − 1 +8 ≥ 16
xy − 1
xy − 1

⇔ (x+y)2 ≥ 16 ⇔ (x+y) ≥ 4 (v́ x+y>0)

=> GTNN (x+y) = 4

⇔


y 1
−3 y −3
≤ ⇒
≥
, dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2y
x 2
x
2

3)Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc (2012-2013)
Cho hai số x, y liên hệ với nhau bởi đẳng thức x 2 + 2 xy + 7( x + y ) + 2 y 2 + 10 = 0 . T́m
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1 .
Hướng dẫn
Viết lại biểu thức đă cho thành ( x + y + 1)2 + 5( x + y + 1) + 4 = − y 2 (*) .
Như vậy với mọi x và mọi y ta luôn có S 2 + 5S + 4 ≤ 0 (với S = x + y + 1 )
Suy ra: ( S + 4)( S + 1) ≤ 0 ⇔ −4 ≤ S ≤ −1 .

19


 x = −5
y = 0

Từ đó có: Smin = −4 , khi 
 x = −2
S max = −1 , khi 
.
y = 0


x

4y

x 4y

x

4y

⇔ +
≥ 4
Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương ta có : y + x ≥ 2 .
y x
y x

Dấu ‘‘=’’ xảy ra ⇔ x = ± 2y
=> P ≤ 5 – 4 => P ≤ 1

Dấu ‘‘=’’ xảy ra ⇔ x = ± 2y

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = ± 2y.
5)Cho x ≥ xy + 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P =

3xy
x + y2
2

Hướng dẫn:
Từ giả thiết suy ra x ≠ 0

0

x + 3 x −1 +1
;(x ≥ 1)
x + 4 x −1 + 2

Hướng dẫn:

y=

x + 3 x −1 +1
y=
=
x + 4 x −1 + 2
=

( x − 1) + 3
2
( x − 1) + 4
2

x −1 + 2
x −1 + 3

=

( x − 1 + 1)( x − 1 + 2)
( x − 1 + 1)( x − 1 + 3)

x −1 + 2
1

x+ y
x+ y

=

2
2.( x + y ) 2 − 1 + 3 2.( x + y ) 2 − 1 + 3 2.( x + y ) 2 + 2 2. ( x + y ) + 1 2( x + y ) 2 + 2
=
=
=
=
x+ y
x+ y
x+ y
x+ y
x+ y

21


= 2( x + y ) +

2

1 
2 ( x + y ) +
=
x+ y
x + y 


2
2

8)Cho x,y l à cỏc số dương thoả món : x + y = 4
33

2
2
T ỡm giỏ trị nhỏ nhất c ủa : P = x + y + xy

Hướng dẫn:
Từ x+y=4

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

xy ≤

33 33
( x + y )2
≥
= 4 Do đó
xy 4
4

Mặt khỏc: x2+y2= ( x + y )2 -2xy=16-2xy ≥ 16 − 2.4 =8( do xy ≤ 4)
Do đó : MinP=

65
, đạt được khi x=y=2.
4

4(a 3 + b3 + c3 ) + 15abc = 27 abc − 24( ab + bc + ca) + 32 = 3 [ 9abc − 8( ab + bc + ca) ] + 32 (**)

Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a 3 + b3 + c 3 ) + 15abc ≥ 3.(−8) + 32 = 8
22


2
3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P= 4(a 3 + b3 + c 3 ) + 15abc là 8 đạt được khi và chỉ khi
a=b=c=

2
3

10)Cho a, b, c là các số thực không âm thoả măn a + b + c = 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất
P=(a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3

Hướng dẫn: Ta có:
2

3 3

(a − 1) = a − 3a + 3a − 1 = a(a − 3a + 3) − 1 = a  a − ÷ + a − 1
2 4

3

3

4

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta được :
(a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 ≥

3
3
3
(a + b + c) − 3 = ×3 − 3 = −
4
4
4

VậyP= (a – 1)3 + (b – 1)3 + (c – 1)3 ≥ −

3
. =>
4

Pmin= -0,75

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
 
3
3

a  a − ÷ = 0
a
=

 c = 0, a = b =
2
 

2÷



 a + b + c = 3
 a + b + c = 3

3
2
3
2
3
2

11)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M =

3x 2 − 8x + 6
x 2 − 2x + 1

.

23


Hướng dẫn:

13) Các số thực dương x, y, z thoả món điều kiện: x + y +z = 1.

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
F=

x4
y4
z4
+
+
( x 2 + y 2 )( x + y ) ( y 2 + z 2 )( y + z ) ( z 2 + x 2 )( z + x)

a2 + b2
2
≥ ( a + b ) (dấu “=” xảy ra khi a = b)
Ta cú (a − b) ≥ 0 ⇔
2
2

Ta cú:

x4
y4
−
= x− y;
( x 2 + y 2 )( x + y ) ( x 2 + y 2 )( x + y )

Tương tự:
y4

z 4 + x4
=  2
+
+
÷
2
2
2
2
2
2  ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) 
2
2
2
2 2


y2 + z2 )
z 2 + x2 )
(
(
1 ( x + y )
÷
≥
+
+
4  ( x 2 + y 2 )( x + y ) ( y 2 + z 2 )( y + z ) ( z 2 + x 2 )( z + x) ÷


2


Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng

1
1
khi x = y = z =
4
3

14)Cho x; y∈ R , thỏa món x2 + y2 = 1. Tỡm GTLN của : P =

x
y+ 2

Hướng dẫn:
Từ x 2 + y 2 = 1 ⇒ −1 ≤ x, y ≤ 1 ⇒ 2 − 1 ≤ y + 2 ≤ 1 + 2
x

Vỡ P = y + 2 ⇒ x = P( y + 2 ) thay vào x 2 + y 2 = 1
Đưa về pt: ( P 2 + 1) y 2 + 2 2 P 2 y + 2 P 2 − 1 = 0

Dùng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai ⇒ P ≤ 1 ⇒ PMax


2
x =

2
=1⇔ 
y = − 2

> 0 do đó Amin ⇔ − Amax ⇔
min .
−A
−A
1

2
2
Mặt khỏc ( x − y ) ≥ 0 ⇔ x + y ≥ 2 xy ⇒ 2 xy ≤ 1 ⇒ 2 xy ≥ 1 (vỡ 2 xy > 0 )
2

Do đó

1
1 3
≥ 1 + = . Dấu “ = ” xảy ra khi x = y .
−A
2 2

25