a - đặt vấn đề
I-Lời mở đầu :
Trong trờng phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các
kiến thức và phơng pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học
sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi
lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những
năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng t
duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh t tởng đạo
đức và thẩm mỹ của ngời công dân.
ở tròng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành
cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí;
thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là
một trong những vấn đề trung tâm của phơng pháp dạy học Toán ở
trờng phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài
toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững
chắc các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài
tập thì việc bồi dỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng của
ngành giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó việc
hớng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải
toán là rất cần thiết và không thể thiếu đợc.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trờng THCS
tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chơng trình và qua thực tế dạy học
tôi thấy: trong chơng trình Toán THCS "Các bài toán về cực trị
trong đại số" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất
quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. ở THPT để giải
quyết các bài toán về cực trị đại số ngời ta thờng dùng đến "công
cụ cao cấp" của toán học là: đạo hàm của hàm số. ở THCS,
1
vì không có (hay nói chính xác hơn là không đ ợc phép dùng)
"công cụ cao cấp" của Toán học nói trên, nên ng ời ta phải bằng

năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận
dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa
học luôn mong muốn làm đợc những việc đạt kết quả cao nhất, tốt
nhất.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1, Đối với học sinh :. Thực trạng khi nhận chuyên môn phân
công dạy toán 8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng tr ớc
cách học của học sinh.
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng
nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tợng nổi bật
học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhng mang tính chất học vẹt chấp
hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành
ứng dụng của học sinh tôi đ a ra một số ví dụ thì học sinh lúng
túng không biết chứng minh nh thế nào.
Trớc thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện
pháp kết quả cho thấy.
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm rất mơ hồ,
một sô học sinh làm đợc chỉ nằm vào một số học sinh khá- giỏi. Số
còn lại chủ yếu là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải thích bài
toán nh thế nào.
2, Đối với giáo viên :
Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì ng-
ời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân
theo SGK mà dạy bài toán này đòi hỏi học sinh phải t duy tốt và
phải thâu tóm đợc kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập .
Đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải thê này, phải thế

, z
0
)

P(x, y, , z) hoặc P(x
0
,
y
0
, z
0
)

P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ
nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)

S còn gọi

) hoặc P
min
tại (x
0
, y
0
, z
0
).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là
các cực trị của P trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó
là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc:
- Chứng tỏ rằng P

k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của
các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên
miền xác định S, ta cần chứng minh hai b ớc:
- Chứng tỏ rằng P

k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của
các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không đợc thiếu một bớc nào trong hai bớc trên.


2
= 0 .
Lời giải đúng là:
A = x
2
+ (x - 2)
2
= x
2
+ x
2
- 4x +4 = 2x
2
- 4x + 4
= 2(x
2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)
2
+ 2
Ta có: (x - 1)
2


0 ,

x


2(x - 1)
2


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0
* -a
2


0, tổng quát: -a
2k


0 (k nguyên dơng)
Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0

*
0

a
. (Xảy ra dấu đẳng thức

a = 0)
* -
aaa

. (Xảy ra dấu đẳng thức


,

a >0 và
2
1
+
a
a
,

a <0
*
ab
baba







+

+
2
2
22


a,b (Xảy ra dấu đẳng thức

- 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
H

ớng dẫn giải

:
7
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)

k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và
chỉ ra trờng hợp xảy ra đẳng thức
Lời giải

: A(x) = x
2
- 4x+1
= x
2
- 2.2x+1
= (x
2
- 2.2x+4)- 3
= (x- 2)
2
- 3
Với mọi giá trị của x: (x - 2)


: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải
biến đổi đa B(x) về dạng B(x)

k (k là hằng số) với mọi giá trị của
biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra
đẳng thức
Lời giải

: B(x) = -5x
2
4x+1
= -5 (x
2
+
5
4
x) +1
= -5
1
5
2
5
2
5
2
.2
22
2
+

5
2
+















+
x
= -5
1
5
4
5
2
2
++




+
x


0 nên -5
2
5
2






+
x


0
suy ra: B(x)= -5
2
5
2








(Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải
biến đổi sao cho P = a.A
2
(x) + k. Sau đó xét với từng trờng hợp
a>0 hoặc a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải

:
P = a.A
2
(x) + k
= a (x
2
+
a
b

a
b
xa
+






+=
2
2
với
2
2
4a
b
ck
=

Do
0
2
2












+
a
b
xa
do đó P

k
Vậy khi x = -
a
b
2
thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)
Dạng 2

: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất,giá tri lớn
nhất của đa thức bậc cao:
Ví dụ4

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x
2
+ x + 1)
2

2
+ x +1? và tìm giá trị nhỏ
nhất của A?
Trả lời:

Ta có x
2
+ x +1 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
-
4
1
+ 1
=
2
2
1






+x

với x = -
2
1
Ví dụ 5

:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
4
6x
3
+ 10x
2
6x + 9
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý:

-Hãy viết biểu thức dới dạng A
2
(x) + B
2
(x)

0
-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức bằng bao nhiêu?

x
2
3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
x = 3 x = 3
x 3 = 0 x 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số

: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
11
Dạng 3

: bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ6

: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x - 1 + x - 3
H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý:

Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng
ta phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối
của một biểu thức.
A Nếu A

0

So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy
giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2

x

5
Đáp số:

A
min
= 3 khi và chỉ khi 2

x

5
Cách 2

: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một
tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Từ đó tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A.
Lời giải:

A = x - 2+
5

x
= x - 2+
x

5


: Tìm giá trị lớn nhất của M =
5 4x - 4x
3
2
+

H

ớng dẫn giải

:
Gợi ý

: Sử dụng tính chất a

b, ab >0


ba
11

hoặc
theo quy tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều d-
ơng.
13
Lời giải:
Xét M =
5 4x - 4x
3

Trả lời:

Vậy M lớn nhất bằng
4
3
khi 2x 1 = 0 => x =
2
1
Đáp số

: M
lớn n h ấ t
=
4
3
với x =
2
1
Ví dụ 8

: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
4 - x-2x
1
2
H

ớng dẫn giải

:
Ta có: B =

3
1
=> -
3 1) -(x
1
2
+


-
3
1
Vậy B nhỏ nhất bằng -
3
1
khi x 1= 0 => x =1
Đáp số

: M
nhỏ nh ất
= -
3
1
với x = 1
Chú ý:

Khi gặp dạng bài tập này các em thờng xuyên lập
luận rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất
(nhỏ nhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

>
1
1
Vậy từ a < b chỉ suy ra đợc
a
1
>
b
1
khi a và b cùng dấu .
dạng 5

:Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
phân thức có mẫu là bình phơng của nhị thức
Ví dụ 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx
Cách1

:
Gợi ý:


)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x
= 1 -
1
1
+x
+
2
)1(
1
+x
Đặt y=
1
1
+x
khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 - y + y
2

Ta có: A = 1 - y + y
2
= y
2
2.y.
2

4
3
khi và chỉ khi:
2
1
1
1
2
1
0
2
1
=
+
===
x
yy


x + 1 = 2


x = 1
Đáp số

: A
nhỏ nh ất
=
4
3

=
x
xxxx
x
xx
x
xx
A
2
22
)1(4
)1()1(3
+
++
=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+

+=
x
x
A

1
x
x
2


4
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
4
3
khi x-1=0

x=1
Đáp số

: A
nh ỏnh ất
=
4
3
khi x=1
16
dạng 6

: bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng
2
)(
k

:
Gợi ý

: Từ M
( x)
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
ta có:
M
( x)
=
32
1963
2
2
++
+++
xx
xx
=
32
1)32(3
2

2)2(
1
2
++x
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của
2)(
1
2
++x
từ đó suy ra giá
trị lớn nhất của M(x)
Trả lời:

Vì (x+1)
2

0 Với mọi x
17
Nên (x+1)
2
+ 2

2 với mọi x
Do đó
2)1(
1
2
++x



với x = -1
18
C. Kết luận
1. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng.
Sauk hi áp dụngcác cách giải bài toán cực trị trong đại số 8 thực tế
học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng nh
trớc.
Kết quả tôi đã thu đợc sau khi áp dụng đề tài này đợc thể hiện ở
bảng sau:
Lớp Sỉ số
Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8 49 05 10 34 0
2. Kết quả:
Sau khi thực hiện giảng dạy phần Các bài toán cực trị trong
đại số 8 theo nội dung đề tài này kết quả mà tôi thu đ ợc khá khả
quan.
Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải
biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng
khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức
tạp. Ngoài ra còn liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng
minh đẳng thức bởi thế nói các bài toán cực trị đại số 8 tạo ra khả
năng giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi
đồng nhất các biểu thức đại số, kĩ năng tính toán, khả năng t duy.
Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong
đại số 8 có PP hơn, có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết
các bài tập có liên quan kích thích đ ợc sự đam mê học toán nói
chung và sự say mê giải các bài toán cực trị nói riêng.
Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng t duy tích
cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán

Thiệu Minh, ngày 08 tháng 3 năm 2009
Ngời viết
Nguyễn Thị Huyền
Tài liệu tham khảo:
20
1. SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân.
2. SBT Toán 8 NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên
3. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo
dục- Nguyễn Văn Lộc.
4.Toán bồi dỡng học sinh lớp 8 Đại số-NXB Giáo dục Trần
San
5. Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên
6. Các bài toán đại số hay và khó NXB Giáo dục Nguyễn Đễ
7. PP dạy học môn toán NXB Giáo dục Phạm Gia Đức.
21