Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT
1 A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ năm học 2005- 2006, Bộ GD – ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự luận
sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong việc dạy và
học của giáo viên và họ sinh.
Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường ở trường THPT tôi nhận thấy
một số vấn đề sau:
1. Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức trắc nghiệm khách quan đòi hỏi
giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi về cách dạy và học. Dạy học theo
phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên không những phải đầu tư
theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm
được tổng quan chương trình của môn học. Điều này gây rất nhiều khó khăn cho
giáo viên, đặc biệt là đội ngũ giáo viên trẻ khi chưa có nhiều kinh nghiệm giảng
dạy.
2. Khi chúng ta chuyển sang hình thức dạy học và đánh giá thi cử theo phương
pháp trắc nghiệm khách quan thì một số giáo viên mãi mở rộng kiến thức kiến thức
theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi theo hình thức trắc nghiệm . Vì vậy vấn
đề đầu tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận có thể bị mờ nhạt. Điều
này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức về Vật lý của
học sinh , đặc biệt là những học sinh khá của trường.
Để góp phần cải thiện thực trạng trên , tôi quyết định thực hiện đề tài “Một số
cách giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp”. Trong vật lý sơ cấp THPT có nhiều
bài toán được giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu các đại lượng Vật
lý. Mỗi loại bài toán đều có một số cách giải nhất định. Song, để chọn cách giải

a b ab
  ( a, b dương).
3
3
a b c abc
   ( a, b, c dương).
- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
 Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán va
chạm cơ học.
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:

2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
a b a b a a b b
   
Dấu bằng xảy ra khi
1 1
2 2
a b
a b


 Phạm vi ứng dụng: thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học.
3. Tam thức bậc hai:

2
( )

    
có nghiệm kép.
+Nếu
0
 
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
*Phạm vi ứng dụng:Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và bài
tập phần điện.
4. Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:
max
(cos ) 1




0



max
(sin ) 1




0
90

 .
*Phạm vi ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán cơ học, điện xoay chiều.


, r = 4

, R là một biến trở.Tìm giá trị
của R để công suất mạch ngoài đạt giá trị cực đại.

BÀI GIẢI
-Dòng điện trong mạch: I
R r


- Công suất: P = I
2
.R =
2
2
.
( )
R
R r



2
2 2
2
R

P
y

 
Nhận xét: Để P
ma x

y
min

Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng
nhau => y
min


r
R
R


R = r = 4
( )

thì
2 2 2
max
12
9( )
2 4 4.4
P W


R

C

L,r

R

A

B

Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT
4

a. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0.
b. Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50
( )
 BÀI GIẢI

a. + Cảm kháng
100( )


 2
2
( )
L C
U
P
Z Z
R
R
 


Đặt
2
( )
L C
Z Z
y R
R

 
2
U
P
y
 

L C
Z R r Z Z   
+ Công suất
2 2
2
2 2 2
. . .
( ) ( )
L C
U U
P I R R R
Z R r Z Z
  
  


2
2 2 2
.
2 ( )
L C
U
P R
R Rr r Z Z

   
=
2
2 2
( )

Theo bất đẳng thức Côsi
2 2
min
( )
L C
r Z Z
y R
R
 
 
2 2
( )
L C
R r Z Z   
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT
5

2
max
2 2
2 2
2 2
( )
( ) 2
( )
L C

   

2
max
2 2
2. ( ) 2
L C
U
P
r Z Z r
 
  

2
max
2 2
200
124( )
2.( 50 (100 200) 50)
P W
  
  Vậy để P
max
= 124(W) thì
2 2
( ) 100( )
L C

tại A và đồng thời va chạm với
vật m
2
đang nằm yên tại đó. Sau va chạm, m
1
có

vận tốc
'
1
v

. Hãy xác định tỉ số
'
1
1
v
v
của m
1
để góc lệch

giữa
1
v

và
'
1
v

Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn :
1
S T
P P P
 
  

Gọi
'
1 1 1
( , ) ( , ).
S
v v P P

 
 
 

Ta có:
'2 '2 2
2 1 1 1 2
2 cos
P P P PP

   (1).
Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn:
s
p



1 1 2
1 1 2
2 2 2
P P P
m m m
 

2 '2 '2
2 '2 '2
1 1 2 1
1 1 2
1 2 2
. . .
2 2
P P P m
P P P
m m m

   

2 '2
'2
2 1 1
2
1
(
m P P
P
m


 

2 2
1 1
1
(1 ). (1 ). 2cos
m m
x
m m x

    
Để
max

thì
min
(cos )


Theo bất đẳng thức Côsi
2 2
min
1 1
min
1
(cos ) (1 ). (1 ).
m m
x
m m x


1 1 2
v m m
v m m



thì góc lệch giữa
1
v

và
'
1
v

cực đại.
Khi đó,
2 2
1 2
max
1
cos
m m
m


 .
2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

Bài toán 1:

sin sin sin sin sin sin
d d d v t d v
d d
     
 
     .
A
O
B
d
1
’

d

d
2
’







Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT

  
 

2 1
0
3
sin30
3sin sin
d dd
 

 


Mặt khác, tacó:
0 0
sin sin(180 ) sin( ) sin(30 )
    
     
0 0 0
3sin 3 sin(30 ) 3(sin30 cos cos30 sin )
   
    
3 3
cos sin
2 2
 
 
2 1
0

3 3
3cos sin
d d d d
d
y
 
 
 

.
Khoảng cách giữa hai vật d
min


y
max
với y =
2
( 3cos sin )
 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

2 2 2 2 2
( 3cos sin ) (( 3) 1 ).(cos sin ) 2
   
    

 y
max


Bài toán 2: Cho cơ hệ như hình vẽ:
Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k
2
.
Hệ số ma sát giữa M và m là k
1.
Tác dụng một lực
F

lên M theo phương hợp với phương ngang một góc

. Hãy
tìm F
min
để m thoát khỏi M.tính góc

tương ứng?
F




M
m
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT

1
= P
1



F
ms21
= k
1
.N
1
= k
1
.mg

1
1 1
k mg
a k g
m
   . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a
1
= k
1
mg.
+ Xét vật M:
2 1 2 12 2
( )
ms ms

Ta có:
12 1ms
F k mg


2 2 2 1 2
( sin )
ms
F k N k P P F

   
1 2 1 2
2
cos ( sin )
F k mg k P P F
a
M m
 
   
 


Khi vật trượt
1 2
a a

1 2 1 2
1
cos ( sin )
F k mg k P P F

max
. Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(cos sin ) (1 )(cos sin ) 1
y k k k
   
      

2
max 2
1
y k
   .
Vậy
1 2 1 2
min
2
2
( ) (2 )
1
k k Mg k k mg
F
k
  
 


Lúc đó:
2

F


21
ms
F


12
ms
F


1
N


2
N


x

A
B
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT

h L t v t y
L L
   
Vói y =
2 2 2 4
.
L t v t
 Đặt X = t
22 2
.
y v X L X
   
Nhận xét:
max max
.
h y
 y là tam thức bậc hai có a = - v
2
< 0

y
max
tại đỉnh
Parabol
2 4 4
max max
2 2

 
Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
4
200 2 cos100 ( ).
10
100( ); ( )
AB
u t V
R C F




  

Cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm . Hãy xác định L để
hiệu điện thế U
L
đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó?

BÀI GIẢI
+ Cảm kháng:
L
Z L

 , dung kháng
1
100( )
C

( )
C L
Z R Z Z  
Ta có:
2 2
. .
.
( )
L
L L
L C
U Z U Z
U I Z
Z
R Z Z
  
 

2 2
2
1 1
( ). 2 . 1
L
C C
L L
U U
U
y
R Z Z
Z Z


  
         


Thay số :
2 2
100 100 2
( )
100.100
L H
 

 
2 2
max
200 2( )
C
L
U R Z
U V
R

 
 Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để U
C
cực đại ta
làm tương tự như trên và kết quả:
2 2
max


Vật B ở B
’
Khoảng cách d = A
’
B
’

Ta có:
sin sin sin
d AO vt BO vt
  
 
 

10
sin sin sin sin sin
d BO AO
    

  
 

10
sin
2cos .sin
2 2
d
   


2cos60 .sin sin
2 2
d d
   
   
 

Nhận xét: d
min



(sin ) 1
2
 


min
5 3( )
d cm
 

Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết:
0.9
( )
L H

 , U

1 1
1
4
L L
r
U Z
tg
U r

 
    
.
+
1
1
.sin( )
sin sin( ) sin
MN C MN
C
U U U
U
 
   

  
Mà
1

=1
Theo bài ra: Hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau
2

1 2
( , )
2 2
BM MN
U U
 
 
    
 


Điều phải chứng minh
5. Dùng phương pháp đạo hàm:
Bài toán 1:
C

L,r

M

N

B

V
1

U


L
U

r
U

BM
U


MN
U


o

Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT
12

Cho mạch điện như hình vẽ:
4
200 2 cos100 ( ).
10

( ) ;
L C AM L
Z R Z Z Z R Z
    
Ta có :
. .
AM AM AM
U
U I Z Z
Z
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1
AM
L C L C C C L
L L
U U
U
R Z Z Z Z Z Z Z
R Z R Z
  
   

 

Đăt y =
2
2 2

' 2 2
0 0
L C L
y Z Z Z R
    
2 2
4
241( )
2
C C
L
Z Z R
Z
 
   
hoặc
2 2
4
0
2
C C
L
Z Z R
Z
 
 
(loại).
Bảng biến thiên:
Z
L

 
  

M

C L
R
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT
13

Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
2 cos
AB
u U t


R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi. Tụ C có điện dung thay đổi .
Tìm C để U
AM
cực đại? Tính giá trị cực đại đó? BÀI GIẢI




U
AM
cực đại khi y = y
min
.
Tương tự như bài toán 1, ta tìm được : Khi
2 2
4
2
L L
C
R Z Z
Z
 
 thì y
min
và U
AM

cực đại.

2 2
max
( 4 )
2
L L
AM

nên với kiến thức cá nhân còn hạn chế, đề tài thì quá rộng nên bài viết còn những
sai sót nhất định. Tha thiết kính mong quý đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân thành
để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hữu hiệu hơn.
M
C
L
R
A
B
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Trần Vũ Dũng Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý THPT
14

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Easúp ngày 10 tháng 03 năm 2009 Người thực hiện

TRẦN VŨ DŨNG