MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Một số phơng pháp giải BàI TOáN
CựC TRị TRONG ĐạI Số ở trờng thcs
A - lời nói đầu
C
ác bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em
học sinh ở bậc học này. ở cấp 3 (THPT), để giải quyết các bài toán về cực trị đại số, tìm
giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biẻu thức đại số, ngời ta thờng
phải dùng đến công cụ cao cấp của toán học: đạo hàm của hàm số.
ở cấp THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không đợc phép dùng ) công
cụ cao cấp của toán học nói trên, nên ngời ta phải bằng các cách giải thông minh nhất,
tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở cấp THCS để
giải quyết bài toán loại này. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS góp phần không
nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh ở cấp học này.
Để giải các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng nhất
các biểu thức đại số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức đáng
nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp. Bởi thế, có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở
cấp THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ năng biến đổi
đồng nhất " các biểu thức đại số.
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS còn có sự liên quan mật thiết đến các kiến
thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình và hệ phơng trình, trong chừng
mực nào đó đến giới hạn tuy còn ẩn tàng và nhiều lỉnh vực khác về tập hợp, về kiến
thức hàm số và đồ thị, v.v
Về mặt t tởng các bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức
thực tế của đời sống xã hội, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những
công việc đạt đợc hiệu quả cao nhất, tốt nhất.
Tóm lại, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS là các bài toán tổng hợp các kiến
thức và kỹ năng tính toán, kỹ năng t duy ở cấp học này, nó rất cần thiết cho việc bồi d-
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
1
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S

- Tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
) = m.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
2
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ); giá trị nhỏ nhất của biểu
thức f(x,y, ) bằng cách tơng tự.
II. Các phơng pháp
Ph ơng pháp 1 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng A(x)

0 ( hoặc A(x)

0 )
a) Cơ sở lí luận
- Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng thì số 0 có giá trị
lớn nhất.
- Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm thì số 0 có giá trị
nhỏ nhất.
Từ đó, có thể suy ra rằng trong tập hợp M ={A(x) A(x)

0 } thì A(x) đạt giá
trị nhỏ nhất khi A(x) = 0, và trong tập hợp N = {B(x) B(x)

0 } thì B(x) đạt giá trị lớn
nhất khi B(x) = 0 .
b) Các thí dụ

2
- 4x + 1, trong đó x là biến số lấy giá trị
thực bất kì .
Giải: Ta có : M(x) = -5x
2
- 4x + 1 = -5( x
2
+
5
4
x ) +1
= -5( x
2
+ 2.
5
2
x +
25
4
-
25
4
) + 1
= -5( x +
5
2
)
2
+
5

5
9
Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) =
5
9
, lúc đó x =
5
2
.
Đáp số : M(x)
(lớn nhất )
=
5
9
, khi x =
5
2
.
Ph ơng pháp 2 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu
thức đại số bằng cách đa về dạng
2
)(
k
xA


0 ( hoặc
2
)(
k

3
23)4(
2
+
Vì x > 0, nên ta có : A(x) =
3
23
3
)4(
2
+

x
x
Với
x
> 0, thì ( x - 4 )
2
0, do đó A(x) =
3
23
3
)4(
2
+

x
x

3

1063
2
2
++
++
xx
xx
=
2)1(
1
3
32
1
3
32
1)32(3
32
1963
222
2
2
2
++
+=
++
+=
++
+++
=
++

2

++x
.
Từ đó ta có M(x) = 3 +
=+
++
2
1
3
2)1(
1
2
x
3
2
1
Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) = 3
2
1
, lúc đó (x+1)
2
= 0, hay x=-1.
Đáp số : M(x)
(lớn nhất )
= 3
2
1
, với x=-1.
Thí dụ 5.

224
4
224
242
+
=
++
+
=
+++
++
xxy
y
xxy
xyyxy
( vì
y
4
+ 1 0,

y

R )
Mặt khác x
2
0,

x

R nên x

a) Cơ sở lí luận :
Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới các dạng khác nhau dới đây ( chỉ áp dụng với các số
không âm ).
1. Dới dạng căn thức :
1)
ba
ba
.
2

+
2)
3

3
cba
cba

++
3) Một cách tổng quát:
n
n
n
aaaa
n
aaaa321
321




++
3)
n
n
n
aaaa
n
aaaa321
321







++++
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
Chứng minh rằng nếu hai đại lợng dơng x và y có tích luôn luôn không đổi thì tổng
của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau.
Giải .
Từ bài toán trên, ta phải chứng minh rằng với x > 0, y > 0, và xy = k
2
(không đổi) thì

2
=
(*)
Vậy tổng M = x + y lấy giá trị nhỏ nhất khi x + y = 2k.
Theo bất đẳng thức Côsi, x + y = 2k = 2
xy
khi và chỉ khi x = y. Vậy x + y = 2k khi và
chỉ khi x = y.
Tóm lại :
Bài toán tìm giá trị lớn nhất
Chứng minh rằng, nếu hai đại lợng dơng có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá
trị lớn nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
Với x > 0, y > 0 và xy = k
2
(không đổi ), thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
6
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi và chứng minh tơng tự ở trên)
Tóm lại
Với x > 0, y > 0 và x + y = k
2
(không đổi ) thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
Chúng ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán trên để giải các bài toán về cực trị đại số.
Thí dụ 6
Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) =
x
x 28
2
+

1
, suy ra x =
2
1
hoặc x =
2
1

. Kết hợp với điều kiện x > 0, ta
chỉ lấy giá trị x =
2
1
.
Với x =
2
1
; A(x)
( nhỏ nhất )
= 8.
2
1
+
2
1
1
= 4 + 4 = 8.
Đáp số : A(x)
( nhỏ nhất )
= 8; với x =
2

(*)
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
7
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Đến đây ta nhận thấy rằng x
3
và 16 - x
3
là hai đại lợng biến đổi nhng tổng của chúng x
3
+
(16-x
3
) = 16 luôn luôn không thay đổi, vậy tích của chúng B(x) = x
3
(16-x
3
) đạt giá trị lớn
nhất khi và chỉ khi x
3
= 16 - x
3
. Từ đây ta có : 2x
3
= 16 hay x
3
= 8. Ta tính đợc
x = 2. Giá trị x = 2 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị x = 2.
B(x)

1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức về dạng để có thể áp dụng đợc các bài toán về bất đẳng
thức Côsi.
Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta cũng có thể biến đổi tử thức thành tích các nhân tử và
sau đó rút gọn. Cách này khá dài dòng và gặp không ít khó khăn
Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thức
4x
4
+ 16x
3
+ 56x
2
+ 80x + 356
4x
4
+ 8x
3
+ 20x
2
Kết quả ta đợc :
P(x) = 4x
2
+ 8x + 20 +
52
256
2
++ xx
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
8
x
2

> 0

(*),

nên P(x) luôn luôn xác đinh với
mọi giá trị x.
2) Đặt ẩn phụ để đa về xét biểu thúc có dạng đơn giản hơn
Từ P(x) = 4x
2
+ 8x + 20 +
52
256
2
++ xx
, ta có : P(x) = 4 ( x
2
+ 2x + 5 ) +
52
256
2
++ xx
Đặt y = x
2
+ 2x + 5, ta có :
P(x) = 4y +
y
256
, và y = x
2
+ 2x + 5 > 0 với mọi x.

- 2x + 2 ) ( 4x - 2x
2
+ 2 ), với

x

R .
Giải: Nhận xét về các hệ số của ẩn x, ta thấy rằng 4x - 2x
2
= 2 ( 2x - x
2
) = -2( x
2
- 2x).
Do đó đặt x
2
- 2x + 2 = y thì ta có : 4x - 2x
2
+ 2 = -2( x
2
- 2x + 2) + 6 = -2y + 6
Vậy Q(x) = ( x
2
- 2x + 2 ) ( 4x - 2x
2
+ 2 ) = y ( 6 - 2y )
Ta liên tởng đến vấn đề tích 2 số lớn nhất khi tổng của chúng không đổi. ở đây y và
6 - 2y thoả mãn điều kiện trên vì thế để tìm giá trị lớn nhất của Q(x) ta chuyển sang tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2.Q(x)
Ta có P(x) = 2.Q(x) = 2.y( 6 - 2y)

3
, hay x
2
- 2x + 2 =
2
3
. Giải phơng trình bậc hai ta đợc : x = 1
2
2
.
Đáp số : Q(x)
Lớn nhất
= 4,5 ; với x = 1
2
2
.
Ph ơng pháp 5 - Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các biểu thức chứa nhiều đại lợng.
Thí dụ 10 .
Tìm giá trị của m và p sao cho : A = m
2
- 4mp + 5p
2
+ 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải : Ta có A = ( m
2
- 4mp + 4p
2
) + ( p
2

Lúc đó ,



=
=
1
5
p
X
, hay



=
=
1
52
p
pm




=
=
1
3
p
m

+ ( y - 3 )
2
+ 14Z + 50 = ( Z + 7 )
2
+ ( y - 3 )
2
+ 1.
Vì ( Z + 7 )
2
0 và ( y - 3 )
2
0 với mọi giá trị x, y nên F(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất khi
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
10
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
( Z + 7 )
2
= 0 và ( y - 3 )
2
= 0. Từ đó suy ra Z = -7, y = 3 hay



=
=
3
75
y
yx


4y ta làm xuất hiện đợc các yếu tố ràng buộc đã cho.
Từ P(x, y) = 6x + 4y, với x > 0, y > 0 nên 6x > 0, 4y > 0 và do đó
[ ]
)4).(6.(4)46(),(
2
2
yxyxyxP +=
( áp dụng bất đẳng thức Côsi )
Từ đó
[ ]
96.4.6.4),(
2
xyxyyxP =
Đến đây ta làm xuất hiện tích xy.
Theo giả thiết ( ràng buộc ), ta có xy = 216, suy ra P(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất là:
P(x,y) =
216.96
= 144
Đáp số : P(x,y)
nhỏ nhất
= 144.
Thí dụ 13 . Tìm giá trị của x, y, z để biểu thức sau : F(x,y,z) = 2x + 3y - 4z đạt giá trị nhỏ
nhất. Biết rằng x, y, z thoả mãn hệ ràng buộc sau đây :









=
=
(**)23
(*)34
zy
zx
Để x 0 thì 4 - 3z 0, suy ra z
3
4

Để y 0 thì 3z - 2 0, suy ra z
3
2

GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
11
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Để x 0 và y 0, phải có điều kiện :
3
2
z
3
4
(***)
Thay các giá trị của x,y từ (*) và (**) vào biểu thức đã cho ta đợc F(x,y,z) = 2(4 -3z) +
3(3z - 2) - 4z = 2 - z.
Nh vậy F(x,y,z) chỉ còn phụ thuộc vào giá trị của z . F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi z đạt
giá trị lớn nhất. Nhng từ ràng buộc, z chỉ có thể lấy các giá trị trong khoảng xác định
3

2
; với x = 0, y = 2, z =
3
4
.
Thí dụ 14 . Cho biểu thức đại số sau : P = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
; với x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x

5
, và vì x
1
x
4
+ x
2
x
5
0, ta có :
P = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
x
1
x
2

4
(x
1
+ x
3
+ x
5
) hay P (x
2
+ x
4
) (x
1
+ x
3
+ x
5
)
Đến đây ta nhận thấy rằng :
Do giả thiết các x
i
( i = 1,2, ,5) 0 nên các tổng (x
1
+ x
3
+ x
5
) và tổng (x
2
+ x





+
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
12
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S

( )( )
42531
2
54321
2
xxxxx
xxxxx
+++






++++
(1)
Ta lại có : (x
2
+ x
4
) (x

1
+ x
3
+ x
5
)(x
2
+ x
4
) x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
54433221
2
54321

x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
.
P = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
đạt giá trị lớn nhất bằng
4
1

( lớn nhất )
=
4
1
, với x
1
= x
2
= x
5
= 0 và x
3
= x
4
=
2
1
.
Ph ơng pháp 7 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpski.
1. Bất đẳng thức Bunhiacốpski
a) Viết dới dạng luỹ thừa :
( ax + by )
2
( a
2
+ b
2
) ( x
2

a
x
==
.
Tổng quát ta có :
( a
1
b
1
+ a
2
b
2
++ a
n
b
n
)
2
( a
1
2
+ a
2
2
++ a
n
2
)( b
1

++
Dấu bằng xẩy ra khi
b
y
a
x
=
ax + by + cz
)z y x( ) c b a (
222222
++++
Dấu bằng xẩy ra khi
c
z
b
y
a
x
==
.
* Tổng quát ta có :
a
1
b
1
+ a
2
b
2
++ a

1
1
.
2. Các thí dụ
Thí dụ15
Tìm các giá trị của x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất :
P = x
2
+ y
2
+ z
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Biết rằng x + y + z = 1995.
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các bộ số 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
( x.1 + y.1 + z.1 )
2
( 1
2
+ 1
2
+ 1
2
)( x
2
+ y
2
+ z
2
)

với
Rzyx ,,
.
P đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xẩy ra, tức P =
3
1995
2
chỉ khi
111
z
y
x
==

( hay x = y = z ).
Từ



=++
==
1995zyx
z y x
ta tính đợc x = y = z =
3
1995
= 665.
Đáp số : P
( nhỏ nhất )
=







++++
,
hay Q
2
(x,y,z) = ( 2x + 4y +
5
z )
2

( )
( )
222
2
22
542 zyx ++






++
.
Theo giả thiết ta có : x

= 169, ta có :
x
2
+ ( 2x )
2
+ (
2
5x
)
2
= 169
x
2
+ 4x
2
+
4
5
2
x
= 169
25x
2
= 4.169 x
2
=
25
169.4
x =
5

26
; y =
5
52
; z =
5
513
).
Ph ơng pháp 8 - Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị.
Thí dụ17 : Tìm giá trị lớn nhất của A = x
2
( 3 - x ), với x 0 .
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
15
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Giải : a) Xét 0 x 3. Ta có : A = 4.
2
.
2
xx
( 3 - x ).
áp dụng bất đằng thức Côsi cho 3 số không âm
2
,
2
xx
, 3 - x ta đợc

2
.

Do đó A 4.1 = 4 (1)
b)Xét x > 3, khi đó A < 0 (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận : MaxA = 4






=
0
3
2
x
x
x
x = 2.
Thí dụ18 : Tìm giá trị lớn nhất của B = x
2
1 x
.
Giải : a) Xét -1 x 0 thì B 0 (1)
b) Xét 0 < x 1 thì B = x
2
1 x

2
1
2
)1(

- ac ( với b = 2b
,
); điều kiện này đợc sử dụng
để giải khá nhiều dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)
của một biểu thức. Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Thí dụ 19. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =
1
22
2
2
+
+
xx
xx
.
Giải: Do x
2
- x + 1 > 0 với mọi x nên Q xác định với mọi x. Giả sử tồn tại x để Q đạt
GTLN và GTNN, khi đó phơng trình Q.( x
2
- x + 1) = x
2
- 2x + 2
(Q - 1) x
2
+ (2 - Q) x + Q - 2 = 0 (*) phải có nghiệm đối với ẩn x.
Nếu Q = 1 thì (*) x = 1.
Nếu Q 1 thì (*) là một phơng trình bậc hai đối với ẩn x, có nghiệm
x
0

2
2
- 4a
2
c
2
< 0.
Thí dụ 20 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =
7
12
2
2
++
++
yx
yx
.
Giải: Ta có Q xác định với mọi x, y.
Ta tìm Q để tồn tại x, y thỏa mãn Q =
7
12
2
2
++
++
yx
yx
hay Q.x
2
- x + Q.y

5
Q
2
1
.
Với x = 1, y = 2 thì Q =
2
1
nên Q đạt GTLN là
2
1
.
Với x =
5
7
, y =
15
14
thì Q = -
14
5
nên Q đạt GTNN là -
14
5
.
Ph ơng pháp 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
a) Cơ sở lý luận : Khi tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay giá trị lớn nhất (GTLN) của
biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta thờng xét các trờng hợp để khử dấu giá
trị tuyệt đối để vẽ đồ thị hoặc sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối nh :
ba +


khác

mà f(

) < f(

) thì ta sẽ xác định
đợc phạm vi tìm kiếm hẹp hơn.
Phơng pháp này cần có kĩ năng giải bất phơng trình để tìm đợc K. Công việc trên đợc ví
giống nh ta đi tìm chiếc chìa khoá bị đánh rơi, nếu ta chắc chắn nó bị rơi trong nhà thì
không lẽ ta lại tìm nó ở ngoài đờng?
b) Một số thí dụ:
Thí dụ 21. Tìm GTNN của hàm số : y = f(x) =
1+x
+
12 x
Giải: Hàm số y = f(x) có tập xác định là R
Cách 1. Vì f(
2
1
) =
2
3
nên ta chỉ cần tìm x thoả mãn f(x)


2
3
, suy ra :

2
3

Đẳng thức xảy ra

x =

2
1
K
Vậy GTNN của f(x) là
2
3

Cách 2. Ta có
2
1
12 xx
, suy ra
f(x) =
( )






+++++
2
1

x
2
1 +
;
c) y = h(x) = 2
x
x
x
1
1

++
;
Giải. 1, Lời giải cho cả câu a) và câu b)
Vì f(1) = 2 = g(1) nên ta chỉ cần tìm x thoả mãn :

1x
2;
2
2

x




=






K.
Vậy GTNN của f(x) là 2
2
- 1
g(x) = 3(x - 1) +
x
2
=






+
x
x
1
2
+ x - 3 2.2 + 1 - 3 = 2.
Đẳng thức xẩy ra

x = 1

K.
Vậy GTNN của g(x) là 2.
2) câu c)
Vì h(-1) = 2 nên ta chỉ cần tìm x thỏa mãn h(x) 2 suy ra 2

K.
Vậy GTNN của h(x) là 2.
III . Bài tập áp dụng
1. Cho biểu thức M(x) = x
2
- 10x + 40 . Với giá trị nào của x thì M(x) đạt giá
trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
19
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
2. Cho biểu thức Q(x) =
544
3
2
+ xx
. Với giá trị nào của x thì Q(x) đạt giá
trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
3. Cho biểu thức A(x) =
12
1
2
2
++
++
xx
xx
, với x -1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A(x) và giá trị tơng ứng của x.
4. Cho biểu thức F(x) =
126

92)32(
2
22
++
++++
xx
xxxx
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P(x, y) =
yx
11
+
Biết rằng x > 0, y > 0 và x + y = 100
10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M (x, y, z) = xyz
Với hệ ràng buộc sau đây :







>
>
>
=++
0
0

0
0
0
215
5123
z
y
x
yz
zx
Tìm các giá trị của x, y, z để biểu thức A( x, y, z) = x + y + z
đạt giá trị lớn nhất.
13. Cho biểu thức F(x,y,z,t) = 2x + y + z + t.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của F(x, y, z, t) biết rằng:






=+
=+
=+
15
60
507
ty
zx
yx
và x, y, z, t là các số không âm


>
>
>
=++
0
0
0
1
z
y
x
zyx
17. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A ( x ) =
x
x 1995
4
+
, với x > 0
18. Tìm giá trị của x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất :
F ( x, y, z ) = x
4
+ y
4
+ z
4
Biết rằng x, y, z thoã mãn phơng trình sau : xy + yz + zx = 1
19. cho biểu thức M = x
2

+
42
2
x
+
2
321 x
Tìm khoảng xác định của hàm số y. Tính giá trị lớn nhất của hàm số trong
khoảng xác định đó và các giá trị tơng ứng của x .
21. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y =
12121 ++++ xxx
;
b) y =
x
x
x
3
1
22
2

++
;
22. Cho phơng trình bậc hai ẩn số x và y :
x
2
+ 3y
2
+ 2xy - 10x - 14y + 18 = 0.