SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU [

THANH HÓA NĂM 2013 1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi thường có
các câu hỏi tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều
như: công suất, cường độ dòng điện, hiệu điện thế khi có sự biến thiên
của các phần tử trong mạch như: R, L, C hoặc tần số góc

. Gặp những bài
toán này học sinh thường lúng túng trong việc tìm cho mình một phương
pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất. Do đó mất thời gian và làm ảnh hưởng
đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao.
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương
pháp cơ bản để giải các bài toán dạng này. Trong đề tài này tôi muốn giới
thiệu một số dạng bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều và phương
pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều phương pháp để giải và lựa
chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính xác và đạt hiệu
quả cao nhất.
I =
22
)(
cL
ZZR
U
Z
U



do U = Const nên I
max
khi Z
min
khi đó R ->0 => I
max
=
CL
ZZ
U


1.2. Tìm R để P
max
=?
Lập biểu thức công suất của mạch: P = I
2
R =
)1(

)(
)(
)(
2)(
CL
CL
CL
CL
ZZR
RZZU
ZZR
RUZZR






P' = 0 => R = /Z
L
- Z
C
/ khảo
sát biến thiên của P theo R.

R 0
/Z
L
- Z
C

- Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:
Từ (1) => P =
2
2
( )
L C
U
Z Z
R
R


=> Rmax khi R +
R
ZZ
CL
2
)(

min
Do Rvà
R
ZZ
CL
2
)(

là những số dương nên theo bất đẳng thức côsi ta có:
R +
R

Nhận xét
: Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất
đẳng thức côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương
pháp đạo hàm.

1.3. Tìm R để U
R
; U
L
; U
C
đạt giá trị cực đại?
a.Tìm R để U
Rmax
= ?
Lập biểu thức tính U
R
ta có: U
R
= I.R =
2
222
)(
1
)(
.
R
ZZ
U
ZZR


=> U
Lmax
khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R
= 0 và
U
Lmax
=
.
| |
L
L C
U Z
Z Z


c.
Tìm R để U
Cmax
= ?
Lập biểu thức tính U
C
ta có: U
C
= I.Z
C
=
2 2
.
( )

Lmax
và

U
Cmax
có thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý.
1.4. Tìm R để U
RL
, U
RC
, U
LC
đạt cực đại:

4
a. Tìm R để U
RL
đạt cực đại:
Ta có: U
RL
= I.Z
RL
=
2 2
2
R
.
( )
L
RL

RLmax
= U.
b. Tìm R để U
RC
đạt cực đại:
Ta có U
RC
= I.Z
RC
=
2 2
2 2
R
.
( )
C
RC
L C
U Z
U
Z
Z
R Z Z


 
=
22
2
R

C
ZZR
ZU


; U
Lcmax
khi R -> 0 => U
LCmax
= U.

Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ:

A R L C B Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện u
AB
= 100
2
cos 100

t (V). Cho cuộn
dây thuần cảm có độ tự cảm L =

2
(H); tụ điện có điện dung C =

4
10




 R
RR
P
R
R
R

=> P' = 0 => 100
2
(100
2
- R
2
) = 0 => R = 100().
Ta thấy khi R = 100() thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm.

5
Do đó Pmax khi R = 100() và P
max
=
2
100
100100
100.100
22
2



A R R
0,
L C B

U
AB
= 100
2
cos 100

t (v) cuộn dây có độ tự cảm L =

4.1
(H) và điện trở
trong R
0
= 30 (), tụ điện có điện dung C =

4
10
(F)
a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?

Bài giải:
*Phương pháp dùng BĐT Côsi:
a. Công suất tiêu thụ của mạch: P = I
2
(R+R

)(




Do U = Const nên P
max
khi Amin theo bất
đẳng thức côsi ta có: A = (R + R
0
) +
0
2
)(
RR
ZZ
CL


 2 / Z
L
- Z
C
/
=> Amin = 2 / Z
L
- Z
C
/ = 2 (140 - 100) = 80().
Dấu "=" khi R + R

0

rồi áp dụng BĐT Cô si . Khi đó công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại khi
R
tđ
= R + R
0
= / Z
L
- Z
C
/ => R= / Z
L
- Z
C
/- R
0
. Nếu R
0
> / Z
L
- Z
C
/
thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên
mạch đạt cực đại :
Pmax =
2
0
2 2


P
R
=
0
2
0
22
0
2
2
2
)(
RA
U
R
R
ZZR
R
U
CL










=
22
4030 
= 50 => Amin = 2R =
100
=> P
Rmax
=
2 2 2 2
0 0
100 100
62,5(W)
min 2 2( ) 2(50 30) 160
U U
A R R R
   
   DẠNG 2:

BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L
.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công
suất trong m
ạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại
lượng U, R, C,


không đổi. (mạch điện như hình vẽ)

C
=> L =
C
2
1
7
=> I
max
=
R
U
mạch xảy ra cộng hưởng điện.

b.
Ta có: P = I
2
R. Do R không đổi nên Pmax khi Imax theo trên L =
C
2
1


=> Pmax =
2
max
I
R=

U R
R Z Z 
ta thấy U
Rmax
khi
Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1

=> U
Rmax
= U.
b. Tìm L để U
Lmax
=?
*
Phương pháp dùng đạo hàm
:

Ta có: U
L
= I.Z
L
=
.

f' (Z
L
) =
 
2
/3
22
22
)(
CL
CLC
ZZR
ZZZR



ta có f' (Z
L
) = 0 => Z
L
=
C
C
Z
ZR
22

và đổi dấu từ dương sang âm.
=> fmax =
R



; U
Lmax
= U.f
max
=
2 2
.
C
U R Z
R
* Phương pháp hình học: Giản đồ véc tơ như hình vẽ:

Theo định lý hàm số sin ta có:




sin
sin.U
U
Sin
U
Sin
U
L

ZR
R
U


do R, C không đổi nên sin

không đổi.
Mặt khác do U không đổi nên U
L
cực đại khi sin = 1 = >  = /2.=>
RC
U

và
U

vuông pha với nhau.
=> U
Lmax
=
R
ZRU
C
22
. 
Mặt khác ta có:
RC
L
U

L
=
2
C
Z
RC
Z
=> Z
L
=
C
C
Z
ZR
22


* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:
Từ (1) ta có: U
L
=
22
)(
.
CL
L
ZZR
ZU

=

Zf
U
Z
ZZ
U



Với f(Z
L
) =
1
2
2
22


L
C
L
C
Z
Z
Z
ZR

Đặt X =
L
Z
1


=> Z
L
=
C
C
Z
ZR
22

=> f(
Z
L
)
min =
22
2
C
ZR
R

=> U
Lmax
=
R
ZRU
C
22




=>
ax
.
C
Cm
U Z
U
R
2.3. Tìm L để U
RLmax;
U
Rcmax;
U
Lcmax
=?.

a. Tìm L để U
RLmax
=? . Theo định luật ôm ta có: U
RL
= I. Z
RL
=
Z
U
Z

U






Trong đó: f(Z
L
) =
2
L
2
2
ZR
2


CLC
ZZZ
(1) đạo hàm theo Z
L
.

Ta có: f'(Z
L
) =
22
L
2

2
> 0
=> Z
L1
=
2
4
22
RZZ
CC

(loại nghiệm âm) f' (Z
L
) triệt tiêu và đổi dấu từ âm
sang dương nên f (Z
L1
) min khi Z
L1
=
2
4
22
RZZ
CC


khi đó U
RLmax
=
min)(1

2 2
2 2
.
( )
C
L C
U R Z
R Z Z

 
=> U
RCmax
khi Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1


=> U
RCmax
=
2 2
.
C
U R Z
R

U
LCmax
khi Z
L
->  => L - => U
LCmax
= U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100

t (V)
A R C L B V

10
Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi; R
V
= ; R = 50 (); C =

4
10
(F)
a. Khi L = L
1
thì P = P

max
khi Z
L1
= Z
C
= 100() => Z
L1
= 100() => L
1
=

1
(H)
=> P
max
=
50
100.2
50
)2100(
222

R
U
= 400(w)
b. Ta có U
V
= U
L
= I.Z


f(Z
L
) = f(x) = (R
2
+ R
2
C
) x
2
- 2Z
C
.x + 1 .
Ta có : a = R
2

+ Z
2
C
> 0 => f(x) min khi x =
a
b
2


=>
)(
25,1
)(125
100

Vmax
=
2 2
100. 2.125 100. 2.125
100 10 ( )
25. 5
50 (125 100)
V
 
 

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100

t (v)

A M N B

L R C

Cuộng dây thuần cảm có L thay đổi ; R = 24 (); C =
)(
2
10
3
F


ZZR
ZRU
Z
ZU




U
AN
=
)(1
2
1
22
2
L
L
CLL
Zf
U
ZR
ZZZ
U





=> U

2
2




L
CLC
ZR
ZZZ

=> U
ANmax
=
120 1872
120 120 2,25 180( )
832
1 ( ) min 1040
1
1872
L
U
V
f Z
   



Hoặc U
ANmax

C
C
22
22
. 

=
22
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZRU



U
MBmax
khi Z
min
=> Z
L2
= Z
C
= 20() => L
2
=
)(

; P
max
=?
a. Tìm C để I
max
=?
Ta có: I =
22
)(
cL
ZZR
U
Z
U


=> I
max
=
R
U12
Khi Z
L
= Z
C
= > C =
L


3.2. Tìm C để U
Rmax
;U
Lmax
; U
Cmax
=?
a. Tìm C để U
Rmax
= ?
Lập biểu thức tính U
R
ta có: U
R
= I.R =
2 2
.
( )
L C
U R
R Z Z 
ta thấy U
Rmax
khi
Z
L
= Z
C
=> C =

C
=> C =
2
1
L

=>
ax
.
L
Lm
U Z
U
R


c. Tìm C để U
Cmax
=?
*Phương pháp dùng đạo hàm.
Ta có U
C
= I.Z
C
=
22
)(
cL
C
ZZR







f’ (Zc) = 0 => Z
C1
=
R
ZR
L
22

=> f’(Zc) triệt tiêu tại Z
C
và đổi dấu từ dương sang
âm nên đạt cực đại tại Z c => f(Z
Cmax
) =
R
ZR
L
22

=> U
Cmax
= U. f(Z
Cmax
)

C
C


0
U
RL

U
L
U
R
U

I



U
C

13
Mà Sin  =
22
RL
R
U

L
U
U
=> U
C
=
2
.
RL
L
U Sin
U


mà Sin  = 1 => U
C
=
2
L
U
RL
U
=> Z
C
=
L
L
Z
ZR
22

C
2
L
2


C
Z
U

U
C
=
)(
C
Zf
U
=> Ucmax khi f (Zc) min => f (Zc) =
1
2
Z
R
2
C
22


C
LL
Z

Z
L
L
C


=>
Z
C
=
L
22
Z
R
L
Z
=> C =
222
LR
L



=>fmin =
22
2
R
R
L
Z

2 2
2 2
.
( )
L
L C
U R Z
R Z Z

 
=> U
RLmax
khi Z
L
= Z
C
=> C =
2
1
L


=> U
RLmax
=
2 2
.
L
U R Z
R

CLL
Zf
U
ZZZ
U






Đặt f(Z
C
) =
2
C
2
2
ZR
2


CLL
ZZZ
(1) để U
RCmax
thì f (Z
C
) min.
Ta có: f'(Z






RZZZZZZZZZZRZ
CLCLCLCLCLL

f'(Z
C
) = 0 =>

Z
2
C
- Z
L
Z
C
- R
2
= 0
Z
C1
=
2
4
22
RZZ
LL

( )
C
L C
U R Z
R Z Z

 

c. Tìm C để U
LCmax
:
Ta có U
LC
= I. Z
LC
=
2
222
2
)(
1
)(
)(
CL
CL
CL
ZZ
R
U
ZZR

2,3
(H)
a. Tìm C để I, P cực đại. Tính I
max
, P
max
= ?
b. Tìm C để U
Cmax
. Tính U
Cmax
?

15

Bài giải:
a. *Ta có: I =
Z
U
=> I
max
khi Z
min
=> Z
L
= Z
C
=> Z
C
= 320

)(10.
2,3
1
4
F


thì I
max
= 0,5(A); P
max
= 60(W)
b. Ta có : U
C
= I.Z
C
=
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZU

theo lý thuyết ta có:
U
Cmax
=
R

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ
Trong đó U
AB
= 60
2
sin 100

t (V), Tụ điện có điện dung C thay đổi

A R C L B

Điện trở R = 10
)(3 
; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =
)(
5
1
H


a. Tìm C để U
RCmax
.Tìm U
RCmax
= ?
b. Tìm C để U
LCmax,
U
RLmax
= ?

4
22
RZZ
LL


)(30
2
4020
2
10.3.42020
22




16
=> f(Z
C
) min =
22
2
22
2
3010.3
30.20.220
2

3
U
U V
 


hoặc U
RCmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
C
L C
U R Z
R Z Z

 
=
2 2
2 2
60 3.10 30
60 3( )
3.10 (20 30)
V


 

22
222
)(
)(.
CL
L
ZZR
ZRU


; U
RLmax
=
22
L
ZR
R
U


Khi Z
C
= Z
L
= 20() => C =
20.100
1
.
1


đại lượng U, R, L, C không đổi .
1. Tìm

để I
max
=? I
min
= ? Pmax =?P
min
=?
a. Tìm

để I
max
=? I
min
= ?
* Ta có I =
2
2
.
1
R








=> Imin = 0
b.Tìm

để Pmax =?P
min
=?

17
* Công suất tiêu thụ P = I
2
.R => Pmax = I
2
max.R =
LC
khi
R
U 1
2



* Pmin = 0 khi Imin = 0 =>







0










0
/
1
C

* U
Rmax
=> (Z
L
- Z
C
)
2
= 0 => Z
L
- Z
C
=> 
0
=
LC

C
=
222
C
2
Z.
CL
Z
C
L
ZR
U

=
2 2
2 2 2
2 2
1
.
2 1
U
L
C
L R
C C



 
 

2
C
2
) 
2
+ 1 (1) Có a = L
2
C
2
> 0
=> f() min khi 
2
=
a
b
2

=
22
22
2
2
CL
CRLC 
=> 
1
=
C
CRL
L 2

U
Lmax
= ?
Ta có: U
L
= I.Z
L
=
22
)(
Z.
CL
L
ZZR
U

=
222
2
Z.
LC
L
Z
C
L
ZR
U


* U

.
1
22
2
422









L
R
LCCL
U
=
)(

f
U
;
U
Lmax
khi f () min. Ta có f
()
=
1

2

=













22
2
2
1
.2
2
CL
L
R
LC

=>
2
1

C
L R C


với điều kiện:
2
2
R
C
L

=> U
Lmax
=
min)(

f
U
với f() min xác định theo (1)
Nhận xét: Ta thấy khi

thay đổi nếu U
Rmax
khi

=

0
;U
Lmax

sin  thay đổi. R = 100(); C =
4
10.
1


(F); L =

1
(H).
a. Xác định  để I
max
, P
max
= ?
b. Xác định  để U
Rmax
, U
Lmax
, U
Cmax
= ?

Bài giải:
a. I =
Z
U
=
22
)(

.R;
I
max

=
5,1
2.100
3.100

R
U
(A) => P
max
= 1,5 . 100 = 150 (W).
b. * U
Rmax
= U = 650
2
3.100
 (v) khi Z
L
= Z
C
=> 
0
=

100
1


.



2.50
2
100
2
100
10
1
22
4


(rad/s)
Khi đó: Z
C1
=
)(2100
2
200
250
10
4

; Z
L1
= 
1

Lmax
khi: 
2
=
2
24
2
4
22
)10(
100
101
.2
2
2
2




 CRLC
100 2 .


(rad/s)
Ta có Z
C2 =
);(250
10
2100



CL
L
ZZR
ZU
(V)
Nhận xét:
1. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của dòng điện xoay
chiều là khảo sát hàm số: I(R); I(C); I(L); I(), dự vào biểu thức của định luật
ôm. Quá trình giải có thể tổng kết theo sơ đồ sau:

Định hướng
lập mối

tương quan
Áp dụng
định luật ôm
lập biểu thức

Khảo sát

sự phụ thuộc

Nhận xét và
lựa chọn kết
quả

2. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của hiệu điện thế
theo các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:


Lập hệ
thức liên
hệ

Lựa chọn
phương
pháp giải
(đạo hàm, cô
sin )
Xét cực trị
theo
phương
pháp đã

lựa chọn

Nhận xét và
lựa chọn kết
quả

III- KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Trong đề tài này với khả năng có hạn và thời gian không cho phép, tôi
chỉ mạnh dạn trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị và một số
ví dụ cụ thể áp dụng các phương pháp mà qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi
giới thiệu cho học sinh các em tự tin hơn, có định hướng và lựa chọn chính
xác phương pháp thích hợp để giải các bài toán cực trị trong mạch điện xoay
chiều, áp dụng tốt cả khi thi tự luận hoặc thi trắc nghiệm.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế

PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. 200 bài toán điện xoay chiều (Vũ Thanh Khiết).
2. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THPT tập 3 (Vũ Thanh Khiết).
3. Giải toán Vật lý 12 tập 2 (Bùi Quang Hân).
4. Một số phương pháp giải các bài toán vật lý sơ cấp (Vũ Thanh Khiết).
5. Phương pháp giải toán điện xoay chiều (Trịnh Quốc Thông).
6. Phân loại & Phương pháp giải nhanh Vật Lý 12 ( Lê Văn Thành).
7. Các đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi các năm gần đây.