SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH
ĐIỆN XOAY CHIỀU”

1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi thường có các câu hỏi
tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều như: công suất, cường
độ dòng điện, hiệu điện thế khi có sự biến thiên của các phần tử trong mạch như: R,
L, C hoặc tần số góc
ω
. Gặp những bài toán này học sinh thường lúng túng trong việc
tìm cho mình một phương pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất. Do đó mất thời gian và
làm ảnh hưởng đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao.
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương pháp cơ bản để giải
các bài toán dạng này. Trong đề tài này tôi muốn giới thiệu một số dạng bài toán cực
trị trong mạch điện xoay chiều và phương pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều
phương pháp để giải và lựa chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính
xác và đạt hiệu quả cao nhất.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Qua tìm hiểu các đề thi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về mạch điện xoay
chiều RLC mắc nối tiếp, tôi thấy có một số dạng bài toán cực trị thường gặp và có các
phương pháp giải như sau:
DẠNG 1: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO R.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong
mạch điện xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi R thay đổi, trong đó U, L, C,
ω
không đổi ( mạch điện như hình vẽ).

2

Lập biểu thức công suất của mạch: P = I
2
R =
)1(
)(

22
2
2
2
cL
ZZR
RU
Z
RU
−+
=
- Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được:
P' = U
2

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
22
222
2
22

+∞
P' + 0 -
P Pmax 0

3
0
Ta thấy khi R =
/Z
L
- Z
C
/ thì P = Pmax => Pmax =
R
U
ZZ
U
CL
22
22
=
−
- Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:
Từ (1) => P =
2
2
( )
L C
U
Z Z
R

C
/
Vậy với R = /Z
L
- Z
C
/ thì: Pmax =
R
U
ZZ
U
CL
22
22
=
−
.
Nhận xét : Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất đẳng thức
côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương pháp đạo hàm.
1.3. Tìm R để U
R
; U
L
; U
C
đạt giá trị cực đại?
a.Tìm R để U
Rmax
= ?
Lập biểu thức tính U

4
Lập biểu thức tính U
L
ta có: U
L
= I.Z
L
=
2 2
.
( )
L
L C
U Z
R Z Z+ −
=> U
Lmax
khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R
= 0 và
U
Lmax
=
.
| |
L
L C
U Z
Z Z−
c.
Tìm R để U

U
Rmax
= U nên không xãy ra trường hợp U
R
> U, còn
U
Lmax
và

U
Cmax
có
thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý.
1.4. Tìm R để U
RL
, U
RC
, U
LC
đạt cực đại:
a. Tìm R để U
RL
đạt cực đại:
Ta có: U
RL
= I.Z
RL
=
2 2
2

Để U
RLmax
thì mẫu số nhỏ nhất. Ta thấy để mẫu số nhỏ nhất khi R -> ∞ khi đó U
RLmax
= U.
b. Tìm R để U
RC
đạt cực đại:
Ta có U
RC
= I.Z
RC
=
2 2
2 2
R
.
( )
C
RC
L C
U Z
U
Z
Z
R Z Z
+
=
+ −
=

L
)(
)(Z
CL
C
ZZR
ZU
−+
−
; U
Lcmax
khi R -> 0 => U
LCmax
= U.
Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ:
A R L C B
Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện u
AB
= 100
2
cos 100
∏
t (V). Cho cuộn dây thuần cảm
có độ tự cảm L =
∏
2
(H); tụ điện có điện dung C =
∏
−4
10

+
−+
==>
+ R
RR
P
R
R
R
=> P' = 0 => 100
2
(100
2
- R
2
) = 0 => R = 100(Ω).
Ta thấy khi R = 100(Ω) thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm.

6
Do đó Pmax khi R = 100(Ω) và P
max
=
2
100
100100
100.100
22
2
=
+

U
AB
= 100
2
cos 100
∏
t (v) cuộn dây có độ tự cảm L =
∏
4.1
(H) và điện trở trong R
0
= 30
(Ω), tụ điện có điện dung C =
∏
−4
10
(F)
a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
Bài giải:
*Phương pháp dùng BĐT Côsi:

7
a. Công suất tiêu thụ của mạch: P = I
2
(R+R
0
) =
( )
2

Do U = Const nên P
max
khi Amin theo bất đẳng thức
côsi ta có: A = (R + R
0
) +
0
2
)(
RR
ZZ
CL
+
−
≥ 2 / Z
L
- Z
C
/
=> Amin = 2 / Z
L
- Z
C
/ = 2 (140 - 100) = 80(Ω).
Dấu "=" khi R + R
0
= / Z
L
- Z
C

- Z
C
/ => R= / Z
L
- Z
C
/- R
0
. Nếu R
0
> / Z
L
- Z
C
/
thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên mạch đạt cực
đại :
Pmax =
2
0
2 2
0
.
( )
L C
U R
R Z Z+ −
.
b. Công suất tiêu thụ trên R: P
R

2
2
2
)(
RA
U
R
R
ZZR
R
U
CL
+
=
+






−+
+
Do U, R
0
không đổi nên P
Rmax
khi Amin
Theo bất đẳng thức côsi ta có: A = R +
[ ]

min 2 2( ) 2(50 30) 160
U U
A R R R
= = = =
+ + +
DẠNG 2:
BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công suất trong
m
ạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại lượng U, R, C,
ω
không đổi. (mạch điện như hình vẽ)
A R L C B
2.1. Tìm L để
Imax
, P
max
= ?
a. Theo định luật ôm ta có: I =
22
)(
cL
ZZR
U
Z
U
−+
=
.
Do U không đổi nên Imax khi mẫu số min.

max
I
R=
R
U
R
R
U
2
2
2
. =
2.2. Tìm L để U
Lmax
;U
Rmax;
U
cmax
=?
a. Tìm L để U
Rmax
= ?
Lập biểu thức tính U
R
ta có: U
R
= I.R =
2 2
.
( )

Z
Z

=
22
)(
.
CL
L
ZZR
ZU
−+
= U. f (Z
L)
(1)
Với f (Z
L
) =
22
)(
CL
L
ZZR
Z
−+
đạo hàm theo Z
L
rút gọn ta được:

10

ZR
Z
Z
ZR
R
Z
ZR
C
C
C
C
C
C
22
2
22
2
22
+
=








−
+

22
RC
R
U
C
ZR
R
U
+
=
do R, C không đổi nên sin
α
không đổi. Mặt khác do U
không đổi nên U
L
cực đại khi sinβ = 1 = > β = Π/2.=>
RC
U
uuuur
và
U
ur
vuông pha với nhau.
=> U
Lmax
=
R
ZRU
C
22

U
RC
U
=> Z
L
=
2
C
Z
RC
Z
=> Z
L
=
C
C
Z
ZR
22
+

11
U
C
0
U
U
L
U
R

Z
ZZ
U
−
+
U
L
=
)(
1
2
Z
R
2
L
22
L
L
CC
Zf
U
Z
ZZ
U
=
+−
+
Với f(Z
L
) =

= (R
2
+ Z
2
C
) > 0 => f(x) min khi X = -
=
a
b
2
LC
C
ZZR
Z
1
22
=
+
=> Z
L
=
C
C
Z
ZR
22
+
=> f(
Z
L

C
L C
U Z
R Z Z+ −
ta thấy U
Cmax
khi
Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1
ϖ
=>
ax
.
C
Cm
U Z
U
R
=

2.3. Tìm L để U
RLmax;
U
Rcmax;

ZR
2
1
2
L
2
2
L
CLC
Zf
U
ZZZ
U
+
=
+
−
+
Trong đó: f(Z
L
) =
2
L
2
2
ZR
2
+
−
CLC

- R
2
= 0 ta có ∆ = Z
2
C
+ 4R
2
> 0
=> Z
L1
=
2
4
22
RZZ
CC
++
(loại nghiệm âm) f' (Z
L
) triệt tiêu và đổi dấu từ âm sang dương
nên f (Z
L1
) min khi Z
L1
=
2
4
22
RZZ
CC

= ?
Ta có : U
RC
=
2 2
2 2
.
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
=> U
RCmax
khi Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1
ϖ
=> U
RCmax
=
2 2
.

−
−
U
LCmax
khi Z
L
-> ∞ => L -∞ => U
LCmax
= U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100
∏
t (V)
A R C L B
Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi; R
V
= ∞; R = 50 (Ω); C =
∏
−4
10
(F)
a. Khi L = L
1
thì P = P
max
. Tìm L
1

C
= 100(Ω) => Z
L1
= 100(Ω) => L
1
=
∏
1
(H)
=> P
max
=
50
100.2
50
)2100(
222
==
R
U
= 400(w)

14
V
b. Ta có U
V
= U
L
= I.Z
L

L
) = f(x) = (R
2
+ R
2
C
) x
2
- 2Z
C
.x + 1 .
Ta có : a = R
2

+ Z
2
C
> 0 => f(x) min khi x =
a
b
2
−
=>
)(
25,1
)(125
100
10050
1
2

100. 2.125 100. 2.125
100 10 ( )
25. 5
50 (125 100)
V+ =
+ −
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100
∏
t (v)
A M N B
L R C
Cuộng dây thuần cảm có L thay đổi ; R = 24 (Ω); C =
)(
2
10
3
F
∏
−
a. Tìm L = L
1
để U
ANmax
?
b. Tìm L = L
2

)(1
2
1
22
2
L
L
CLL
Zf
U
ZR
ZZZ
U
+
=
+
−
+
=> U
ANmax
khi f
min
. Theo mục (d)
=> f(Z
L
) min khi Z
L1
=
)(36
2

=
120 1872
120 120 2,25 180( )
832
1 ( ) min 1040
1
1872
L
U
V
f Z
= = = =
+
−
Hoặc U
ANmax
= U
RLmax
=
2 2
2 2
1
2 2 2 2
1
.
120. 24 36
180( )
( ) 24 (36 20)
L
L C

−+
+
U
MBmax
khi Z
min
=> Z
L2
= Z
C
= 20(Ω) => L
2
=
)(
2,0
H
∏
=> U
MBmax
=
2
2
2
2
24
20
11201 +=+
R
Z
U

max
=
R
U
Khi Z
L
= Z
C
= > C =
L
2
0
1
ϖ

=>

trong mạch xảy ra cộng hưởng điện.
b. Tìm C để P
max
=?
Ta có công suất tiêu thụ P = I
2
.R => P
max
= I
2
max
.R. =
R

Rmax
khi
Z
L
= Z
C
=> C =
2
1
L
ϖ
=> U
Rmax
= U.

17
b. Tìm C để U
Lmax
= ?
Lập biểu thức tính U
L
ta có: U
L
= I.Z
L
=
2 2
.
( )
L

C
= I.Z
C
=
22
)(
cL
C
ZZR
UZ
−+
= U. f (c); Đặt f(Zc) =
22
)(
cL
C
ZZR
Z
−+
f'(Zc) =
[ ] [ ]
22
/3
22
22
/3
22
22
)()(
2

22
+
=> U
Cmax
= U. f(Z
Cmax
)
U
Cmax
= U .
R
ZR
L
22
+
khi Zc =
L
L
Z
ZR
22
+
* Phương pháp hình học:
Vẽ giản đồ véc tơ:
Theo định lý hàm số sin ta có:
α
β
αβ
sin
sin.U

ZR
R
U
+
=
= Const
=> U
Cmax
khi Sin β = 1 => B = π/2 => U
Cmax
=
R
ZRU
L
22
. +
Mặt khác ta có:
=
β
Sin
U
C
γ
Sin
RL
U
; sinγ =
RL
L
U

LR
L
ω
+
* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:
Ta có : U
C
= I.Z
C
=
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZU
−+
=
1
Z2
Z
ZR
2
L
2
C
2
L
2

=> f(x) = (R
2
+ Z
2
L
) X
2
- 2Z
L
X + 1 Ta có: a = R
2
+ Z
2
L
> 0
=> f(x) min khi X = -
a
b
2
=>
22
1
RZ
Z
Z
L
L
C
+
=

Cmax
=
R
ZRU
L
22
+
3.3. Tìm C để U
RCmax
; U
RLmax
; U
LCmax
=?

19
a. Tìm C để U
RLmax
= ?
Ta có : U
RL
= I.Z
RL
=
2 2
2 2
.
( )
L
L C

RC
=
22
22
)(
CL
C
ZZR
ZRU
−+
+
=
)(1
ZR
2
1
C
2
2
C
CLL
Zf
U
ZZZ
U
+
=
+
−
+

−−+−
CLLCL
ZZZZRZ
f'(Z
C
) =
22
C
2
22
22
C
2
22
)ZR(
)(2
)ZR(
422
+
−−−
=
+
+−−− RZZZZZZZZZZRZ
CLCLCLCLCLL
f'(Z
C
) = 0 =>

Z
2

min)(1
C
Zf
U
+
với f (Z
C
) theo (1)
Hoặc U
RCmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −

20
c. Tìm C để U
LCmax
:
Ta có U
LC
= I. Z

R
−
->
0 => Z
C
-> ∞ => C -> 0 .Vậy khi C -> 0 Khi đó U
LCmax
= U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện R, L, C mắc nối tiếp như hình vẽ. C thay đổi
A R L C B
Có : u=120
2
sin 100
∏
t(V); R =240(Ω) cuộn dây thuần cảm có L=
∏
2,3
(H)
a. Tìm C để I, P cực đại. Tính I
max
, P
max
= ?
b. Tìm C để U
Cmax
. Tính U
Cmax
?
Bài giải:
a. *Ta có: I =

==
* Công suất tiêu thụ: P = I
2
. R => P
max
= I
2
max
.R = 0,5
2
. 240 = 60 (W)
Kết luận: Vậy C =
)(10.
2,3
1
4
F
−
∏
thì I
max
= 0,5(A); P
max
= 60(W)
b. Ta có : U
C
= I.Z
C
=
22

22
+
= 320 + 180 = 500(Ω)
=> C =
4
10.
5
1
−
π
(F) khi đó U
Cmax
= 200(V).
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ
Trong đó U
AB
= 60
2
sin 100
∏
t (V), Tụ điện có điện dung C thay đổi
A R C L B
Điện trở R = 10
)(3 Ω
; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =
)(
5
1
H
∏

min)(1
C
Zf
U
+
Khi Z
C1
=
2
4
22
RZZ
LL
++

)(30
2
4020
2
10.3.42020
22
Ω=
+
=
++
=

22
=> f(Z
C

> U
RCmax
=
. 3 60 3( )
2
1
3
U
U V= =
−

hoặc U
RCmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
=
2 2
2 2
60 3.10 30
60 3( )

= U = 60(V) khi C->0
* Ta có: U
RLmax
=
22
222
)(
)(.
CL
L
ZZR
ZRU
−+
+
; U
RLmax
=
22
L
ZR
R
U
+
Khi Z
C
= Z
L
= 20(Ω) => C =
20.100
1

C không đổi .
1. Tìm
ω
để I
max
=? I
min
= ? Pmax =?P
min
=?
a. Tìm
ω
để I
max
=? I
min
= ?

23
* Ta có I =
2
2
.
1
R






C
hoặc ω -> ∞
=> Imin = 0
b.Tìm
ω
để Pmax =?P
min
=?
* Công suất tiêu thụ P = I
2
.R => Pmax = I
2
max.R =
LC
khi
R
U 1
2
=
ω
* Pmin = 0 khi Imin = 0 =>



∞>−
>−
ω
ω
0
2. Tìm

>−
=>∞>−
ω
ω
ω
0
/
1
C
* U
Rmax
=> (Z
L
- Z
C
)
2
= 0 => Z
L
- Z
C
=> ω
0
=
LC
1
=> U
Rmax
= U
3. Tìm

C
2
Z.
CL
Z
C
L
ZR
U
+−+
=
2 2
2 2 2
2 2
1
.
2 1
U
L
C
L R
C C
ω
ω
ω
 
− −
 ÷
 
U

) ω
2
+ 1 (1) Có a = L
2
C
2
> 0
=> f(ω) min khi ω
2
=
a
b
2
−
=
22
22
2
2
CL
CRLC −
=> ω
1
=
C
CRL
L 2
21
2
−

Ta có: U
L
= I.Z
L
=
22
)(
Z.
CL
L
ZZR
U
−+
=
222
2
Z.
LC
L
Z
C
L
ZR
U
+−+
* U
Lmin
= 0 khi Z
L
= 0 => ω = 0







−−
ωω
L
R
LCCL
U
=
)(
ω
f
U
;
U
Lmax
khi f (ω) min. Ta có f
(
ω
)
=
1
12
.
1
22