Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Sau một số năm dạy học toán ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái
niệm cực trị không được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh
mà chỉ hình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo
khoa. Nhưng các vấn đề cực trị lại thường gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm
tra, nhất là các kỳ thi học sinh giỏi và các kỳ thi vào THPT . Do đó việc hình
thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh là một vấn đề rất cần
thiết. Xuất phát từ những kinh nghiệm có được của bản thân qua thực tế
giảng dạy, từ những kiến thức trong quá trình học tập và sự tìm hiểu thêm
các tài liệu tham khảo tôi quyết định chọn đề tài : "Các phương pháp giải bài
toán cực trị".
Qua đề tài, tôi mong bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, tự
phân loại được một số bài toán về cực trị, nêu lên một số phương pháp giải
cho từng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm
kiến thức về các dạng bài toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát
triển tư duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các bài
tập, góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả học tập của học sinh.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của vấn đề:
Bài toán cực trị là một trong những nội dung mới và khó trong chương
trình toán THCS, nó đòi hỏi tư duy logíc cao, việc nắm vững phương pháp
giải không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói riêng mà nó còn có
khả năng tư duy logic với các môn học khác.
Vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn
toán nói chung và giải các bài toán cực trị nói riêng. Trong quá trình dạy
toán và qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài liệu, bản thân tôi đã hệ
thống được một số phương pháp tìm cực trị. Tôi thiết nghĩ mỗi giáo viên cần
trang bị cho học sinh những phương pháp giải cơ bản, từ đó góp phần rèn kỹ
năng giải và phát triển tư duy toán học nói chung.
1

(x
0
,y
0
,z
0
, )
∈
D sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
, ) = A, thì A được gọi là giá trị lớn nhất
của hàm số F(x,y,z, ) trên D.
+ Kí hiệu: MaxF(x,y,z, ) = A. Ngược lại: Xét hàm số n biến (x,y,z, )
liên tục trên miền đóng D
⊂
R
n

+ Nếu F(x,y,z, )
≥
A
∀
(x,y,z, )
∈
D và A = const. Đồng thời
∃

,y
0
,z
0
, )
∈
D mà tại đó F(x
0
,y
0
,z
0
, ) = A
3.3. Phân loại các dạng cực trị cơ bản và cách giải:
3.3.1. Cực trị của hàm đa thức một biến :
Phương pháp :
+ Đưa về dạng : f(x) = k ± g
2
(x) với k = const
+ Nếu f(x) = k + g
2
(x) thì Minf(x) = k
⇔
g (x) = 0
+ Nếu f(x) = k - g
2
(x) thì Max f(x) = k
⇔
g(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + 1)

+ 3x + 2)
= - (x
2
+ 3x ) [ (x
2
+ 3x ) + 2] = -[ ( x
2
+ 3x)
2
+ 2( x
2
+ 3x ) ]
= -[ (x
2
+ 3x)
2
+ 2( x
2
+ 3x ) + 1 - 1 ] = -(x
2
+ 3x + 1)
2
+ 1

⇒
B
≤
1Vậy Max B = 1
⇔
x

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức:
A = x
2
+ xy + y
2
- 3x - 3y + 2002
Giải: A = x
2
+ xy + y
2
- 3x - 3y + 2002
= (x
2
-2x +1) + (y
2
- 2y +1 ) + xy - x - y + 1 + 1999
= (x -1 )
2
+ (y -1)
2
+ (x - 1) (y - 1) + 1999
=[ (x-1) +
2
1−y
]
2
+
4
3
(y - 1)

+ Max F
2
(MinF = Min F
1
+MinF
2
)
Trong đó F
1
, F
2
là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa
cùng biến thì cùng đạt Max (Min) tại một bộ giá trị xác định của biến (đối
với đa thức một biến ).
- Do không nắm vững kiến thức ở phần này hoặc hiểu chưa sâu sắc mà
khi sử dụng kiến thức trên học sinh rất rễ mắc sai lầm. Ta trở lại ví dụ 1:
Tìm Max A = (x + 1)
2
+ (x + 3)
2
; Học sinh rất rễ mắc sai lầm khi vội
vàng kết luận MaxA = 0; Vì : (x + 1)
2
≥
0 và (x + 3)
2

≥
0
Vậy, sai lầm ở đâu ? sai lầm ở chỗ nếu A = 0 thì x = -1, và x = -3 điều

+ 10t + 25) + 2 + (y- 1)
2
= (t + 5)
2
+ 2 + (y- 1)
2
⇒
P
≥
2
Vậy min P = 2
⇔




=−
=+
01
05
y
t
⇔




=−
=+−
01

của đa thức.
P =
B
A
; A = cosnt
⇒
P
Max

⇔
B
Min

⇒
P
Min

⇔
B
Max
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
42
1
2
−− xx
Giải: Miền xác định của P là : R
Ta có: B = 2x - x
2
- 4 = - (x
2

3.3.3.1. Trường hợp 2: A, B đều là hai đa thức chứa biến:
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
12
683
2
2
+−
+−
xx
xx
(x
≠
1)
Giải: Chia tử thức cho mẫu thức ta được
P = 3 -
1
2
−x
+
2
)1(
1
−x
; Đặt: y =
1
1
−x
⇒
P = 3 - 2y + y
2

2
++
++
xx
xx
=
54
1254
2
22
++
+++++
xx
xxxx
= 1 +
1)2(
)1(
2
2
++
+
x
x

Do (x +1)
2

≥
0
∀

và
VD
7
ta đã chia tử cho mẫu để từ đó có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc
đã biết (I) và (II).
Với phân thức đại số ngoài cách giải trên còn cách giải dùng miền giá trị
của hàm số, cách giải này chúng ta sẽ xét ở phần sau.
3.3.4. Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Để giải các bài toán thuộc dạng này thường người ta dùng hai cách sau:
Cách 1: Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối để chia khoảng cho bài toán.
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất H =
2002−x
+
2003−x
Giải: Nếu x < 2002 thì H = 2002 - x + 2003 - x = 4005 - 2x > 1.
+ Nếu 2002
≤
x
≤
2003 thì H = x- 2002 + 2003 - x = 1.
+ Nếu x >2003 thì H = x - 2002 + x - 2003 = 2x - 2005 > 1.
Vậy: Min H = 1
⇔
2002
≤
x
≤
2003
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
)(xf

≥

xx −+− 20032002
= 1.
⇒
Min H = 1
⇔
(x - 2002)(2003 - x)
≥
0
⇔
2002
≤
x
≤
2003.
Ngoài hai cách giải trên ta còn có thể dùng cách giải sau:
Giả sử: Max f(x) = A; Min f(x) = B với f(x) xác định trên khoảng (a,b)
+ Nếu f(x)
≥
0 thì:



==
==
BxMxfMin
AxMaxfxfMax
)inf()(
)()(

)inf()(
xMaxfxfMin
xMxfMax
Với ∀x
∈
(a , b)
Bài tập: Tìm Min (Max) (nếu có) của các biểu thức sau:
a) f(x) =
13
3
2
−+ xx
b) f(x) =
228
41162
2
2
+−
+−
xx
xx
c) f(x) =
653 +−++ xx
d) f(x) =
12
683
2
2
−−
+−

,y
0
) = a
Max
),( yxP
=
b
(b = cosnt, b
≥
0)
⇔
P(x,y)
≤
b
∀
(x,y)
∈
D và
∃
(x
0
,y
0
) : P(x
0
,y
0
) = b
3.3.5.2. Nếu P(x,y)
≥

2
1
≤
x
≤
2
Ví dụ 10: Tìm Min của P = -
1
1
++ xx
Hướng dẫn: + Tập xác định: x
≥
0
Ta nhận thấy
1
1
++ xx
có dạng (III) loại 1 và từ điều kiện x
≥
0
⇒
1
1
++ xx

≤
1
⇒
P
≥

93025
x
xx
−
+−
=
2
22
1
161625309
x
xxx
−
−++−
=
1616
1
)53(
2
2
≥+
−
−
x
x
(vì -1 < x < 1 nên 1 - x
2
> 0 ). Vậy: Min M = 4
⇔
x =

Để đảm bảo cho việc dạy và học có hiệu quả chuyên đề: “Các phương
pháp giải bài toán cực trị” tôi xin có một số kiến nghị với Phòng
GD&ĐT cùng Ban giám hiệu trường THCS như sau:
Cần quan tâm hơn đến việc đầu tư mua thêm các tài liệu tham khảo có
liên quan đến các chuyên đề cực trị để giáo viên có thêm tư liệu sử dụng khi
lên lớp.
Trong sáng kiến này, mặc dù đã có nhiều cố gắng, song sáng kiến chắc
chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến
đóng góp của các cấp lãnh đạo, bạn bè và đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
9
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT TÊN SÁCH TÁC GIẢ
1
Báo toán học và tuổi trẻ
Nhà xuất bản
giáo dục
2 Báo toán tuổi thơ
Nhà xuất bản
giáo dục
3 Nâng cao và phát triển toán 9
Vũ Hữa Bình,
2008
4 Bài tập nâng cao và phát triển toán 9
Bùi Văn Tuyên,
2007
5 700 bài toán chọn lọc cực trị Hà Văn
Chương, 1999
Sáng tạo bất đẳng thức