SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU
[
Người thực hiện : Nguyễn Văn Trào
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THPT Hoằng Hoá 4
SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Vật Lý
THANH HÓA NĂM 2013
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi thường có
các câu hỏi tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều
như: công suất, cường độ dòng điện, hiệu điện thế khi có sự biến thiên của
các phần tử trong mạch như: R, L, C hoặc tần số góc
ω
. Gặp những bài
toán này học sinh thường lúng túng trong việc tìm cho mình một phương
pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất. Do đó mất thời gian và làm ảnh hưởng
đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao.
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương
pháp cơ bản để giải các bài toán dạng này. Trong đề tài này tôi muốn giới
thiệu một số dạng bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều và phương
pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều phương pháp để giải và lựa
chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính xác và đạt hiệu
quả cao nhất.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Qua tìm hiểu các đề thi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về mạch
điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, tôi thấy có một số dạng bài toán cực trị
thường gặp và có các phương pháp giải như sau:

max
=
CL
ZZ
U
−
1.2. Tìm R để P
max
=?
Lập biểu thức công suất của mạch: P = I
2
R =
)1(
)(

22
2
2
2
cL
ZZR
RU
Z
RU
−+
=
- Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được:
P' = U
2


C
/ khảo
sát biến thiên của P theo R.
R 0
/Z
L
- Z
C
/
+∞
P' + 0 -
P
0
Pmax
0
Ta thấy khi R =
/Z
L
- Z
C
/ thì P = Pmax => Pmax =
R
U
ZZ
U
CL
22
22
=
−

ZZ
CL
2
)( −
≥ 2/Z
L
- Z
C
/. Dấu "=" xảy ra khi: R = /Z
L
- Z
C
/
Vậy với R = /Z
L
- Z
C
/ thì: Pmax =
R
U
ZZ
U
CL
22
22
=
−
.
Nhận xét : Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất
đẳng thức côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương

=
−+
=> U
Rmax
khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R
-> ∞ và U
Rmax
= U.
b.Tìm R để U
Lmax
= ?
Lập biểu thức tính U
L
ta có: U
L
= I.Z
L
=
2 2
.
( )
L
L C
U Z
R Z Z+ −
=> U
Lmax
khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R
= 0 và
U

U
Cmax
=
.
| |
C
L C
U Z
Z Z−
Nhận xét: Do
U
Rmax
= U nên không xãy ra trường hợp U
R
> U, còn
U
Lmax
và
U
Cmax
có thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý.
1.4. Tìm R để U
RL
, U
RC
, U
LC
đạt cực đại:
a. Tìm R để U
RL

L
CLC
Z
ZZZ
U
+
−
+

4
Để U
RLmax
thì mẫu số nhỏ nhất. Ta thấy để mẫu số nhỏ nhất khi R -> ∞ khi đó
U
RLmax
= U.
b. Tìm R để U
RC
đạt cực đại:
Ta có U
RC
= I.Z
RC
=
2 2
2 2
R
.
( )
C

Ta có U
LC
=

I.Z
LC
=
22
2
L
)(
)(Z
CL
C
ZZR
ZU
−+
−
; U
Lcmax
khi R -> 0 => U
LCmax
= U.
Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ:
A R L C B
Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện u
AB
= 100
2
cos 100

22222
)(
22
2
)100(
2.100)100(100
'
100
.100
+
−+
==>
+ R
RR
P
R
R
R
=> P' = 0 => 100
2
(100
2
- R
2
) = 0 => R = 100(Ω).
Ta thấy khi R = 100(Ω) thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm.
Do đó Pmax khi R = 100(Ω) và P
max
=
2

=> P
max
= 100
2
/1.200 = 50 (W).
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ:
A R R
0,
L C B
U
AB
= 100
2
cos 100
∏
t (v) cuộn dây có độ tự cảm L =
∏
4.1
(H) và điện trở
trong R
0
= 30 (Ω), tụ điện có điện dung C =
∏
−4
10
(F)
a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
Bài giải:
*Phương pháp dùng BĐT Côsi:

2
)(
)(
=
+
−
++
Do U = Const nên P
max
khi Amin theo bất
đẳng thức côsi ta có: A = (R + R
0
) +
0
2
)(
RR
ZZ
CL
+
−
≥ 2 / Z
L
- Z
C
/
=> Amin = 2 / Z
L
- Z
C

R
tđ
= R + R
0
= / Z
L
- Z
C
/ => R= / Z
L
- Z
C
/- R
0
. Nếu R
0
> / Z
L
- Z
C
/

6
thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên
mạch đạt cực đại :
Pmax =
2
0
2 2
0

=
0
2
0
22
0
2
2
2
)(
RA
U
R
R
ZZR
R
U
CL
+
=
+






−+
+
Do U, R

=> P
Rmax
=
2 2 2 2
0 0
100 100
62,5(W)
min 2 2( ) 2(50 30) 160
U U
A R R R
= = = =
+ + +
DẠNG 2:
BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công
suất trong m
ạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại
lượng U, R, C,
ω

không đổi. (mạch điện như hình vẽ)
A R L C B
2.1. Tìm L để
Imax
, P
max
= ?
a. Theo định luật ôm ta có: I =
22
)(

R. Do R không đổi nên Pmax khi Imax theo trên L =
C
2
1
ϖ

7
=> Pmax =
2
max
I
R=
R
U
R
R
U
2
2
2
. =
2.2. Tìm L để U
Lmax
;U
Rmax;
U
cmax
=?
a. Tìm L để U
Rmax

*Phương pháp dùng đạo hàm:
Ta có: U
L
= I.Z
L
=
.
L
U
Z
Z

=
22
)(
.
CL
L
ZZR
ZU
−+
= U. f (Z
L)
(1)
Với f (Z
L
) =
22
)(
CL

Z
ZR
22
+
và đổi dấu từ dương sang âm.
=> fmax =
R
ZR
Z
Z
ZR
R
Z
ZR
C
C
C
C
C
C
22
2
22
2
22
+
=




Sin
U
L
L
=⇒=
Ta thấy Sin α =
22
RC
R
U
C
ZR
R
U
+
=
do R, C không đổi nên sin
α
không đổi.
Mặt khác do U không đổi nên U
L
cực đại khi sinβ = 1 = > β = Π/2.=>
RC
U
uuuur
và
U
ur
vuông pha với nhau.
=> U

U
RC
I
β
ϕ
ϕ
α
=>
=
β
Sin
U
L
2
C
U
RC
U
mà Sin β = 1 => U
L
=
2
C
U
RC
U
=> Z
L
=
2

2
)(
Z
R
L
CL
Z
ZZ
U
−
+
U
L
=
)(
1
2
Z
R
2
L
22
L
L
CC
Zf
U
Z
ZZ
U

C
) X
2
- 2Z
C
X + 1. Ta thấy: f(x) là tam thức
bậc 2 có a = (R
2
+ Z
2
C
) > 0 => f(x) min khi X = -
=
a
b
2
LC
C
ZZR
Z
1
22
=
+
=> Z
L
=
C
C
Z

= I.Z
C
=
2 2
.
( )
C
L C
U Z
R Z Z+ −
ta thấy U
Cmax
khi
Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1
ϖ
=>
ax
.
C
Cm
U Z
U
R

−
+
=
)(1
ZR
2
1
2
L
2
2
L
CLC
Zf
U
ZZZ
U
+
=
+
−
+
Trong đó: f(Z
L
) =
2
L
2
2
ZR

- Z
L
Z
C
- R
2
= 0 ta có ∆ = Z
2
C
+ 4R
2
> 0

9
=> Z
L1
=
2
4
22
RZZ
CC
++
(loại nghiệm âm) f' (Z
L
) triệt tiêu và đổi dấu từ âm
sang dương nên f (Z
L1
) min khi Z
L1

U R Z
R Z Z
+
−
b. Tìm L để U
RCmax
= ?
Ta có : U
RC
=
2 2
2 2
.
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
=> U
RCmax
khi Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1

ZZU
−
+
=
−
−
U
LCmax
khi Z
L
-> ∞ => L -∞ => U
LCmax
= U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100
∏
t (V)
A R C L B
Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi; R
V
= ∞; R = 50 (Ω); C =
∏
−4
10
(F)
a. Khi L = L
1

max
khi Z
L1
= Z
C
= 100(Ω) => Z
L1
= 100(Ω) => L
1
=
∏
1
(H)

10
V
=> P
max
=
50
100.2
50
)2100(
222
==
R
U
= 400(w)
b. Ta có U
V

U
=
+−+
f(Z
L
) = f(x) = (R
2
+ R
2
C
) x
2
- 2Z
C
.x + 1 .
Ta có : a = R
2

+ Z
2
C
> 0 => f(x) min khi x =
a
b
2
−
=>
)(
25,1
)(125

=> U
Vmax
=
2 2
100. 2.125 100. 2.125
100 10 ( )
25. 5
50 (125 100)
V+ =
+ −
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100
∏
t (v)
A M N B
L R C
Cuộng dây thuần cảm có L thay đổi ; R = 24 (Ω); C =
)(
2
10
3
F
∏
−
a. Tìm L = L
1
để U

AN
=
)(1
2
1
22
2
L
L
CLL
Zf
U
ZR
ZZZ
U
+
=
+
−
+
=> U
ANmax
khi f
min
. Theo mục (d)
=> f(Z
L
) min khi Z
L1
=

ZR
ZZZ
=> U
ANmax
=
120 1872
120 120 2,25 180( )
832
1 ( ) min 1040
1
1872
L
U
V
f Z
= = = =
+
−
Hoặc U
ANmax
= U
RLmax
=
2 2
2 2
1
2 2 2 2
1
.
120. 24 36

CL
C
ZZR
ZRU
−+
+
U
MBmax
khi Z
min
=> Z
L2
= Z
C
= 20(Ω) => L
2
=
)(
2,0
H
∏
=> U
MBmax
=
2
2
2
2
24
20

=
=> I
max
=
R
U
Khi Z
L
= Z
C
= > C =
L
2
0
1
ϖ

=>

trong mạch xảy ra cộng hưởng điện.
b. Tìm C để P
max
=?
Ta có công suất tiêu thụ P = I
2
.R => P
max
= I
2
max

R Z Z+ −
ta thấy U
Rmax
khi

12
Z
L
= Z
C
=> C =
2
1
L
ϖ
=> U
Rmax
= U.
b. Tìm C để U
Lmax
= ?
Lập biểu thức tính U
L
ta có: U
L
= I.Z
L
=
2 2
.

*Phương pháp dùng đạo hàm.
Ta có U
C
= I.Z
C
=
22
)(
cL
C
ZZR
UZ
−+
= U. f (c); Đặt f(Zc) =
22
)(
cL
C
ZZR
Z
−+
f'(Zc) =
[ ] [ ]
22
/3
22
22
/3
22
22

ZR
L
22
+
=> U
Cmax
= U. f(Z
Cmax
)
U
Cmax
= U .
R
ZR
L
22
+
khi Zc =
L
L
Z
ZR
22
+
* Phương pháp hình học:
Vẽ giản đồ véc tơ:
Theo định lý hàm số sin ta có:
α
β
αβ

22
. +
Mặt khác ta có:
=
β
Sin
U
C
γ
Sin
RL
U
; sinγ =
RL
L
U
U
=> U
C
=
2
.
RL
L
U Sin
U
β
mà Sin β = 1 => U
C
=

I
α
U
C
β
γ
* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:
Ta có : U
C
= I.Z
C
=
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZU
−+
=
1
Z2
Z
ZR
2
L
2
C
2

Z
1
=> f(x) = (R
2
+ Z
2
L
) X
2
- 2Z
L
X + 1 Ta có: a = R
2
+ Z
2
L
> 0
=> f(x) min khi X = -
a
b
2
=>
22
1
RZ
Z
Z
L
L
C


=> U
Cmax
=
R
ZRU
L
22
+
3.3. Tìm C để U
RCmax
; U
RLmax
; U
LCmax
=?
a. Tìm C để U
RLmax
= ?
Ta có : U
RL
= I.Z
RL
=
2 2
2 2
.
( )
L
L C

RC
=
22
22
)(
CL
C
ZZR
ZRU
−+
+
=
)(1
ZR
2
1
C
2
2
C
CLL
Zf
U
ZZZ
U
+
=
+
−
+

−−+−
CLLCL
ZZZZRZ
f'(Z
C
) =
22
C
2
22
22
C
2
22
)ZR(
)(2
)ZR(
422
+
−−−
=
+
+−−− RZZZZZZZZZZRZ
CLCLCLCLCLL
f'(Z
C
) = 0 =>

Z
2

RCmax
=
min)(1
C
Zf
U
+
với f (Z
C
) theo (1)
Hoặc U
RCmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
c. Tìm C để U
LCmax
:
Ta có U
LC
= I. Z

R
−
-> 0 => Z
C
-> ∞ => C -> 0 .Vậy khi C -> 0 Khi đó U
LCmax
= U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện R, L, C mắc nối tiếp như hình vẽ. C thay đổi
A R L C B
Có : u=120
2
sin 100
∏
t(V); R =240(Ω) cuộn dây thuần cảm có L=
∏
2,3
(H)
a. Tìm C để I, P cực đại. Tính I
max
, P
max
= ?
b. Tìm C để U
Cmax
. Tính U
Cmax
?
Bài giải:
a. *Ta có: I =
Z

* Công suất tiêu thụ: P = I
2
. R => P
max
= I
2
max
.R = 0,5
2
. 240 = 60 (W)
Kết luận: Vậy C =
)(10.
2,3
1
4
F
−
∏
thì I
max
= 0,5(A); P
max
= 60(W)
b. Ta có : U
C
= I.Z
C
=
22
)(

+
= 320 + 180 = 500(Ω)
=> C =
4
10.
5
1
−
π
(F) khi đó U
Cmax
= 200(V).
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ
Trong đó U
AB
= 60
2
sin 100
∏
t (V), Tụ điện có điện dung C thay đổi
A R C L B
Điện trở R = 10
)(3 Ω
; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =
)(
5
1
H
∏
a. Tìm C để U

C
Zf
U
+
Khi Z
C1
=
2
4
22
RZZ
LL
++

)(30
2
4020
2
10.3.42020
22
Ω=
+
=
++
=
=> f(Z
C
) min =
22
2

. 3 60 3 ( )
2
1
3
U
U V= =
−

hoặc U
RCmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
=
2 2
2 2
60 3.10 30
60 3( )
3.10 (20 30)
V
+

* Ta có: U
RLmax
=
22
222
)(
)(.
CL
L
ZZR
ZRU
−+
+
; U
RLmax
=
22
L
ZR
R
U
+
Khi Z
C
= Z
L
= 20(Ω) => C =
20.100
1
.

1. Tìm
ω
để I
max
=? I
min
= ? Pmax =?P
min
=?
a. Tìm
ω
để I
max
=? I
min
= ?
* Ta có I =
2
2
.
1
R









b.Tìm
ω
để Pmax =?P
min
=?
* Công suất tiêu thụ P = I
2
.R => Pmax = I
2
max.R =
LC
khi
R
U 1
2
=
ω
* Pmin = 0 khi Imin = 0 =>



∞>−
>−
ω
ω
0
2. Tìm
ω
để U
Rmax

ω
ω
0
/
1
C

17
* U
Rmax
=> (Z
L
- Z
C
)
2
= 0 => Z
L
- Z
C
=> ω
0
=
LC
1
=> U
Rmax
= U
3. Tìm
ω

CL
Z
C
L
ZR
U
+−+
=
2 2
2 2 2
2 2
1
.
2 1
U
L
C
L R
C C
ω
ω
ω
 
− −
 ÷
 
U
C
=
1.)2(.

2
C
2
> 0
=> f(ω) min khi ω
2
=
a
b
2
−
=
22
22
2
2
CL
CRLC −
=> ω
1
=
C
CRL
L 2
21
2
−

ω =
2

L
=
22
)(
Z.
CL
L
ZZR
U
−+
=
222
2
Z.
LC
L
Z
C
L
ZR
U
+−+
* U
Lmin
= 0 khi Z
L
= 0 => ω = 0
* U
L
=




−−
ωω
L
R
LCCL
U
=
)(
ω
f
U
;
U
Lmax
khi f (ω) min. Ta có f
(
ω
)
=
1
12
.
1
22
2
422
+









−
22
2
2
1
.2
2
CL
L
R
LC
=>
2
1
ω
=
22
.
2
2222
2
2

C
L
>
=> U
Lmax
=
min)(
ω
f
U
với f(ω) min xác định theo (1)
Nhận xét: Ta thấy khi
ω
thay đổi nếu U
Rmax
khi
ω
=
ω
0
;U
Lmax
khi
ω
=
ω
1
U
Cmax
khi

max
, P
max
= ?
b. Xác định ω để U
Rmax
, U
Lmax
, U
Cmax
= ?
Bài giải:
a. I =
Z
U
=
22
)(
CL
ZZR
U
−+
để I
max
=> Z
L
= Z
C
=> ω
0

= 1,5 . 100 = 150 (W).
b. * U
Rmax
= U =
650
2
3.100
=
(v) khi Z
L
= Z
C
=> ω
0
=
π
100
1
=
LC
(rad/s)
* U
C
=
22
)(
.
CL
C
ZZR

==−
−
(rad/s)
Khi đó: Z
C1
=
)(2100
2
200
250
10
4
Ω==
; Z
L1
= ω
1
L = 50.
)(2.50.2 Ω=
π
=> U
Cmax
=
2100
2
200
650
3200.50
2.50100
2100.650

.2
2
2
2
πππ
−−
−
=
− CRLC
100 2.
π
=
(rad/s)
Ta có Z
C2 =
);(250
10
2100
11
4
2
Ω==
π
π
ω
C

Z
L2
= ω

Định hướng
lập mối
tương quan
Áp dụng
định luật ôm
lập biểu thức
Khảo sát
sự phụ thuộc
Nhận xét và
lựa chọn kết
quả
2. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của hiệu điện thế
theo các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:
Phân tích
bài toán
xác định mối
tương quan
Dùng định luật
ôm để lập
biểu thức
Lựa chọn
phương pháp:
đạo, hàm, hình
học, côsin, tam
thức
Nhận xét và
lựa chọn kết
quả đúng
3. Phương pháp chung để giải bài tập xét cực trị của công suất và hệ số công
suất theo các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:

nên tôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót. Tôi rất mong
được sự nhận xét và góp ý chân thành của các đồng chí đồng nghiệp và các
em học sinh để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Nguyễn Văn Trào
MỤC LỤC
Trang
I. Đặt vấn đề 1
II. Giải quyết vấn đề
- Dạng 1: Bài toán biện luận theo R 2
- Dạng 2: Bài toán biện luận theo L 6
- Dạng 3: Bài toán biện luận theo C 11
- Dạng 4: Bài toán biện luận theo
ω
16
III.Kết luận và đề xuất 20
PHỤ LỤC

21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. 200 bài toán điện xoay chiều (Vũ Thanh Khiết).
2. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THPT tập 3 (Vũ Thanh Khiết).
3. Giải toán Vật lý 12 tập 2 (Bùi Quang Hân).
4. Một số phương pháp giải các bài toán vật lý sơ cấp (Vũ Thanh Khiết).
5. Phương pháp giải toán điện xoay chiều (Trịnh Quốc Thông).