1

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những
quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên
cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những định luật vận động của vật chất.
Các kiến thức Vật lí được áp dụng nhiều trong khoa học công nghệ và đời sống.
Trong đó vật lí đại cương là kiến thức cơ bản và phổ thông nhất. Nó bao gồm
nhiều phần khác nhau: Cơ, nhiệt, điện, quang, vật lí hạt nhân,…
Bài tập vật lí được hiểu là một vấn đề đặt ra đòi hỏi phải giải quyết nhờ
những suy lí lôgic, những phép toán và thí nghiệm dựa trên cơ sở các định luật
và các phương pháp Vật lí. Trong chương trình Vật lí trung học phổ thông
(THPT), bài tập vật lí có tầm quan trọng đặc biệt. Chúng được sử dụng theo
những mục đích khác nhau như: là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới; phương
tiện rèn luyện cho học sinh (HS) khả năng vận dụng kiến thức, liên hệ lí thuyết
với thực tế, học tập với đời sống; phương tiện ôn tập, củng cố kiến thức đã học
một cách sinh động và có hiệu quả;… Quá trình giải một bài toán vật lí thực chất
là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lí được đề
cập và dựa trên kiến thức vật lí, toán để nghĩ tới những mối liên hệ có thể có của
cái đã cho và cái phải tìm, sao cho có thể thấy được cái phải tìm có liên hệ trực
tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho. Từ đó đi tới việc chỉ rõ mối liên hệ tường
minh trực tiếp của cái phải tìm với cái đã biết.
Bài tập trong chương trình Vật lí THPT rất đa dạng và phong phú trong đó
các dạng bài tập về cực trị cũng khá phổ biến. Các dạng bài tập này thường tập
trung nhiều vào phần Cơ học và Điện học. Mỗi dạng bài toán đều có cách giải
nhất định. Song, để chọn cách giải phù hợp là điều còn khó khăn đối với nhiều
học sinh và một số giáo viên trẻ. Trên thực tế cũng chưa có nhiều tài liệu viết về
vấn đề này có tính hệ thống và đầy đủ.
2


không có nhiều thời gian để giải, do vậy việc cung cấp cho học sinh một hệ
thống các bài toán cực trị cũng cách thức giải chung những dạng bài này kèm
theo đó là những ví dụ minh họa là điều cần thiết giúp cho HS có thể rèn luyện
thêm về kĩ năng giải toán Vật lí.
Xuất phát từ thực tiễn nêu trên, và với mong muốn cung cấp cho HS cũng
như sinh viên sư phạm cách nhận diện và đưa ra cách giải bài toán cực trị trong
Vật lí một cách nhanh chóng và hiệu quả chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân loại
và phương pháp giải bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT".
3. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
3.1. Mục tiêu của đề tài
Phân loại và đưa ra phương pháp giải các bài toán cực trị trong chương
trình Vật lí THPT.
3.2. Nhiệm vụ của đề tài
- Tìm hiểu các kiến thức toán học bổ trợ cho việc giải các bài toán cực trị;
- Hệ thống hóa các kiến thức vật lí có liên quan tới bài toán cực trị;
- Phân loại các dạng bài toán cực trị theo các lĩnh vực Vật lí;
- Đưa ra phương pháp giải chung cho các dạng bài cực trị;
- Giải một số ví dụ mẫu và cung cấp một số bài tập tương tự trong từng
dạng.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu: Các dạng bài tập Vật lí THPT và phương pháp
giải tương ứng.
4.2. Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập cực trị trong Vật lí THPT.
5. Nội dung nghiên cứu
- Nội dung 1: Tìm hiểu những kiến thức toán học về cực trị và kiến thức
Vật lí THPT có liên quan tới bài toán cực trị.
4

- Nội dung 2: Phân loại các dạng bài tập cực trị theo các lĩnh vực Vật lí rồi
đưa ra phương pháp giải chung.

Trong Vật lí học, bài toán cực trị cũng được sử dụng khá phổ biến như:
tìm cực đại trong chuyển động ném xiên hay tìm hiệu điện thế cực đại trong bài
toán dòng điện xoay chiều, …
Để giải các bài toán cực trị trong vật lí học nói chung người ta thường sử
dụng các kiến thức có sẵn có trong toán học như: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng
thức Bunhiacopxki, các định lí về hàm số lượng giác trong tam giác,…
1.2. Một số kiến thức về tìm cực trị trong toán học
1.2.1. Tìm cực trị dựa vào tính chất của phân thức đại số
Xét một phân số P có dạng:

, với A là hằng số dương, (phụ
thuộc vào một biến số nào đó). Khi đó:
- Phân số P đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số B là nhỏ nhất.
- Phân số P đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu số B là lớn nhất.
Tính chất của phân thức đại số có nhiều ứng dụng trong giải bài toán công
suất trong dòng điện xoay chiều.
1.2.2. Tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức cho ta biết: trung bình cộng của n số thực không âm luôn
lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung
bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
+ Áp dụng cho 2 số dương a, b ta có:
6

Dấu “=” xảy ra khi a = b
+ Áp dụng cho n số hạng :

;
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1.1.4. Tìm cực trị bằng công thức tam thức bậc hai
Giả sử có tam thức bậc hai sau :
( a )
Tam thức bậc hai có đồ thị là một parabol với đặc điểm :
+ Nếu a > 0 thì
tại

, bề lõm quay lên trên.
+ Nếu a < 0 thì tại , bề lõm quay
xuống dưới.
+ Tọa độ đỉnh A( ,

).
Các công thức về tam thức bậc hai thường được áp dụng trong giải các bài
tập về chuyển động cơ học và bài tập điện xoay chiều.
1.2.5. Tìm cực trị của các hàm số lượng giác
a) Định lí hàm số sin và cos trong tam giác
7

Cho tam giác ABC với các góc ở đỉnh là , , và các cạnh ứng với các
góc là a, b, c . Ta có :
- Định lí hàm số sin trong tam giác :
.
Suy ra:

khi và chỉ khi : f"(x
0
) > 0 .
1.3. Một số kiến thức Vật lí THPT có liên quan khi giải bài tập cực trị
Trong chương trình Vật lí THPT các bài tập cực trị thường tập trung ở
phần Cơ học, Dao động cơ học, Quang hình học, Điện và từ (nhất là phần Điện
xoay chiều).
1.3.1. Kiến thức phần Cơ học
Trong phần Cơ học, khi giải các bài toán cực trị thường phải sử dụng các
kiến thức về các định luật Niu - tơn, định luật bảo toàn cơ năng, định luật bảo
toàn động lượng, định lí động năng, …
a. Ba định luật Niu - tơn
8

- Định luật 1 Niu - tơn: Một vật sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều
nếu không chịu một lực nào tác dụng hoặc nếu các lực tác dụng vào nó cân
bằng nhau.
- Định luật 2 Niu - tơn:
+ Nội dung: Gia tốc của một vật tỉ lệ thuận với lực tác dụng vào vật và tỉ
lệ nghịch với khối lượng của vật.
+ Biểu thức: (1.1)
- Định luật 3 Niu - tơn:
+ Nội dung: Hai vật tương tác nhau với những lực bằng nhau về độ lớn,
cùng giá nhưng ngược chiều.
+ Biểu thức:
(1.2)
b. Định luật bảo toàn cơ năng
+ Nội dung: Cơ năng của một vật chỉ chịu tác dụng của những lực thế
luôn được bảo toàn.
+ Biểu thức :

cứng của lò xo, x
1
và x
2
là li độ của vật tại vị trí A và B.
c. Định lí động năng
+ Nội dung định lí: Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của
ngoại lực tác dụng lên vật
9

+ Biểu thức: W
đ
= - = A (1.6)
Trong đó A là công của ngoại lực tác dụng lên vật.
d. Định luật bảo toàn động lượng
+ Nội dung định luật: Vectơ tổng động lượng của hệ kín được bảo toàn.
+ Biểu thức :
(1.7)
Trong đó
là tổng động lượng của hệ.
1.3.2. Kiến thức phần Điện học
a. Định luật bảo toàn điện tích
+ Nội dung: Ở một hệ vật cô lập về điện (nghĩa là hệ không trao đổi điện
tích với các hệ khác) thì tổng đại số các điện tích trong hệ là một hằng số.
b. Định luật Cu-lông
+ Nội dung : Độ lớn của lực tương tác giữa hai điện tích điểm tỉ lệ thuận
với tích các độ lớn của hai điện tích đó và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng
cách giữa chúng. Phương của lực tương tác giữa hai điện tích điểm là đường
thẳng nối hai điện tích điểm đó. Hai điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, hai điện
tích trái dấu thì hút nhau.

,
3
, là lực tương tác của của các điện tích điểm q
1,
q
2,
q
3
, lên
điện tích q được xác định theo công thức định luật Cu-lông.
d. Điện trường
10

+ Khái niệm: Điện trường là một dạng vật chất bao quanh điện tích trong
không gian.
- Vectơ cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng vectơ có trị
số bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích đặt tại điểm đó.
+ Biểu thức :

(1.10)
- Nếu hạt mang điện được đặt trong điện trường có cường độ điện trường
E

thì
hạt mang điện chịu tác dụng của lực :
= q (1.11)
• Nếu q > 0 thì
cùng chiều với
.
• Nếu q < 0 thì ngược chiều với

(1.17)
-Điện áp hiệu dụng :

(1.18)
-Độ lệch pha của
so với :

(1.19)
-Hệ số công suất:
= (1.20)
-Điều kiện cộng hưởng :

hay
(1.21)

Khi đó U
AB
cùng pha với i ; ; U
R
cùng pha với U
AB
; U
R
= U
AB
;

; (1.22)
+Công suất hao phí của đường dây tải điện trở
là:

(1.28)

(1.29)
Hay :

Suy ra:
(1.30)
1.3.4. Kiến thức phần Dao động cơ học
+ Định nghĩa: Dao động điều hòa là dao động được mô tả bằng một định
luật dạng sin (hoặc cosin) theo thời gian.
+ Phương trình của dao động điều hòa:

x Asin( t )
= ω + ϕ
(1.31)
Trong đ
ó: A, ω, ϕ là các h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng

Hình 1.1

13

x: li
độ

độ

max
x A
=
)
(ωt + ϕ): pha dao
độ
ng
ở
th
ờ
i
đ
i
ể
m t (rad)
ϕ: pha ban
đầ
u (t = 0) (rad)
- Chu kì dao
độ
ng T: kho
ả
ng th
ờ
i gian
để
v
ậ

độ
ng v
ậ
t th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c trong 1 giây.
Đơ
n
v
ị
: Hertz (Hz).
1
f
T 2
ω
= =
π
(1.33)
- Ph
ươ
ng trình v
ậ
n t
ố
c:


t
ở
2 VT biên (
x A
= ±
):
min
v 0
=
(1.36)
- Ph
ươ
ng trình v
ậ
n t
ố
c:

2 2
a v' x" Asin( t ) x
= = = −ω ω + φ = −ω
(1.37)
+ Gia t
ố
c c
ự
c
đạ
i khi v
ậ


2 2 2 2
v (A x )
= ω −
(1.40) 14

CHƯƠNG 2. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG
ỨNG
2.1. Dạng bài toán cực trị trong Cơ học
2.1.1. Tìm độ cao cực đại, cực tiểu của vật bị ném xiên
a. Bài toán tổng quát
Ném m
ộ
t v
ậ
t t
ừ
m
ặ
t
đấ
t v
ớ
i v
ậ
n t

t
c) Tính th
ờ
i gian k
ể
t
ừ
lúc v
ậ
t ném
đế
n khi ch
ạ
m
đấ
t
d) Xác
đị
nh t
ầ
m xa c
ủ
a v
ậ
t
e) Tính
độ
cao c
ự
c

i v
ị
trí ném v
ậ
t g
ố
c th
ờ
i gian t = 0 t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m ném v
ậ
t .

V
ớ
i x
0
= y
0
= 0

đạ
o )

15

T
ừ
(1)
⇒
thay vào (2)

⇒⇒

c)

Tính th
ờ
i gian k
ể
t
ừ
lúc v
ậ
t ném
đế
n lúc ch
ạ

⇒

α
= 45
0

e)

Xác
đị
nh
độ
cao c
ự
c
đạ
i mà v
ậ
t
đạ
t
đượ
c:
* Cách 1:
Dùng
đạ
o hàm H
max
khi v
ậ

ế
n t, nên:

2 2
o
max max
v sin
H y
4a 2g
∆ α
= = − =
b. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1
:
16

V
ậ
t nh
ỏ
m
đượ
c truy
ề
n v
ậ
n t
ố
c
ban

i
xu
ố
ng t
ạ
i D. B
ỏ
qua ma sát và s
ứ
c c
ả
n
c
ủ
a không khí.
a) Tính v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a m t
ạ
i C
b) Tính
độ
cao c
ự
c
đạ

ă
ng tr
ọ
ng tr
ườ
ng
ở
B
W
B
= W
C
⇔

mv
0
2
= mv
c
2
+ mg(R-Rcos )
⇔

v
c
=
⇔
v
c
=

ớ
i ph
ươ
ng ngang góc

b)Tính
độ
cao và t
ầ
m xa trong chuy
ể
n
độ
ng ném xiên:
Ph
ươ
ng trình chuy
ể
n
độ
ng : h
max
= y
max
khi và ch
ỉ
khi

. thay vào (**) ta có :

⇔
(m).
Ví dụ 2
:
M
ộ
t qu
ả
c
ầ
u
đượ
c ném th
ẳ
ng
đứ
ng t
ừ
m
ặ
t
đấ
t lên v
ớ
i v
ậ
n t
ố

a qu
ả
c
ầ
u theo th
ờ
i gian.
b) Xác
đị
nh v
ị
trí và v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a qu
ả
c
ầ
u sau khi ném 2 s.
c) Qu
ả
c
ầ
u s
ẽ

đạ

u
ở
cách m
ặ
t
đấ
t 8,8 m. Khi này, v
ậ
n t
ố
c
c
ủ
a qu
ả
c
ầ
u lay bao nhiêu ?
Bài giải

Ch
ọ
n g
ố
c t
ọ
a
độ
O
ở

ng :

th
ẳ
ng
đứ
ng, h
ướ
ng xu
ố
ng.
a)

Gia t
ố
c : a = - g = -10 m/s
2

18

V
ậ
n t
ố
c : v = - gt + v
0
= -10t + 15 m/s
T
ọ
a

ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 5 m/s.
c)

Ta có h
ệ
th
ứ
c : v
2
– v
0
2
= -2gy
Khi qu
ả
c
ầ
u
đạ
t
độ
cao t
ố
i

Lo
ạ
i nghi
ệ
m t = 0 , ta suy ra : t = 3s
e)

Khi y = 8,8 m
Ta có : y = -5t
2
+ 15t = 8,8
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình, ta
đượ
c 2 nghi
ệ
m : t
1
= 0,8 s ; t
2
= 2,2 s
lúc t = t
1
= 0,8s : v
1
= -10t
1

ng .
Ví dụ 3 ( số 93 tháng 5 năm 2011)
M
ộ
t qu
ả
c
ầ
u nh
ỏ
r
ơ
i t
ự
do t
ừ

đ
i
ể
m A
đế
n m
ộ
t t
ấ
m
ch
ắ
n

ố
ng m
ặ
t
đấ
t t
ạ
i
đ
i
ể
m
C n
ằ
m cách
đườ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng
AB( AB = H ) m
ộ
t
đ
o
ạ
n s. h
ỏ
i ph

đạ
i? khi
đ
ó s b
ằ
ng bao nhiêu? B
ỏ
qua s
ứ
c c
ả
n không khí.

19

Bài giải:
Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng, ta xác
đị

ậ
n t
ố
c không
đổ
i v
ề

độ
l
ớ
n, nh
ư
ng h
ướ
ng c
ủ
a
nó thay
đổ
i. Theo ph
ươ
ng ngang qu
ả
c
ầ
u bay
đượ
c m
ộ

ng
đứ
ng h = . Khi
đ
ó :
S = = 2 h + (H – h) = H = h
ằ
ng s
ố

V
ậ
y s
max
= H khi h = H – h , t
ừ

đ
ó suy ra h = .
c) Bài tập tương tự

Bài tập 1 :

T
ừ
cao 5 m, m
ộ
t v
ậ
t n

ng
đứ
ng h
ướ
ng lên
trên
a, Vi
ế
t ph
ươ
ng trình chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t.
b, Tính v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t khi ch
ạ
m

t
ố
c ban
đầ
u t
ố
i thi
ể
u (v
0min
) b
ằ
ng bao nhiêu
để
nó
đạ
t
đượ
c t
ớ
i
độ
cao h ?
Th
ờ
i gian t
để
hòn
đ
á lên t

v
ị
trí mà dây h
ợ
p v
ớ
i ph
ươ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng m
ộ
t góc α
o
. Tìm v
ậ
n t
ố
c c
ự
c
đạ
i và l
ự
c c
ă
ng c
ự

ượ
ng c
ủ
a s
ợ
i dây.
Phương pháp giải
- Tìm v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a con l
ắ
c:
+ Ta th
ấ
y khó gi
ả
i bài toán b
ằ
ng
đị
nh lu
ậ
t II
Newton vì h
ợ
p l

ể
áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o
toàn c
ơ
n
ă
ng vì trong tr
ườ
ng h
ợ
p này, ch
ỉ
có tr
ọ
ng
l
ự
c sinh công, còn l
ự
c c
ă
ng c

cao c
ủ
a v
ậ
t. Ban
đầ
u, v
ậ
t A có
độ
cao so
v
ớ
i C là HC = h =
l
(1 - cosα
o
),
+ Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă

m B b
ấ
t kì:
(
)
o
v 2gl cos cos
= α − α

Để
tìm v
ậ
n t
ố
c c
ự
c
đạ
i d
ự
a vào hàm s
ố
l
ượ
ng giác cosα, v
max
khi cosα = 1, hay
α = 0
o
(t

c g
ồ
m tr
ọ
ng l
ự
c
P

, l
ự
c c
ă
ng
T

:
+ Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t II Niu-t
ơ
n:

P T ma
+ =
 

ng h
ướ
ng vào tâm quay:

(
)
ht o
T ma Pcos mg 3cos 2cos
= + α = α − α

Để
tìm l
ự
c c
ă
ng c
ự
c
đạ
i d
ự
a vào hàm s
ố
l
ượ
ng giác cos
α
, T
max
khi cos

ầ
u nh
ỏ
kh
ố
i l
ượ
ng 50 g treo vào m
ộ
t
đầ
u dây
m
ả
nh dài 1 m. l
ấ
y g = 9,8
m/s
2
. Kéo con l
ắ
c ra kh
ỏ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng m
ộ
t góc

ể
u th
ứ
c tính v
ậ
n t
ố
c và l
ự
c c
ă
ng dây khi dây treo h
ợ
p v
ớ
i
ph
ươ
ng th
ằ
ng
đứ
ng m
ộ
t góc
b)

T
ạ
i v

Bài giải
a)

Bi
ể
u th
ứ
c tính v và T
Ch
ọ
n v
ị
trí cân b
ằ
ng A
0
làm g
ố
c th
ếN
ă
ng nh
ư
hình bên . T
max
A
1

ơ
n
ă
ng t
ạ
i A : W=W
đ
+W
t

C
ơ
n
ă
ng
đượ
c b
ả
o toàn :
W=
mv
2
+ mg
l
(1- cos
α
)

⇒


α
-cos
α
0
)
Suy ra : T= mg(3cos
α
-2cos
α
0
) (3)
b)

Tính T
max
, T
min
, V
max
, V
min

(3)
⇒

- Khi
α
= 0
⇒
= =3,13 m/s

n th
ứ
c toán h
ọ
c ch
ỉ
là s
ử
d
ụ
ng giá tr
ị
c
ự
c
tr
ị
c
ủ
a hàm l
ượ
ng giác, ki
ế
n th
ứ
c v
ậ
t lí ch
ủ
y

a l
ự
c c
ă
ng T.
d. Bài tập tương tự
Bài t
ậ
p1: (
Sách rèn luyện kĩ năng giải toán Vật li 12
)
M
ộ
t con l
ắ
c
đơ
n g
ồ
m m
ộ
t dây m
ả
nh g
ắ
n v
ớ
i c
ủ
a c

c
ầ
u. Biên
độ
góc c
ủ
a
con l
ắ
c b
ằ
ng bao nhiêu thì dây treo b
ị

đứ
t .
Đáp số:

Bài t
ậ
p 2: [ ]
M
ộ
t con l
ắ
c
đơ
n có chi
ề
u dài

qua ma sát .
a)

Thi
ế
t l
ậ
p bi
ể
u th
ứ
c tính l
ự
c c
ă
ng dây v
ớ
i góc l
ệ
ch
b)

V
ớ
i , hãy tìm t
ỉ
s
ố
c
ủ


Tìm độ cao tối thiểu ban đầu để vật chuyển động tròn không rời khỏi
vòng xiếc
Phương pháp giải

-

Vi
ế
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng c
ủ
a v
ậ
t r
ắ
n (vi
ế
t bi
ể
u th
ứ
c

ĩ
a là N > 0 v
ớ
i m
ọ
i v
ị
trí góc ).
- S
ử
d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng cho hai v
ị
trí lúc
đầ
u và t
ạ
i v
ị

ó ta có các ph
ươ
ng trình k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i giá tr
ị
c
ự
c
đ
ai c
ủ
a hàm l
ượ
ng
giác
để
tìm ra c
ự
c tr
ị
c
ủ
a bài.
a. Bài tập mẫu
Ví dụ 1

qua ma sát.
a) Tính l
ự
c do qu
ả
c
ầ
u nén lên vòng xi
ế
c
ở
v
ị
trí M, xác
đị
nh b
ở
i góc
b) Tìm h nh
ỏ
nh
ấ
t
để
qu
ả
c
ầ
u có th
ể

ậ
n t
ố
c c
ủ
a m t
ạ
i v
ị
trí
M. Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng cho
m
ở
2 v
ị
trí A, M
W
A

c :
+
Chi
ế
u ph
ươ
ng trình lên tr
ụ
c h
ướ
ng tâm t
ạ
i M:

L
ự
c do qu
ả
c
ầ
u nén lên vòng xi
ế
c có
độ
l
ớ
n b
ằ
ng l
ự

t vòng xi
ế
c, qu
ả
c
ầ
u ph
ả
i luôn nén lên vòng xi
ế
c khi
chuy
ể
n
độ
ng, ngh
ĩ
a là N > 0 v
ớ
i m
ọ
i v
ị
trí góc .
25

T
ừ
bi
ể

ả
c
ầ
u qua h
ế
t vòng xi
ế
c:
N
min
= m.g.(

-5) 0
⇒
h 2,5R
Trong th
ự
c t
ế
, do ma sát và s
ứ
c c
ả
n c
ủ
a không khí nên h s
ẽ
ph
ả
i là giá tr


bán kính R không v
ậ
n t
ố
c ban
đầ
u.
Vòng xi
ế
c có m
ộ
t
đ
o
ạ
n CD h
ở
v
ớ
i
= = , OB th
ẳ
ng
đứ
ng
a)

Xác
đị

u?
Đáp số: a) h = R (1 + cos +
)
b) = 45
2.1.4. Tìm cực trị trong bài toán va chạm của các vật
Phương pháp giải

•

S
ử
d
ụ
ng hai
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn: b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng (
đố
i v
ớ
i va ch

ợ
p v
ớ
i các ki
ế
n th
ứ
c toán h
ọ
c: b
ấ
t
đẳ
ng
th
ứ
c cosi,
đạ
o hàm, giá tr
ị
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm l
ượ
ng giác …tìm
đượ