ỨNG DỤNG SUY LUẬN LÔGIC
TRONG GIẢI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ
Ngô Thị Thanh Trang∗
28/ 3/2016

Tóm tắt
Một trong những mục tiêu quan trọng của môn toán ở trường Trung học cơ sở (THCS) là rèn
luyện khả năng suy luận hợp lý và lôgíc, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy linh hoạt độc lập
và sáng tạo của học sinh. Hơn nữa, việc sử dụng suy luận lôgíc trong giải toán kích thích tư duy,
gây hứng thú và phát triển năng lực sáng tạo ở học sinh. Tuy nhiên, hiện nay việc dùng suy luận
lôgíc trong giải toán ở bậc THCS còn rất hạn chế. Bài viết "Ứng dụng suy luận Lôgic vào giải toán
Trung học cơ sở" được thực hiện không ngoài mục đích hình thành và nâng cao khả năng suy luận
của học sinh THCS thông qua việc giải các bài toán. Bài viết được trình bày theo 3 phần chính:
phần đầu dành cho việc hệ thống lại một số kiến thức về lôgic mệnh đề, lôgic tập hợp; phần thứ
hai trình bày các phương pháp chứng minh sử dụng lôgic (quy nạp, phản chứng); phần cuối cùng
trình bày các bài toán ứng dụng phương pháp suy luận lôgic.

1

Cơ sở lý thuyết

1.1

Mệnh đề

Định nghĩa 1.1. Mệnh đề là phát biểu hay một khẳng định chỉ có giá trị đúng hoặc sai, mệnh
đề không thể vừa đúng vừa sai. Giá trị "đúng" (1) hoặc "sai" (0) của mệnh đề được gọi là giá trị
chân lý của mệnh đề. Mệnh đề thường được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa, như: A, B, C, v.v.
Ví dụ 1.1. Ta có thể xem xét một số ví dụ:
• “ 2 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng, có giá trị chân lý là 1.
• “Số tự nhiên n chia hết cho 5” không là mệnh đề vì nó chưa phản ánh tính đúng hoặc sai.

P

P

P

0

1

0

1

0

1

Ví dụ 1.2. Nếu P là mệnh đề: Tôi đi học.
Thì mệnh đề P là: Tôi không đi học.
b. Hội hai mệnh đề
Định nghĩa 1.3. Giả sử P và Q là hai mệnh đề, ta gọi là hội của hai mệnh đề là mệnh đề ký
hiệu P ∧ Q hay "P và Q", và đọc là P và Q; P ∧ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q
cùng đúng.
P

Q

P ∧Q



P

Q

P ∨Q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

e. Phép tương đương
Định nghĩa 1.6. Mệnh đề P tương đương với mệnh đề Q, ký hiệu P ↔ Q, đọc là "P tương đương
Q". Mệnh đề này là đúng chỉ trong hai trường hợp mà P và Q cùng đúng hay cùng sai.
P

Q

P →Q

Q→P

P ↔Q

0

0


1

1

1

Chú ý 1.2. Hai mệnh đề P, Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nôị dung của
chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lý.
f. Một số công thức
Với mọi mệnh đề A, B, ta có
A≡A

(1)

A∧B ≡A∨B

(2)

A∨B ≡A∧B

(3)

Công thức (??) và (??) gọi là Luật De-Morgan.

1.3

Một số tính chất

a. Tính chất kết hợp của các phép logic

Từ ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.7. Những phát biểu, khẳng định chứa biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề
nhưng khi ta thay biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng
hoặc sai), ta gọi là mệnh đề. Tập X gọi là miền xác định của mệnh đề đó.
Ta dùng kí hiệu F (x), T (u), v.v. để chỉ các mệnh đề chứa biên.
Cho T (x) là mệnh đề chứa biến xác định trên miên X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn tại x ∈ X
sao cho... " vào trước mệnh đề T (x), ta được mệnh đề:
"Tồn tại x ∈ X sao cho T (x) "
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc trên là mệnh đề tồn tại, ký hiệu: ∃x ∈ X : T (x).
Ký hiệu ∃ gọi là lượng từ tồn tại.
Cho T (x) là mệnh đề chứa biến xác định trên miên X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với mọi x ∈ X
ta có... " vào trước mệnh đề T (x), ta được mệnh đề:
105


"Với mọi x ∈ X ta có T (x) "
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc trên là mệnh đề với mọi, ký hiệu: ∀x ∈ X, T (x).
Ký hiệu ∀ gọi là lượng từ với mọi.
Phủ định các mệnh đề "Tồn tại" và "Với mọi" được tiến hành theo quy tắc dưới đây:
∃x ∈ X : T (x) ↔ ∀x ∈ X, T (x)
∀x ∈ X, T (x) ↔ ∃x ∈ X : T (x)

2

Các phương pháp chứng minh

2.1

Phương pháp chứng minh trực tiếp


√

2 là số vô tỉ.

2 là một số hữu tỉ. Vâỵ tồn tại hai số nguyên a và b sao cho

106

a √
= 2
b


√
a
2. Như vậy, 2 có thể được viết dưới dạng phân số tôí giản với a, b là hai số nguyên tố cùng
b
a 2
nhau và
=2
b
a2
3. Từ 2. suy ra 2 = 2 và a2 = 2b2 . Khi đó a2 là số chẵn.
b
4. Từ đó suy ra a là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn.
5. Vì a là số chẵn nên tồn tại số k thỏa mãn a=2k.
6. Thay 5. vào 3. ta có (2k)2 = 2b2 ⇔ 4k 2 = 2b2 ⇔ 2k 2 = b2
7. Từ 4. và 6. ta có a và b đều là số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết a và b nguyên tố cùng nhau.
√
Vậy 2 là số vô tỉ.

= (k 3 + 3k 2 + 5k) + 3k 2 + 9k + 9
= (k 3 + 3k 2 + 5k) + 3(k 2 + 3k + 3).
.
.
Vì theo (??) nên (k 3 + 3k 2 + 5k)..3 và 3(k 2 + 3k + 3)..3. Vâỵ (??) đúng với n = k + 1.
.
Vậy A = (n3 + 3n2 + 5n)..3 với n là một số nguyên dương.

107


3

Các bài toán ứng dụng suy luận logic

3.1

Các bài toán giải bằng phương pháp lập bảng

a. Phương pháp lập bảng
Người ta thường dùng phương pháp lập bảng để giải các bài toán xuất hiện hai nhóm đối tượng
như:
-Tên người và nghề nghiệp.
-Vận động viên và giải thưởng.
-Tên sách và màu bìa.
-Học sinh và điểm.
Sơ đồ chứng minh như sau:
1. Thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột. Liệt kê các đối tượng ở nhóm 1 vào các cột,
các đối tượng ở nhóm 2 vào các hàng.
2. Theo điều kiện đề bài, ta loại bỏ dần các ô (là giao của các cột và hàng).


Điện

0

x

0

-Theo giả thiết, không ai trùng tên với nghề cuả mình nên ta ghi số 0 vào các ô 1, 5 và 9. Bác
Điện hưởng ứng lời bác thợ hàn nên bác Điện không làm nghề hàn. Ta ghi số 0 vào ô 7.
-Nhìn vào cột 2 ta thấy bác thợ hàn không tên là Hàn, không tên là Điện nên bác thợ hàn tên
là Tiện. Ta đánh dấu x vào ô số 4.
-Nhìn vào hàng 4 ta thấy bác Điện không làm nghề hàn cũng không làm nghề điện nên bác
Điện làm nghề tiện. Ta đánh dấu x vào ô số 8.
-Nhìn hàng 2 và ô 8 ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn cũng không làm nghề tiện. Do đó,
bác Hàn làm nghề điện. Ta đánh dấu x vào ô số 3.

108


Vậy bác Hàn làm nghề điện, bác Tiện làm nghề hàn và bác Điện làm nghề tiện.
Ví dụ 3.8. Trên bàn có 4 hộp kín được đánh số thứ tự 1, 2, 3 và 4. Trong mỗi hộp đựng một
trong bốn loại quả: đào, mận, bưởi hoặc cam. Ba bạn Lộc, Đạt và Thanh tham gia trò chơi như
sau: Mỗi bạn lần lượt đoán trong môĩ hộp đựng quả gì, nếu ai đoán đúng ít nhất một hộp thì sẽ
được phần thưởng.
Lộc đoán trước:
-Hộp thứ nhất đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi và hộp thứ tư đựng
đào.
Đạt đoán tiếp:

được tiếng Anh và 18 em nói được tiếng Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả hai thứ tiếng?
109


Ví dụ 3.11. Trong hội khỏe Phù Đổng có 100 vận động viên đăng ký dự thi.Mỗi vận động viên
được đăng ký dự thi một hoặc hai trong 3 môn: Ném tạ, bơi lội hoặc đấu cờ vua. Kết quả có 30
vận động viên chỉ thi đấu cờ vua, 53 người đăng ký thi ném tạ và 45 người đăng ký thi bơi. Hỏi
có bao nhiêu người đăng ký thi đấu cả hai môn: Ném tạ và bơi lội?
Ví dụ 3.12. Trong một hội nghị có 500 đại biểu tham dự, mỗi đại biểu có thể sử dụng một trong
ba thứ tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp. Theo thống kê của Ban tổ chức, có 60 đại biểu chỉ nói được
một trong 3 thứ tiếng, 180 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Anh và Pháp, 150 đại biêủ nói được
cả tiếng Anh và tiếng Nga, 170 đại biểu nói được cả tiếng Nga và tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu
đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
b. Bài tập áp dụng
Bài 3.4. Người ta điều tra trong một lớp học có 40 học sinh thì thấy có 30 học sinh thích Toán,
25 học sinh thích Văn, 2 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh thích
cả hai môn Văn và Toán?
Bài 3.5. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng
Anh, 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được cả 2 thứ tiếng Anh và
Pháp. Hỏi: a, Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó. b, Có
bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?
Bài 3.6. Lớp 5A có 35 học sinh làm bài kiểm tra Toán. Đề bài gồm có 3 bài toán. Sau khi kiểm
tra, cô giáo tổng hợp được kết quả như sau: Có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được
bài toán thứ hai, 10 em giải được bài toán thứ ba, 5 em giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 em
giải được bài toán thứ nhất và thứ hai,6 em làm được bài toán thứ nhất và thứ ba, chỉ có 1 học
sinh đạt điểm 10 vì đã giải được cả 3 bài. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh không giải được
bài toán nào?

3.3


3

0

8

6

Can B (5 lít)

0

0

5

0

3

3

5

Ví dụ 3.14. Thời cổ Hy Lạp có ba vị thần nổi tiếng về sắc đẹp là Hera, Athena và Aphrodite.
Một hôm cả ba vị nữ thần đến tìm chàng Paris để nhờ chàng phân định xem ai là người đẹp nhất
trong ba vị thần.
110



b) Giả sử ta có hai bình có dung tích a lít và b lít. Làm thế nào để có thể sử dụng hai bình
này múc nước lên được c lít nước từ sông, với c ≤ a; c ≤ b.
Bài 3.10. Có bốn đồng xu, bề ngoài không phân biệt được thật, giả; trong đó có ba đồng xu thật,
có cùng khối lượng và một đồng xua giả, nặng hơn các đồng xu thật. Làm thế nào để tìm được
đồng xu giả bằng cách cân hai lần trên một cân Rô- béc- van mà không dùng đến các quả cân.
Liệu có thể tìm ra được đồng xu giả mà chỉ cần một lần cân?

111


4

Kết luận
Qua bài viết này chúng tôi đã trình bày một số phương pháp giải toán giúp học sinh làm quen

với cách giải toán bằng suy luận lôgic.
Nghiên cứu ứng dụng lôgic trong giải toán THCS, giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của
lôgic, suy luận lôgic. Từ đó, học sinh có thêm một phương pháp mới có thể vận dụng trong quá
trình giải toán.
Xuất phát từ yêu cầu của thực tiễn, chúng tôi thực hiện đề tài, và chắc chắn sẽ không tránh
khỏi thiếu sót. Kính mong quí thầy, cô giáo cùng các bạn đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn
thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu
[1] Hoàng Xuân Sính, Trần Phương Dung Nhập môn Toán cao cấp. NXB Đại học Sư phạm, 2004
[2] Trần Diên Hiển, Các bài toán về suy luận logic. NXB Giáo dục, 2000.
[3] Nguyễn Vĩnh Cận, Toán số học nâng cao 6. NXB Giáo dục, 2006.
[4] Đặng Đức Trọng, Chuyên đề bồi dưỡng số học 9. NXB Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh,
2014
[5] Các bài báo: Logic và suy luận toán học, những bài toán suy luận logic, mathematical logic