Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
**********
1. Tên sáng kiến:
SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Chương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên.
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 9 - 2014 đến 5 - 2015
4. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Hoàng Cương
Năm sinh: 1980
Nơi thường trú: 239 đường Hưng Yên, phường Quang Trung, TP Nam Định
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Điện thoại: 0914521894
5. Đồng tác giả (nếu có): không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định
Điện thoại: 0350640297

1




●
O

M

M’

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

Khi M ≡ O thì M’ là điểm vô cực và kí hiệu ∞ và khi M là điểm vô cực ∞
thì M’ trùng với O
Kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, hệ số k biến điểm M thành điểm M’ là:
f ( O, k ) : M → M '
b) Cho một hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép nghịch
đảo f ( O, k ) lập thành hình H’ được gọi là ảnh của hình H (hình nghịch đảo của
H) và được kí hiệu: f ( O, k ) : H → H’
2. Các khái niệm khác liên quan:
a) Xét phép nghịch đảo f ( O, k ) với k > 0. Đường tròn tâm O, bán kính
R = k được gọi là đường tròn nghịch đảo thực. Nếu k < 0, thì đường tròn tâm O

bán kính R =

k được gọi là đường tròn nghịch đảo ảo



4. Tính chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là đường thẳng
d.
5. Tính chất 5: Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O là
một đường tròn đi qua tâm nghịch đảo O.
6. Tính chất 6: Ảnh của một đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của
đường tròn (C) tại O.
7. Tính chất 7: Ảnh của đường tròn ( γ ) không đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường tròn ( γ ') . Đường tròn ( γ ') cũng là ảnh của đường tròn ( γ ) qua phép vị tự
V( O , λ ) với λ =

k
, p là phương tích của O đối với đường tròn ( γ ) .
p

8. Tính chất 8: Góc tạo bởi đường thẳng d và đường tròn ( γ ) cùng đi qua tâm
nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
9. Tính chất 9: Góc tạo bởi hai đường tròn ( γ ) và

( γ ') cùng đi qua tâm nghịch

đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
10. Tính chất 10: Nếu đường thẳng d và đường tròn ( γ ) không đi qua tâm nghịch
đảo O, thì góc tạo bởi d và ( γ ) có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép
nghịch đảo đó.
11. Tính chất 11: Góc tạo bởi hai đường tròn ( γ ) và ( γ ') không cùng đi qua tâm
nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
*) Từ các tính chất 8, 9, 10, 11 ta có các kết quả:
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại tâm nghịch đảo sẽ biến thành hai đường

C) thành một đường thẳng. Nhờ ý
tưởng này ta quy điều kiện các điểm
trên đường tròn về điều kiện cho các
điểm thẳng hàng. Từ đó ta có lời giải:

D

(
O
C
A
B

A'

B'

C'

Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k > 0. Phép nghịch đảo này biến
các đường tròn đi qua biến D thành một đường thẳng không qua D.
Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó trên cùng một đường tròn khi và chỉ khi A’,
B’, C’, D’ cùng trên một đường thẳng (ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo)
theo thứ tự.
⇔ A’C’ = A’B’ + B’C’ ⇔ k.

AC
AB
BC
=k.

d1

an

An

A1
a1

O

A2
A4
A3

d

A'1

A'4

A'3

A'2

Phân tích: Từ công thức
khoảng cách giữa hai
điểm qua phép nghịch đảo
mà chúng ta có thể chuyển
việc xét khoảng cách giữa

Thay vào (*) ta có: k

=k

Ai Ai +1
Ai Ai +1 .d i .sin ∠Ai MAi +1
=k
MAi .MAi +1
MAi .MAi +1 .d i .sin ∠Ai MAi +1

sin ∠Ai MAi +1
sin ∠Ai MAi +1
ai
=k
=k
di
di
2 Rd i

n −1
an
ai
a
a
=∑k
⇒ n = ∑ i (đpcm)
2 Rd n
2 Rd i
d n i =1 d i


A’ và C’ ⇔ 4 điểm A, B, C, D trên cùng một đường thẳngg theo thứ tự đó (cùng
chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ)
b) Nếu A, B, C, D không cùng trên một mặt phẳng. Tồn tại một mặt cầu (V)
đi qua A, B, C, D. Qua phép nghịch đảo trên mặt cầu (V) biến thành mặt phẳng (P)
không đi qua D và A’, B’, C’ nằm trên (P).
Ta có: A’C’≤ A’B’ + B’C’ ⇔

AC
AB
BC
≤
+
DA.DC DA.DB DB.DC

⇔ AC.BD ≤ AB.CD + BC.AD (Đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A’, B’, C’ trên cùng một đường thẳng theo thứ
tự đó. Điều này không xảy ra vì A, B, C, D không đồng phẳng.
Bài 4: Trên một mặt phẳng cho n + 1 điểm A0, A1, …, An.
Chứng minh bất đẳng thức:
A1 A2
A2 A3
An An-1
A1 An
+
+...+
≥
A0 A1 .A0 A2 A0 A2 .A0 A3
A0 An-1 .A0 An A0 A1 .A0 An
Khi nào xảy ra dấu bằng.
(Xét phép nghịch đảo tâm A0, phương tích k = 1)

⇒ II1 =

k
IO1
p1

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 ) nên: I = V p ( O ) và I = V p ( O )
1
I
1
2
I
2

và

k

1

II 2 =

k

2

k
IO2 (với p1 = PI / ( C ) = IO12 − R12 và p2 = PI / ( C ) = IO2 2 − R22 )
p2
1



=  IO1 − IO2  =  2
2
p2
p1 p2
p2
 p1

 p1


 p1 + R12 p2 + R22 IO12 + IO22 − O1O2 2 

+
−
= k 
2
2
p
p
p
p
1
2
1 2


2



k

k

Vì I = V p ( O ) và I = V p ( O ) ;
1
I
1
2
I
2
1

nên ta có: r1 =

2

f ( C1 ) = ( I1 , r1 ) ;

f ( C2 ) = ( I 2 , r2 )

k
k
R1 và r2 =
R2
p1
p2

8

.
r1r2
2r1r2
p1 p2
2

1
=
2r1r2

2

(

)

2
kk
1  r1 p1 .r2 p2 O1O2 − R12 − R22 
2
2
2 
O1O2 − R1 − R2  =



p1 p2
 p1 p2
 2r1r2  R1 R2



Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

Lời giải:
A

L

A'
M
I
C'
B'

B

K

C

Gọi A’, B’, C’, là giao của IA, IB, IC với ML, MK, KL (K, M, L là tiếp điểm
của đường tròn nội tiếp với các cạnh BC; AB; AC của tam giác; (C) là đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Xét phép nghịch đảo tâm I, phương tích r2. Vì r 2 =IA'.IA=IB'.IB= IC'.IC
Nên A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua phép nghịch đảo này.
Vậy qua phép nghịch đảo trên, đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC biến
thành đường tròn (C’) ngoại tiếp tam giác A’B’C’ có bán kính R’.
r

minh rằng 3 điểm M, N, E thẳng hàng.
A

B'

C'

I
P

M
B

A'

C

E

N

Giải:

Gọi (C1), (C2) lần lượt là đường tròn đường kính AI và A1I

Khi đó: B1C1 là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (C1) và; BC là trục
đẳng phương của hai đường tròn (I) và (C2)
Mà BC ∩ B1C1 = M
nên PM / ( C ) = PM / ( C )
1

của (O) tại điểm M bất kì trên đường tròn cắt (O’) tại B và C. Chứng minh rằng
AM là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC.
Giải:
d'

d

A

O'

O
M'

C
I

B'
H

B

M
2
Hạ AH ⊥ BC. Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k = AH2 : f ( A, AH )

f ( A, AH 2 ) biến tiếp tuyến tại M với đường (O) thành tiếp tuyến với đường tròn

(I) đường kính AH



A

E

Q
P

O
O'

k2

k1

Vì CP = CQ = CE = CF = p nên suy ra 4 điểm P, Q, E, F cùng thuộc đường tròn
(C, p). Xét phép nghịch đảo cực C phương tích p2 ta có:
f (C, p2 ) : P → P ;
Q → Q
Do đó: f ( ( k1 ) ) = ( k1 )

f ( E) = E


 ⇒ f ( ( k2 ) ) = EF
f (F) = F 
Mà ( k1 ) tiếp xúc với EF nên ( k1 ) tiếp xúc với ( k 2 )
Bài 10: (Dự tuyển toán Quốc tế)
Cho hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) tiếp xúc với nhau tại A . Một đường thẳng l


l

(k)

k'2

B'1

D2

B'2

C'1
C2

D1
k1
A

C1

B1

C'2

D'2

B2

(k')

1

'
1

· 'C ' D ' (2)
=C
1 2 2

· ' D' D' + C
· 'C ' D ' = 1800
Từ (1) và (2) suy ra C
1 1 2
1 2 2
'
⇒ C1' , C2' , D1' , D2' cùng thuộc một đường tròn ( k3 )

14


Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

⇒ C1 , C2 , D1 , D2 hoặc cùng thuộc đường thẳng, hoặc cùng thuộc 1 đường tròn là tạo ảnh
'
của đường tròn ( k3 ) qua phép nghịch đảo f .

2. Ta có: Các điểm B1 , B2 , D1 , D2 cùng thuộc một đường tròn
⇔ Các điểm B1' , B2' , D1' , D2' cùng thuộc một đường tròn ⇔ B1' B2' D2' D1' là hình chữ

1. Chứng minh rằng hai đường tròn ( MCE ) và ( NDE ) tiếp xúc với nhau.

2. Chứng minh rằng K là tâm đường tròn đi qua các điểm C , D, E , F .
Giải:

15


Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương
A

P

M

X

I
C

O
F

K
E

Y


Gọi E ' là giao điểm của OF và MN thì OE ' ⊥ MN . Ta chứng minh E ' ≡ E .
Ta có MA2 = MD 2 = MX .MO = ME '.MN = MB.MC
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương tích k = MA2 ta có: f biến các điểm B, N
thành các điểm C , E ' tương ứng
Suy ra f biến đường thẳng BN thành đường tròn ( MCE ')
Vì BN tiếp xúc với ( O ) tại B và BN || AM nên đường tròn ( MCE ') tiếp xúc với

( O)

tại C và tiếp xúc với AM tại M . Do đó I là tâm đường tròn ( MCE ')

Chứng minh tương tự ta có J là tâm đường tròn ( NDE ') .
Khi đó ta suy ra hai đường tròn ( MCE ') và ( NDE ') tiếp xúc nhau tại E ' .
⇒ E ' là giao điểm của IJ và MN nên E ' ≡ E

16


Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

Vậy hai đường tròn ( MCE ) và ( NDE ) tiếp xúc với nhau tại E.
2. Vì KC là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( I ) ; KD là tiếp tuyến chung của ( O ) và

( J)

nên ta suy ra PK /( I ) = PK /( O ) = PK /( J ) , do đó K là tâm đẳng phương của 3 đường tròn

( O) , ( I ) , ( J )

Xét phép nghịch đảo cực H phương tích k = HM .HA ' = HN .HB ' = HP.HC '
Phép nghịch đảo này biến các đường thẳng A1 A ', B1B ', C1C ' tương ứng thành các
đường tròn ( HMM ') , ( HNN ') , ( HPP ') , biến đường tròn ( ω ) thành chính nó và
biến đường thẳng Euler của ∆ABC thành chính nó.
Ta sẽ chỉ ra rằng trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') là đường thẳng Euler
của ∆ABC . Thật vậy:
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HNN ') là NN ' ;
Trục đẳng phương của ( ω ) và ( HPP ') là PP ' ;
Suy ra trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ') đi qua H và giao của NN ' và

PP ' hay trục đẳng phương của ( HNN ') và ( HPP ' ) là đường thẳng HO .
Do đó trục đẳng phương của

( HNN ') và ( HPP ') chính

là đường thẳng Euler

( HPP ') và ( HMM ') ,

trục đẳng phương của

∆ABC .
Tương tự, trục đẳng phương của

( HMM ') và ( HNN ')

cũng là đường thẳng Euler của ∆ABC .

Do đó ba đường tròn cùng đi qua một điểm trên đường thẳng Euler của ∆ABC .
Từ đó suy ra A1 A ', B1 B ', C1C ' đồng quy tại một điểm X nằm trên đường thẳng

U

X

M

I
O1

J

V

F

Y
N
O

O2

C
D

Đặt k = MA.MC = MB.MD = MU .MV
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương tích k , ta có

f biến các điểm A, D, U tương ứng thành các điểm C , B, V .
Suy ra f biến các đường thẳng BC , AD tương ứng thành các đường tròn


19


Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

Chứng minh tương tự ta suy ra OO2 || O1M , do đó tứ giác MO2OO1 là hình bình
hành có tâm N .
Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O1O2 xuống UV thì tứ giác O1O2 JI
là hình thanh vuông tại I , J
Mà N là trung điểm của O1O2 nên suy ra NI = NJ
Hai tam giác EMO, FMO có NI , NJ tương ứng là hai đường trung bình nên suy
ra OE = OF (3)
Mặt khác OU = OV (4)
Nên từ (3) và (4) suy ra EU = FV (đpcm)
Bài 14: (Đề đề nghị thi Duyên hải đồng bằng Bắc Bộ năm 2013)
Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC,
CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Một đường tròn đi qua B, C tiếp xúc với (I) tại X. Một
đường tròn đi qua C, A tiếp xúc với (I) tại Y. Một đường tròn đi qua A, B tiếp xúc
với (I) tại Z. Chứng minh rằng các đường thẳng PX, QY, RZ đồng quy.
A

X
Q
R
I

Y
B

A

O3

O1

R

Q
I
P

B

C

21


Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

Giải: Gọi O1 , O2 , O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tứ giác
ABPQ, BCQR, CARP . Ta có AP, BQ, CR lần lượt là trục đẳng phương của các
đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) , ( O2 ) và ( O3 ) , ( O3 ) và ( O1 )

Vì I là tâm đẳng phương của các đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) , ( O3 ) nên
AP,BQ, CR đồng quy tại I . Do đó AP,BQ, CR tương ứng là đường phân giác
·

Vậy tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng Euler
của tam giác PQR.
Một số bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hai đường tròn (C1), (C2) trực giao với nhau và cắt nhau ở A, B. Lấy các
điểm C, D trên hai đường tròn đó sao cho CD không đi qua A, B. Chứng minh rằng
các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD trực giao với nhau.
Bài 2: Cho bốn đường tròn cùng đi qua một điểm P nhưng không có đường tròn nào
chứa trong đường tròn nào. Hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại P, hai
đường tròn còn lại tiếp xúc với đường thẳng (d2) tại P. Các giao điểm khác P của 4
đường tròn là A, B, C, D. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường
tròn khi và chỉ khi hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau.

22


Sáng kiến kinh nghiệm

Nguyễn Hoàng Cương

Bài 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Các nửa đường tròn đường
kính AB, BC, CA nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ AC. Chứng minh rằng
đường tròn (O) có đường kính bằng khoảng cách từ O đến BC với (O) là đường
tròn tiếp xúc với cả ba nửa đường tròn trên.
Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm học 2004 - 2005)
Cho đường tròn (O, R). Giả sử có 6 đường tròn thay đổi nằm bên trong
(O;R) là (I1), (I2), (I3), (I4) , (I5) , (I6) thoả mãn tính chất : chúng lần lượt tiếp xúc
trong với (O, R) tại A1, A2, A3, A4, A5, A6 ; đồng thời đường tròn (I1) tiếp xúc ngoài
với đường tròn (I2), đường tròn (I2) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I3), đường tròn
(I3) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I4), đường tròn (I4) tiếp xúc ngoài với đường
tròn (I5), đường tròn (I5) tiếp xúc ngoài với đường tròn (I6), đường tròn (I6) tiếp

Nguyễn Hoàng Cương

Cho ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) , ( C4 ) là bốn đường tròn phân biệt thỏa mãn ( C1 ) , ( C3 )
tiếp xúc ngoài nhau tại P , ( C2 ) , ( C4 ) tiếp xúc ngoài nhau tại P . Giả sử các cặp
đường tròn ( C1 ) và ( C2 ) , ( C2 ) và ( C3 ) , ( C3 ) và ( C4 ) , ( C4 ) và ( C1 ) tương ứng
AB.BC PB 2
A,
B,
C,
D
=
cắt nhau tại các điểm
khác P . Chứng minh rằng
.
AD.DC PD 2
Bài 7: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Các nửa đường tròn

( C1 ) ,( C2 )

có đường kính lần lượt là AB, BC cùng thuộc một nửa mặt phẳng bở là

đường thẳng AB . Một đường tròn ( C ) tiếp xúc với ( C1 ) và tiếp xúc với ( C2 ) tại
T khác C và tiếp xúc với đường thẳng qua C vuông góc với AB . Chứng minh
rằng AT là tiếp tuyến của đường tròn ( C2 ) .

II. Dạng toán: Tìm tập hợp điểm, chứng minh điểm thuộc đường cố định
Bài 1: Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và một điểm O cố định sao cho OI = 2R.
Gọi (C1), (C2) là hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với đường tròn (C) và trực giao
với nhau. Gọi M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2). Tìm quỹ tích điểm M.
Giải:

f ( O,k ) :

( C ) → ( C ) ; ( C1 ) → d1 ; ( C2 ) → d 2
Vì ( C ) ; ( C ) trực giao với nhau và cùng tiếp xúc với ( C ) nên ta có d ⊥ d và lần
lượt tiếp xúc với ( C ) tại P ' ; Q' thỏa mãn: OP.OP ' = OQ.OQ' = 3R với P, Q là
tiếp điểm của ( C ) ; ( C ) với ( C ) .
Gọi M’ là giao điểm của hai đường thẳng d , d thì khi đó M ' = f ( M ) vì M là giao
điểm của hai đường tròn ( C ) ; ( C )
1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2


2

3
3R 2
Gọi ( J , r ) là tâm của đường tròn ( γ ) ⇒ OJ = OI và r =
hay J là giao
2
2
điểm của đường tròn ( C ) và đường thẳng OI.

Phần đảo:

25