ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————————
NGUYỄN CHÍ THANH
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo . . . . . . . 6
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch
đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học . . . . . 15
2.2. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . 40
2.3. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn

duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát
triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó
khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học
của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Với
những lý do đó chúng tôi đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu.
Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức
cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tôi sẽ áp dụng vào
một số bài toán ở chương 2. Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặc
trưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hình
khác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a),
một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với
tâm đường đường tròn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường tròn không đi
qua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo
(tính chất 1.2.7-b).
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận
dụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng
minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt
của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa
Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O)

I
k
O
, ta có I
k
O
(M) = M

hoặc I
k
O
: M → M

, hay một số sách đưa ra ký hiệu
f(O, k), trong luận văn này chúng tôi dùng ký hiệu I
k
O
hoặc f(M) = M

sẽ
chỉ M

là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k.
Ta có
−−→
OM.
−−→
OM

= OM.OM

gọi là đối xứng với nhau qua
(O, R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích
k = R
2
.
Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tận
biến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O, R).
Tính chất 1.2.2. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp:
Qua phép nghịch đảo, nếu điểm M biến thành điểm M

thì ngược lại, điểm
M

biến thành điểm M (hay nếu I
k
O
(M) = M

thì ta cũng có I
k
O
(M

) = M,
vì OM.OM

= k = OM

.OM).
Như vậy I


nằm ở bên ngoài của đường tròn nghịch đảo và ngược lại.
Nếu k < 0 thì hai điểm M và M

nằm về hai phía đối với O. Khi đó
không có điểm kép, cũng không có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợp
này đường tròn nghịch đảo của f(O, k) sẽ được gọi là đường tròn bán thực,
trong đó tâm của đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo).
Tính chất 1.2.4. a) Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0
và M, M

là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f(O, k), thì mọi đường tròn
qua hai điểm M, M

đều trực giao với (O,
√
k) (hai đường tròn (O), (O

)
được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O)
và (O

) cùng vuông góc với nhau). Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M, M

đều biến thành chính nó qua f(O, k) với k > 0.
b) Nếu (O
1
) và (O
2
) lần lượt trực giao với (O,


= OI.OI

= k = OI
2
. Do đó I ≡ I

,
hay OI là tiếp tuyến của đường tròn (O

) ⇔ OI⊥O

I, chứng tỏ đường tròn
(O

) trực giao với đường tròn (O). Vậy ta có với mọi đường tròn đi qua hai
điểm M, M

đều trực giao với đường tròn (O,
√
k).
Hơn nữa với mọi đường tròn (C) đi qua hai điểm M, M

, theo chứng minh
trên ta có (C) trực giao với (O). Từ O ta kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt (C)
tại hai điểm N, N

, ta có ON.ON

= k, suy ra mọi điểm N thuộc đường

= k và O, M, M
2
thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M
2
≡ M
1
≡ M

, hay chứng tỏ M, M

là ảnh của
nhau qua phép nghịch đảo f(O, k).
Tính chất 1.2.5. Phép nghịch đảo f(O, k), k = 0. Thì với hai điểm A, B
không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta luôn có A, B, f(A), f(B) là các điểm
đồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn). Hơn nữa nếu đặt A

= f(A)
và B

= f(B) thì A

B

= |k|.
AB
OA.OB
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
9

⇒
A

B

AB
=
OA

OB
=
OA

.OA
OB.OA
=
OA.OA

OA.OB
=
k
OA.OB
=
|k|
OA.OB
⇔ A

B

=

tức là bốn điểm N, M, B, A ở trên cùng một đường tròn, tức là

ONB =

OAM = 90
o
.
Hình 1.4:
Vậy quỹ tích của N là đường tròn đường kính OB.
b) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo biến
thành chính nó.
Chứng minh:
Giả sử d là đường thẳng đi qua cực O của phép nghịch đảo f(O, k). Khi
đó với mọi điểm ∀M ∈ d ta có f(O, k) : M → M

, theo định nghĩa phép
nghịch đảo suy ra O, M, M

thẳng hàng, chứng tỏ f(O, k) : d → d.
Tính chất 1.2.7. Ảnh của một đường tròn qua phép nghịch đảo:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
a) Qua phép nghịch đảo, một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành
một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng
nối cực nghịch đảo với tâm đường đường tròn đã cho.
Chứng minh:
Giả sử O là cực nghịch đảo, A là một điểm của đường tròn đã cho đối
xứng với O qua tâm của đường tròn, B là ảnh của A trong phép nghịch đảo
I
k

O
thì ta có: OM

.OM = k.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Ta suy ra:
OM

ON
=
k
p
tức là M

là ảnh của N trong phép vị tự tâm O, tỉ số
k
p
. Đảo lại, nếu M

là ảnh của N trong phép vị tự tâm O, tỉ số
k
p
thì ta có:
OM

ON
=
k
p

Cho O là một điểm cố định, k là một số không đổi, nếu M, N thẳng hàng
với O và
ON
OM
= k thì N được gọi là điểm ảnh của điểm M trong phép vị
tự tâm O, tỉ số k.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
"Qua phép vị tự:
1) Một đường thẳng đi qua tâm biến thành chính nó.
2) Một đường thẳng không đi qua tâm biến thành một đường thẳng song
song với nó.
3) Một đường tròn biến thành một đường tròn."
Tính chất 1.2.8. Tính bảo giác của phép nghịch đảo
Trước hết ta định nghĩa thế nào là góc giữa đường thẳng và đường tròn,
góc giữa đường tròn và đường tròn. Góc giữa đường thẳng d và đường tròn
(C) là góc giữa d và tiếp tuyến tại giao điểm của d với (C). Khi d là tiếp
tuyến của (C) thì góc giữa d và (C) bằng 0. Xét (C
1
) và (C
2
) thì góc giữa
(C
1
), (C
2
) là góc giữa hai tiếp tuyến tại giao điểm của (C
1
) và (C
2

), (C
2
)) = (d
1
, d
2
).
Tính chất: Qua phép nghịch đảo, góc định hướng giữa hai đường cong
tại mỗi giao điểm của chúng không thay đổi về độ lớn nhưng thay đổi về
hướng.
Chứng minh:
Trước tiên, ta xét bổ đề sau:
Bổ đề: Cho f(O, k) biến đường cong (C) thành đường cong (C

). Nếu
A, A

là hai điểm tương ứng trên (C), (C

) và tại đó chúng có các tíếp tuyến
thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực cuả đoạn AA

.
Thật vậy, ta gọi M là một điểm nằm trên (C) và M

là ảnh của M qua
f(O, k), suy ra M

nằm trên (C



) tương ứng và (C
1
) biến thành
đường tròn (C

1
) tiếp xúc với đường cong (C) và (C

) lần lượt tại A và A

.
Rõ ràng lúc này t và t

sẽ là tiếp tuyến tại A và A

của (C

1
) tương ứng. Từ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
đó suy ra t và t

đối xứng nhau qua đường trung trực của AA

.
Chứng minh tính chất: Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong
(C
1

, d
2
của (C
1
) và (C
2
) tại A và các tiếp tuyến d

1
, d

2
của (C

1
) và (C

2
) tại A

tương ứng đối xứng với nhau qua trung trực cuả AA

. Từ đó suy ra:
(d

1
, d

2
) = −(d

, C
0
lần
lượt là hình chiếu của B, C trên AC, AB. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại
A của đường tròn (O) song song với B
0
C
0
, từ đó suy ra AO⊥B
0
C
0
.
Lời giải: (Hình 2.1)
Trước tiên ta dễ thấy B, C
0
, B
0
, C đồng viên. Do đó AB.AC
0
= AC.AB
0
=
k. Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k, ta được I
k
A
: B
0
→ C, C
0

0
(vì t
a
⊥AO).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Hình 2.1:
Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán thuộc dạng kinh điển và quen
thuộc. Nhiều bạn, thậm chí là các bạn THCS không gặp nhiều khó khăn khi
chứng minh bài toán trên. Bài toán này trên mathlinks đưa ra và có đến
"hàng tá" cách giải. Và một trong các cách chỉ là biến đổi góc thuần nhất.
Riêng ý sau của bài toán trên vẫn có thể chứng minh được mà không cần
dùng đến ý đầu.
Thật vậy, ta đã biết qua phép nghịch đảo cực A, phương tích k, I
k
A
:
B
0
C
0
→ (O). Do đó O sẽ là ảnh của điểm đối xứng với A qua B
0
C
0
. Rõ
ràng ta có ngay AO⊥B
0
C
0

D

= B

D

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Áp dụng tính chất phép nghịch đảo: A

B

=
|k|.AB
OA.OB
ta có:
BC
AB.AC
+
CD
AC.AD
=
BD
AB.AD
⇒ AC.BD = AB.CD + BC.AD.
Hình 2.2:
Trường hợp 2: Giả sử tứ giác ABCD có: AC.BD = AB.CD+BC.AD,
ta sẽ chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
Thật vậy: Ta xét phép nghịch đảo f(A, 1) và giả sử B

D

=
B

D

điều đó có nghĩa B

, C

, D

nằm trên đường thẳng d, hơn nữa C

xen
giữa B

và D

.
Suy ra B, C, D nằm trên đường tròn qua A hay tứ giác ABCD nội tiếp.
Nhận xét: Ta có thể tham khảo cách chứng minh sau.
Xét tứ giác ABCD và xét phép nghịch đảo cực D, phương tích k bất
kỳ thì I
k
D
: A → A

, B → B

+ |k|.
BC
DB.DC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Nhân cả hai vế của đẳng thức này với
DA.DB.DC
|k|
, ta thu được
AC.BD = AD.BC + AB.CD.
Định lý Ptolemy: là một bài toán quen thuộc đối với các em chuyên sâu về
toán ở THCS và cách giải phổ biến của định lý này là cách gọi thêm điểm
D
0
thỏa mãn

D
0
DC =

BAC,

D
0
CD =

BCA để tạo cặp tam giác CD
0
D
và CBA đồng dạng với nhau và một cặp đồng dạng khác, xuất hiện một mâu

.A
1
A
3
A
1
A
n−1
”.
Tiếp theo là một ứng dụng khác của phép nghịch đảo trong một bài toán
của Nga (Liên Xô trước đây) đề nghị trong kỳ thi IMO 1985.
Bài toán 2.1.3. Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O đi qua hai điểm
A, C và cắt các đoạn AB, BC theo thứ tự tại hai điểm phân biệt K, N. Giả
sử các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai
điểm phân biệt B, M. Chứng minh rằng

OMB = 90
o
.
Lời giải: (Hình 2.3)
Gọi R là bán kính của đường tròn tâm O nói trên. Gọi P = KN∩AC, S =
KC ∩ AN. Theo một kết quả quen thuộc thì B sẽ là đối cực của P S qua
O và ngược lại P sẽ là đối cực của BS qua (O). Do đó S sẽ là đối cực của
BP qua (O). Gọi M

= OS ∩ BP , ta có ngay OM

⊥BP . Mặt khác ta lại
có BS⊥OP (do BS là đường đối cực của P qua (O)), tương tự P S⊥OB.
Ta suy ra được S là trực tâm của ∆BOP . Do đó nếu gọi B


.P B = P A.P C, tức là M

∈ (ABC).
Để ý rằng P A.P C = P K.P N = PM

.P B, do đó M

∈ (BKN). Hay nói
cách khác M

≡ (BKN) ∩ (ABC) ≡ M. Suy ra

OMB = 90
o
.
Nhận xét: Bài toán trên cũng là một dạng bài kinh điển. Có tới ít nhất
ba cách chứng minh cho bài toán trên, trong đó có một cách biến đổi góc và
độ dài các cạnh khá cầu kỳ. Có một cách dùng phép vị tự và cách còn lại là
vẽ thêm yếu tố phụ song cũng qua một hay hai bước biến đổi góc. Một lần
nữa, với quan điểm phép nghịch đảo lại cho ta một lời giải đẹp "thuần" tính
lý thuyết, không hề một chút tính toán cho bài toán cũ mà đẹp bên trên.
Cũng xin nói thêm, điểm M trong bài toán có tên là điểm Miquel đối với tứ
giác toàn phần BA, BC, P K, P A.
Ta tiếp tục xem xét một ứng dụng khác của phép nghịch đảo qua bài toán
IMO của Bulgaria năm 1995.
Bài toán 2.1.4. Cho A, B, C, D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường
thẳng và được sắp theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính AC, BD cắt
nhau tại các điểm X, Y . Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Cho P là một
điểm trên đường thẳng XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường

,
suy ra AM → (P A

C). Tương tự, ta cũng có được ND → (P BD

), trong đó
D

là ảnh của D qua phép nghịch đảo (I
k
P
), ta có (I
k
P
) : XY → XY . Do đó
để chứng minh AM, DN, XY đồng quy, ta sẽ chứng minh XY là trục đẳng
phương của (PA

C) và (P BD

). Thật vậy, ta có

P ZC =

P A

C = 90
o
, suy
ra Z ∈ (P A

ngoài đường tròn, gọi B
0
, C
0
lần lượt là giao điểm của AC, AB với (O). Gọi
H là giao điểm của BB
0
, CC
0
. Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến
từ A đến (O). Chứng minh rằng H, M, N thẳng hàng.
Lời giải: (Hình 2.5)
Hình 2.5:
Gọi A
0
là hình chiếu của A lên BC. Dễ thấy H là trực tâm tam giác
ABC. Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích AB
0
.AC = AC
0
.AB =
AM
2
= AN
2
= k, ta có I
k
A
: M → M, N → N, H → A
0

lần lượt ở P

và Q

. Chứng minh rằng A

P

.A

Q

không đổi.
Lời giải: (Hình 2.6)
Phương tích của A

đối với (C) là k = A

A.A

O.
Gọi I
k
A

là phép nghịch đảo cực A

, phương tích k, ta có:
I
k

k
A

.
Hình 2.6:
Q

∈ OQ nên Q” ∈ Γ, mặt khác Q

∈ d mà d đi qua cực A

nên Q” ∈ d.
Suy ra, giao điểm P

của d với Γ là Q

, do đó: A

P

.A

Q

= k, (không đổi vì
k = A

A.A

O là phương tích của A

−→
OL.
−−→
OM.
Gọi K là điểm đối xứng qua O của M, thì K thuộc đường tròn (C

) vì
hai đường tròn (C) và (C

) đối xứng với nhau qua O.
Do đó,
−−→
OK = −
−−→
OM và gọi f là phép nghịch đảo cực O, phương tích
k = OA
2
.
Hay k = −
−→
OL.
−−→
OM =
−−→
OK.
−→
OL thì f biến điểm L thuộc đường tròn (C)
thành điểm K thuộc đường tròn (C

). Mặt khác, phương tích của O đối với


) tiếp xúc với AB tại B.
Nhận xét: Bài toán trên đã sử dụng tính chất tâm của phép nghịch
đảo là điểm cố định, chứng minh P P

đi qua điểm cố định ta chứng minh
I
k
2
O
: P → P

, k
2
= OA
2
và OB
2
= OP

.OP , suy ra (BP P

) tiếp xúc với
AB tại B. Giúp giải quết bài toán một cách đơn giản, dễ nhìn, một lần nữa
cho ta thấy sự ưu việt của phép nghịch đảo trong toán chứng minh hình học
phẳng. Tiếp theo ta xét bài toán áp dụng tính chất bảo giác của phép nghịch
đảo.
Bài toán 2.1.8. Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một đường tròn
và không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng.Chứng minh góc giữa hai
đường tròn (ACD), (CDB) bằng góc giữa hai đường tròn (ABC), (ABD).