MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN

Bài 1. Tìm tất cả các cặp

Lời giải. Giả sử

các số nguyên thỏa mãn

là một cặp thỏa mãn.

Ta thấy

và

cũng là một cặp thỏa mãn.

Bây giờ ta chỉ xét
Nếu

ta có

Nếu

ta có

là số lẻ. Viết lại phương trình đã cho dưới dạng

Vì chỉ có đúng một trong hai số

chia hết cho


Suy ra

và

. Do đó

Thay vào

ta được

, bởi vậy

Thử lại thấy đúng.
Vậy các cặp số nguyên

phải tìm là

Bài 2. Tìm tất cả các bộ ba

Lời giải. Giả sử
Nếu
Như vậy
Do đó

các số tự nhiên thỏa mãn

là một bộ ba thỏa mãn.

là các số lẻ thì
phải chia hết cho



Bài 3. Với mỗi số nguyên dương
, với

gọi

là tập các số nguyên có thể biểu diễn dưới dạng

là số nguyên lớn hơn

a/. Chứng minh rằng
b/. Tìm
Lời giải.
a/. Nếu ngược lại thì có các số nguyên dương

Từ

ta có

lớn hơn

suy ra hai số

nhau. Bởi vậy, tồn tại các số nguyên dương

sao cho

là hai số nguyên tố cùng



Chứng minh rằng

thỏa mãn

Lời giải 1. Từ giả thiết ta có
Ta viết

Ở đây các

khác nhau. Từ

là các số nguyên tố Gauss không cần

không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
.

Suy ra

và

Từ đẳng thức cuối ta có
Bài toán được giải.
Lời giải 2. Nếu tồn tại những bộ ba thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng không có dạng mong muốn,
ta chọn

là một bộ ba như vậy có tổng ba thành phần nhỏ nhất. Ta thấy

tính tổng quát ta giả sử


và

Suy ra tồn tại các số nguyên

thỏa mãn

Từ đây ta có
Trái với cách chọn bộ ba

.

Bài toán được giải.

Bài 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương

thỏa mãn

có nghiệm nguyên dương.

Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương

sao cho phương trình

phương trình


có nghiệm nguyên dương.

Bài 7. Tìm tất cả các bộ ba