Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

SỬ DỤNG CÂU HỎI KẾT THÚC MỞ
TRONG PHÁT TRIỂN TƯ DUY
CỦA HỌC SINH CÓ NĂNG KHIẾU TOÁN
I. MỞ ĐẦU
Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay ở trường trung
học phổ thông là phải tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động
tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ của
học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có.
Ý nghĩa của việc học không chỉ là tiếp nhận thông tin mà phải bao gồm sự suy xét, phê
phán có ý thức và việc học phải được thực hiện chính bởi học sinh. Học sinh phải tự mình
tích cực kiến tạo tri thức toán học cho bản thân, tham gia vào các quá trình: nghi vấn, thảo
luận, giải thích, bác bỏ... qua đó phát triển tư duy của bản thân.
Như vậy điều quan trọng trong giáo dục Toán là nâng cao tư duy của học sinh. Đặc biệt
là đối với học sinh có năng khiếu toán học thì yêu cầu đó lại càng đòi hỏi cao hơn. Bởi vì các
học sinh có năng khiếu đòi hỏi những cơ hội được suy nghĩ theo nhiều hướng khác nhau,
những vấn đề mở, mà thách thức các em và khuyến khích phát triển tư duy bậc cao. Các em
cũng cần một môi trường mà có thể thúc đẩy tự nghiên cứu sáng tạo toán học.
Một trong những cách để phát triển tư duy cho học sinh đó là sử dụng câu hỏi kết thúc
mở. Những câu hỏi có kết thúc mở tạo cơ hội cho học sinh bày tỏ sự hiểu biết của mình về
toán học, cho phép nhiều câu trả lời đúng và khuyến khích một cách suy nghĩ khác của học
sinh, cho phép các em thể hiện các cách giải toán riêng của bản thân. Qua đó giúp các em
phát triển khả năng tư duy toán học của chính mình, làm cho các em trở nên năng động, sáng
tạo, biết tự suy nghĩ để giải quyết các vấn đề mà các em gặp phải trong quá trình học và cuộc
sống.
II. NỘI DUNG

liên tục.
• Không có lời giải cố định, có thể có nhiều lời giải
Ví dụ: Vẽ đồ thị của một hàm số đa thức biết đồ thị đi qua hai điểm (-3;0) và (1;0).
Với câu hỏi này các em có thể vẽ được rất nhiều đồ thị, chẳng hạn y = x 2 + 2 x − 3 ,
y = x 3 + x − 5 x + 3 hoặc y = −3x 3 − 7 x + 7 x + 3 .
• Được giải quyết theo nhiều cách khác nhau và trên nhiều mức độ khác nhau
Ví dụ: Một con kiến bò từ một đỉnh A đến đỉnh đối diện B của một hình lập phương có cạnh
là 2. Hỏi con kiến nên đi theo đường nào thì lợi nhất?
Với câu hỏi này tùy theo mức độ cuả các em mà có các câu trả lời khác nhau:
 Mức 1: Con kiến sẽ đi theo các cạnh của hình lập phương như trong hình vẽ. Khi đó
độ dài đường đi là 2+2+2=6.
 Mức 2: Con kiến sẽ đi theo đường chéo của một mặt và một cạnh. Độ dài đường đi
trong trường hợp này là: 2+2 2 .
 Mức 3: Nếu ta tưởng tượng trải hình lập phương ra thì đoạn thẳng nối hai điểm A và B
chính là hành trình của con kiến, độ dài đường đi là 2 5 . Đây là cách đi ngắn nhất.

A

Møc 1

B

B

B

A

Møc 2


g(x)= (x≠0)
x
2
______________________________________________________________________________
-2
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

 g(x) không liên tục vì nó đạt vô cực tại 0. (3)
 g(x) không liên tục vì đồ thị của nó không phải là một mảnh. (4)
Các câu trả lời của học sinh cho thấy sự hiểu biết của các em về tính liên tục của hàm số đến
mức độ nào. Câu trả lời (1) là đúng nhưng mà là “đúng trong lập luận sai” khi các em nghĩ
rằng bất kỳ một hàm số nào cho bởi một công thức đều liên tục. Còn các câu trả lời (2), (3),
và (4) là sai cả về lập luận.
• Những câu hỏi kết thúc mở cũng giúp chúng ta chú trọng đến một nhu cầu khác.
Thông thường chúng ta quan tâm nhiều đến việc thực hiện các quy trình có tính thuật
toán hơn là khi nào thì dùng chúng. Do đó nhiều học sinh biết dùng các quy trình toán
nhưng không biết dùng nó như thế nào.
Ví dụ 2: Em có thể tính log −2 (−8) không? Giải thích tại sao có hay không có?
Có học sinh sẽ dùng định nghĩa lôgarit: vì (−2) 3 = −8 , nên theo định nghĩa ta có: log −2 (−8) = 3
, nhưng em đó đã không để ý là trong định nghĩa a c = b ⇔ c = log a b thì a, b phải là số dương.
• Những câu hỏi kết thúc mở sẽ cho phép giáo viên có cách nhìn tốt hơn về việc hiểu
của học sinh các chủ đề toán, từ đó để chúng ta có thể thiết kế cách dạy bắt đầu với
những gì học sinh đã biết rồi và có thể làm được điều gì.


3


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

Thông thường từ các câu hỏi kết thúc đóng ta chuyển sang câu hỏi kết thúc mở.
Ví dụ 4:
• Vẽ đồ thị hàm số: y=-2x+5.
Với câu hỏi kết thúc đóng này học sinh thường lấy hai điểm, chẳng hạn (0;5) và (1;3)
và chỉ vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm này.
• Vẽ đồ thị của phương trình đường thẳng với hệ số góc âm và cắt Ox tại điểm có tung
độ dương. Giải thích tại sao đồ thị thỏa mãn các điều kiện đó?
Đây là câu hỏi kết thúc mở, đòi hỏi học sinh phải biết về hệ số góc, về “cắt Ox” và
mối quan hệ của chúng trong mặt phẳng tọa độ. Với câu hỏi này học sinh có rất nhiều
cách vẽ thỏa mãn.
Ví dụ 5:
• Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y =

x−5
.
x+2

Đây là câu hỏi kết thúc đóng. Học sinh chỉ cần cho mẫu số x+2 bằng 0 để có x=-2 là
tiệm cận đứng.
• Đưa ra phương trình của một hàm hữu tỉ mà đồ thị có tiệm cận đứng là x=-2. Giải

3.3. Yêu cầu học sinh giải hay giải thích bài toán bằng nhiều cách khác nhau:
Ví dụ 8: Nêu 5 phép dời hình khác nhau biến hình vuông ABCD thành chính nó.
Học sinh sẽ phải vận dụng tổng hợp kiến thức về các phép dời hình đã học như phép tịnh
tiến, phép quay, đối xứng trục, đối xứng tâm, hay là cao hơn là tích của các phép đó để chỉ ra
nhiều cách giải.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

4


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

3.4. Yêu cầu học sinh giải quyết bài toán với dữ liệu bị mất, ẩn giả thiết:
Ví dụ 9: Phương trình sau có nghiệm không. Giải thích. Nếu có hãy chỉ ra nghiệm của nó:
x 2 + 2 = 0 (1)
Với câu hỏi này, có học sinh khẳng định ngay là (1) vô nghiệm, có em sẽ nhận ra thiếu giả
thiết là cần xét trên tập số nào và cho thêm giả thiết là x thuộc tập số thực thì vô nghiệm,
nhưng nếu x thuộc tập số phức thì (1) có nghiệm x = ± 2i .
3.5. Yêu cầu học sinh đặt đề bài cho bài toán phù hợp với các dữ liệu đã cho.
Ví dụ 10: Đặt đề bài toán thích hợp cho hình vẽ sau:
Học sinh tự cho đơn vị của hệ trục tọa độ, và có thể
đặt ra nhiều dạng đề toán khác nhau. Chẳng hạn: Với y(...)
x (tính bằng giây) và y (tính bằng m) thì ta có bài
C
toán:

khối lượng. Học sinh có thể chỉ ra những ai có cúng
c©n
5 nÆng
chiều cao, cân nặng bằng nhau, và vẽ đường thẳng
từ gốc tọa độ qua các điểm có cùng tỷ số chiều
cao/cân nặng để tìm ra ai là cân đối nhất.
4. Vai trò của câu hỏi kết thúc mở trong việc phát triển tư duy của học sinh:
Sử dụng câu hỏi kết thúc mở trong dạy học có khả năng phát triển tư duy của học sinh,
đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo.
4.1. Câu hỏi kết thúc mở giúp học sinh phát triển tư duy phê phán:
Tư duy phê phán là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả mọi khía cạnh của bài
toán. Nó bao gồm các khả năng như: khả năng đọc để hiểu, việc nhận ra cái gì đang được hỏi,
nhận ra rằng có những điều kiện không đủ, những điều kiện nào mâu thuẩn, việc xem xét tính
có lý của lời giải thu được.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

5


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

Ví dụ 12: Bạn Nam nói “f(x)=mx(x+3)+(x+2)(x-5) luôn có hai nghiệm vì
f(0).f(-3)=-80
>1⇔

b
b
>
. Vậy
a+b a+b

a
b
a
+
> 1. Vì
1
B
a
a
>
a+b a+b

a
b
+
> 1.

của hình hộp và đường chéo của nó. Xét hình hộp chữ nhật với các cạnh là |a|, |b|, |c| thì
đường
chéo
là
a2 + b2 + c2 .
Như vậy qua việc giải bài toán theo nhiều cách đòi hỏi học sinh phải biết tổng hợp các kiến
thức đã học về chứng minh bất đẳng thức, biết chuyển đổi từ ngôn ngữ đại số sang hình học,
biết mở rộng và áp dụng ý tưởng chứng minh, qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho các em.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

6


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

Ví dụ 14: Vẽ trên giấy kẻ ô một hình vuông cạnh 2 đơn vị dài. Nối trung điểm của các cạnh
để tạo nên một hình vuông mới. Lặp lại quá trình tương tự như trên.
a) Vẽ 5 hình vuông đầu tiên bên trong
b) Viết dãy số biểu diễn diện tích của 5 hình vuông đó
c) Tìm diện tích hình vuông thứ n bên trong như thể nào?
Các câu trả lời tùy thuộc vào mức độ của học sinh:
 Một số học sinh có thể chuyển chính xác ngôn ngữ
lời thành ngôn ngữ hình học để vẽ chính xác, đầy đủ,
chỉ ra được sự lồng nhau của 5 hình vuông bên
trong. Các em sẽ thực hiện đến việc tính diện tích


 Cách

2:

4
1
= n−2
n
2
2

Dùng

1

công

thức

truy

5

1

hồi:
1

4

4
8
2

 Một số em sẽ không vẽ được hình. Một số sẽ không hiểu các thuật ngữ của đề bài và
vẽ hình sai, chẳng hạn như sau:

Qua ví dụ này trước hết rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc bài toán để hiểu, từ đó biết vẽ
hình chính xác, sau đó phát triển tư duy sáng tạo ở việc học sinh sẽ tìm ra nhiều cách tiếp cận
để giải bài toán.
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

7


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

5. Thiết kế hoạt động có sử dụng câu hỏi kết thúc mở:
Tam giác Pascal
 Em có thể vẽ tiếp các hình sau không? Giải thích vì sao em vẽ được như vậy?

Số tam giác: 1, 3, 6, 10, ???

3


 Em có thể tìm ra những quy luật nào giữa các số trong các hàng và đường chéo? Hãy
tìm
càng
nhiều
càng
tốt.
(quy ước: thứ tự các hàng tính từ trên xuống, bắt đầu từ 0)
Học sinh sẽ tìm ra được rất nhiều quy luật:
• Số tự nhiên: xuất hiện trên đường chéo thứ hai của tam giác
• Số mũ của 2:
1
20 = 1
1
1
21 = 1 + 1
1
2
1
22 = 1 + 2 + 1
1
3
3
1
23 = 1 + 3 + 3 + 1
1
4
6
4
1
24 = 1 = 4 + 6 + 4 + 1

Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

1

4

6

4

1

Trường THPT Đông Hà

114

Sự phát hiện này thể hiện một học sinh có năng khiếu toán thực sự. Mặc dù có thê em
chưa biết về định lý nhị thức, nhưng đây có lẽ là một “Pascal trẻ”. Kết quả này có thể
được giải thích như sau:
1
= 110 = (10 + 1)0
1
1
1

2
3


13
21
34
...
Để trả lời câu hỏi này, học sinh phải phát hiện ra được tính chất của dãy số là: hai số hạng
đầu tiên là 1, kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước đó.
F(n+1)=F(n-1)+F(n), n>1, F(1)=1, F(2)=1. Các số này gọi là số Fibonacci
 Số Fibonacci có thể tìm thấy trong tam giác Pascal như thế nào? Hãy tìm ra càng nhiều
cách càng tốt.
Học sinh sẽ phát huy sự tập trung và sáng tạo để tìm ra nhiều cách xuất hiện của số Fibonacci
trong tam giác
 Cách 1: Bằng cách cộng các số theo đường chéo vẽ như sau:
13
8
5
3
2 1
1
1
1
2
3
5
8
13
1
1
1
1
2

 Cách 2: Gấp đôi các cột của tam giác Pascal và sắp xếp lại như sau, rồi cộng các số
theo hàng:
1
1
1
1
2
1
1
1
3
1
1
2
1
5
1
1
3
2
1
8
______________________________________________________________________________
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà

9


Chuyên đề Toán


1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
1
3
1
5
1
4
3
8
1
5
6
1
13
...
...
...
...
...
 Cách 4: Viết gấp đôi các dòng của tam giác và sắp xếp lại, sau đó tính tổng trong mỗi
cột :

...
...
...
...
...
...
1
2
3
5
8
...
...
...
...
...
...
 Từ đó học sinh sẽ phát hiện ra mối liên hệ thú vị giữa các các số Fibonacci và tam giác
Pascal.
F(n+1) = 1.F(n) +1.F(n-1)
F(n+2) = 1.F(n) +2.F(n-1) +1.F(n-2)
F(n+3) = 1.F(n) +3.F(n-1) +3.F(n-2) +1.F(n-3)
F(n+4) = 1.F(n) +4.F(n-1) +6.F(n-2) +4.F(n-3) +1.F(n-4)
F(n+5) = 1.F(n) +5.F(n-1) +10.F(n-2)+10.F(n-3) +5.F(n-4) +1.F(n-5)
• Số Catalan:
 Có thể chia các tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác thành các tam giác sao cho các
đường chéo của chúng không cắt nhau như thế nào? Có bao nhiêu cách chia tất cả?
Học sinh vẽ hình và tìm ra các cách chia như sau: Tam giác chỉ có một cách chia, tứ
giác có 2 cách, ngũ giác có 5 cách, lục giác có 14 cách (có em sẽ không tìm ra được
kết quả như vậy!). Các số này được gọi là số Catalan.

3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10 10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35 21 7
1
1
8
28
56

2
2

20
70
15
56
5
14
chính giữa

252
210
42
trừ đi

...
...
...
các số cách nó một số.

6
1
5

20
6
14

252

______________________________________________________________________________ 11
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà


Chuyên đề Toán

Phương pháp giảng dạy

Trường THPT Đông Hà

1
2
5
14
42
...
 Cách 4: Trừ theo đường chéo, tính từ số ở cột chính giữa.
1=1
1=1
1=2-1
2=3-1
2=6-3-1
5=10-4-1
5=20-10-4-1
14=35-15-5-1
14=70-35-15-5-1
42=126-56-21-6-1
42=252-126-56-21-6-1
1
1

1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10 5
1
6
15
20
15
6
21
35
35 21
56
70
56
126 126
252(B)

A


Đề nghị:(ThS. Lê Văn Cả).
1) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình hướng
dẫn giải bài toán cho học sinh THPT.
2) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình dạy
khái niệm, định lý.
3) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình hướng
dẫn học sinh sáng tạo các bài toán.

______________________________________________________________________________ 13
ThS. Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà