Chương III
khái niệm về hàm truyền, hàm tần, đặc tính tần số của hệ thống tự động điều chỉnh
3.1 Phép biến đổi Laplace và phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dưới dạng toán tử
3.1.1. Khái niệm về phương pháp biểu diễn phương trình vi phân dưới dạng toán tử
Phương trình động của phần tử hay hệ thống tự động điều chỉnh khi được biểu diễn dưới dạng phương
trình vi phân có nhiều nhược điểm:
- Phương trình cồng kềnh, việc giải phương trình phức tạp, mất nhiều thời gian
- Khó có thể phân biệt ngay phương trình đó thuộc dạng phương trình động của khâu tiêu biểu nào
- Phương trình có thứ nguyên của các biến số: điện áp, áp suất khí nén, cường độ dòng điện v.v... chỉ mô
tả sự làm việc của các phần tử trong hệ thống tự động cụ thể. Vì vậy các phương trình của phần tử trong
hệ thống hoặc của hệ thống thường được viết dưới dạng khác chung hơn và thuận tiện hơn, đó dạng
phương trình động không thứ nguyên. Phương trình động không thứ nguyên là dạng phương trình trong
đó tất cả các đại lượng biến thiên (trừ biến số thời gian) đều không có thứ nguyên. Muốn chuyển từ dạng
phương trình có thứ nguyên sang dạng không thứ nguyên chỉ cần nhân và chia mỗi số hạng của phương
trình cho một đại lượng không đổi có thứ nguyên của biến số nằm trong số hạng đó. Thường lấy đại
lượng không đổi nói trên có giá trị bằng trị số định mức của biến số. Phương trình không thứ nguyên tuy
có thuận tiện hơn nhưng vẫn cồng kềnh và vẫn phức tạp khi tính toán.
Trong lý thuyết tự động điều chỉnh người ta thường biểu thị phương trình vi phân dưới dạng toán tử để
phương trình có dạng gọn hơn, đơn giản hơn và để giảm bớt quá trình biến đổi toán học trung gian khi
khảo sát quá trình động của hệ thống. Để biểu thị phương trình vi phân dưới dạng toán tử người ta đưa
vào những ký hiệu toán tử vi phân:
t
1 t
d
d2
d3
dn
= p; 2 = p 2 ; 3 = p 3 ; n = p n và ∫0dt = ; ∫0
p
dt
dt

dt
dt

có thể được viết dưới dạng toán tử:
(a3p3 + a2p2 + a1p + a0).x(t) = (b1p + bo).f(t)
Trong một số trường hợp p không những là ký hiệu mà còn có giá trị như một chữ số, ta có thể thực hiện
các phép tính đại số với số đó. Cụ thể là các phương trình vi phân được thành lập bởi các số gia của các
biến số với các giá trị của chính nó ở trạng thái ổn định. Như vậy các điều kiện ban đầu của phương trình
được xem như bằng không. Trường hợp này phương trình vi phân dưới dạng chứa toán tử p trùng với
phương trình vi phân dưới dạng toán tử biến đổi theo Laplace. Điều kiện đã nêu ra hoàn toàn phù hợp với
những giả thiết khi thành lập phương trình vi phân biểu thị quá trình động của phần tử hay hệ thống. Vì
thế có thể xem p như một trị số. Phương trình vi phân biểu thị quá trình động của phần tử hay hệ thống
dưới dạng toán tử có thể viết dưới dạng tổng quát:
A(p)y = B(p)x + C(p)f

(3.1.1)

34


y: đại lượng ra của phần tử hay hệ thống
x: đại lượng vào của phần tử hay hệ thống
f: tác động nhiễu loạn
A(p); B(p); C(p) là các đa thức chứa p
3.1.2 Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace và phép tính toán tử Laplace là phương pháp chủ yếu được sử dụng trong lý
thuyết tự động và trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác để nghiên cứu phương trình động và khảo sát các
phần tử và hệ thống tự động.
Như chúng ta đã biết trong toán học, ảnh Fourier F(jω) của hàm f(t) được định nghĩa như sau:
+∞

F(p) = ∫0 f (t ).e dt
− pt

(3.1.4)

Bên cạnh đó cần phải nhớ rằng giả thiết để tiến hành biến đổi Laplace một chiều là:
- f(t) = 0 với t < 0,
- hàm f(t) phải liên tục từng khúc khi t > 0
- hàm f(t) bị chặn (hội tụ) khi t => + ∞: nghĩa là tồn tại một số thực dương ú bất kỳ sao cho

e
lim
x →∞

− σt

f (t ) = 0

Phép biến đổi Laplace tìm ảnh Laplace F(p) của hàm f(t) được ký hiệu như sau:
L{f(t)} = F(p)

(3.1.5)

ở đây L là ký hiệu của phép biến đổi Laplace theo công thức (3.1.3) còn hàm theo thời gian f(t) cần phải
biến đổi gọi là hàm gốc. Nếu chúng ta biết ảnh Laplace F(p) thì có thể thực hiện phép biến đổi ngược để
tìm hàm gốc f(t) theo công thức sau:

f (t ) =
+∞


So với phép biến đổi Fourier thường được ứng dụng để phân tích các vấn đề tần số trong động lực học
nhằm hình ảnh hoá tính chất vật lý thì phép biến đổi Laplace không có bất kỳ một ý nghĩa vật lý nào.
3.1.3 Một số tính chất quan trọng và ảnh của một số hàm tiêu biểu qua phép biến đổi Laplace
Trong lý thuyết tự động một số hàm sau đây thường được ứng dụng như là hàm nhiễu chuẩn để khảo sát
các hệ thống và các phần tử tự động:
a. Hàm đột biến đơn vị 1(t)
b. Hàm đenta (hàm diraca) δ(t)
c. Bước nhảy của tốc độ f(t)
a. ảnh Laplace của hàm đột biến đơn vị (hàm bước nhảy đơn vị):
Hàm đột biến đơn vị được định nghĩa như sau:
1(t) = 0 khi t < 0
1(t) = 1 khi t > 0
Đặc tính của hàm đột biến đơn vị được mô tả trên hình 3.1.1

x(t)
1(t)
0

t

Hình 3.1.1: Hàm đột biến đơn vị

36


Hàm bước nhảy cho tín hiệu 1 đơn vị xuất hiện ngay tại thời điểm t = 0 và được duy trì sau thời điểm
đó.
Theo định nghĩa của phép biến đổi Laplace:
∞
1


0

1/K

t
Hình 3.1.2: Hàm đenta

Theo định nghĩa trên tích phân của hàm Diraca

∫

+∞

+0

−∞

−0

∫

δ( t )dt = ∫ δ( t )dt = 1 . Như vậy có thể viết

+0

−0

δ( t )dt = 1( t ) , nghĩa là hàm đột biến đơn vị sẽ là tích phân của hàm Diraca và ngược lại δ( t ) =


(3.1.9)

df ( t )
dt

(3.1.10)

hoặc ngược lại: 1(t) =
Theo phép biến đổi Laplace ta có:

37


L{f(t)} =

∫

∞

0

t.e −pt dt

Sử dụng phép tính tích phân từng phần ∫ u.dv = uv − ∫ vdu
với u = t và dv = e-pt.dt

e − pt
Hơn nữa du = dt; v = ∫ dv = ∫ e dt = −
p
− pt

(3.1.12)

Sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm ảnh

L{ e

αt

}=∫

∞

o

∞

e .e dt = ∫0 e
αt

− pt

∞

( α−p ) t

1
dt =
.e ( α−p )
α−p
0

o
p

g. ảnh của một đạo hàm
Với giả thiết hàm x(t) thoả mãn điều kiện ban đầu bằng không, nghĩa là x(t) = 0 khi t < 0 và x (k)(0) = 0
với k = 1, 2, ..., n-1 thì:
L{x(n)(t)} = pn.X(p)
h. Tính chất tuyến tính

38


L{a.x1(t) + b.x2(t)} = a.L{x1(t)} + b.L{x2(t)} với a, b là các hằng số
i. Tính chất giới hạn

x(t ) = lim p.X(p )
- Giá trị đầu: lim
t →+0
p →∞

x(t ) = lim p.X(p )
- Giá trị cuối: lim
t →∞
p →+0
3.2 Hàm truyền và phương pháp biểu thị hệ thống bằng sơ đồ khối
3.2.1 Khái niệm về hàm truyền:
Với việc sử dụng ảnh Laplace của các hàm cơ bản và những định lý cơ sở của phép biến đổi Laplace
như định nghĩa về tính tuyến tính, về đạo hàm, về tích phân... (xem lại lý thuyết về phép tính toán tử) ta
có thể giải quyết được rất nhiều vấn đề cụ thể của hệ thống tự động. Ví dụ như dùng phép biến đổi
Laplace để biến đổi phương trình dạng tổng quát của hệ thống dạng:

an.pn.Y(p) +an-1.pn-1.Y(p) + ...+ a1.p.Y(p) + ao.Y(p)
= bm.pm.X(p) + bm-1.pm-1.X(p) +...+ bo.X(p)
Nếu biết được hàm cưỡng bức x(t) (hàm của tín hiệu vào), dùng bảng tra ảnh Laplace của một số hàm
tiêu biểu có thể tìm được ảnh Laplace 2 vế của phương trình (3.2.1).
Với điều kiện ban đầu bằng không:

x t =0 = x' t =0 = ... = x m t =0 ; y t =0 = y' t =0 = ... = y n t =0

(3.2.2)

Ký hiệu L{x(t)} = X(p) và L{y(t)} = Y(p), thực hiện phép biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương
trình (3.2.1) ta nhận được:
an.pn.Y(p) +an-1.pn-1.Y(p) + ...+ a1.p.Y(p) + ao.Y(p)
= bm.pm.X(p) + bm-1.pm-1.X(p)+...+bo.X(p)
Từ đó rút ra:

G(p) =

Y(p ) b m p m + b m−1p m−1 + ... + b o
=
X(p ) a n p n + a n −1 p n−1 + ... + a o

(3.2.3)

Y(p ) b m p m + ... + b o
G( p ) =
=
X(p ) a n p n + ... + a o

(3.2.4)


G2(p)

Hình 3.2.1: Sơ đồ khối của một phần tử và của một hệ thống
Với các phần tử có nhiều tín hiệu vào và nhiều tín hiệu ra sơ đồ khối được biểu thị trên hình 3.2.2

x1

y1
G(p)

xn

yn

Hình 3.2.2: Sơ đồ khối của phần tử có nhiều tín hiệu vào và ra
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định hàm truyền của phần tử có nhiều tín hiệu ra và vào như trên. ở
phần tử có dạng trên mỗi một sự thay đổi của tín hiệu vào sẽ làm ảnh hưởng đến từng tín hiệu ở đầu ra, vì
thế sẽ tồn tại rất nhiều phương trình biểu thị mỗi quan hệ giữa các tín hiệu trong phần tử (số lượng phụ
thuộc vào chỉ số m, n), và mỗi phương trình đều có một hàm truyền thành phần tương ứng. Để xác định
hàm truyền chung ta có thể viết mối quan hệ giữa các tín hiệu của phần tử bằng các phương trình sau:
Với sự thay đổi của tín hiệu vào x1:
Y11(p) = G11(p). X1(p); Y12(p) = G12(p).X1(p);...Y1m(p) = G1m(p).X1(p)
Với sự thay đổi của tín hiệu vào x2:
Y21(p) = G21(p). X2(p); Y22(p) = G22(p).X2(p);...Y2m(p) = G2m(p).X2(p)
Với sự thay đổi của tín hiệu vào xm:
Yn1(p) = Gn1(p).Xm(p); Yn2(p) = Gn2(p).Xm(p);...Ynm(p) = Gnm(p).Xm(p)
Hơn nữa:
Y1(p) = G11(p).X1(p) + G21(p).X2(p) + ...+ Gn1(p).Xm(p)
.............................................................


(3.2.7)

Trong lý thuyết tự động, việc nối các phần tử với nhau trong hệ thống được chia thành 3 loại cơ bản:
- Các phần tử mắc nối tiếp với nhau
- Các phần tử mắc song song với nhau
- Các phần tử nối với nhau theo liên hệ ngược
Chúng ta lần lượt xét từng nguyên lý nối các phần tử với nhau trong hệ thống.
a. Các phần tử mắc nối tiếp với nhau

G1(p)

G2(p)

Gn(p)

Hình 3.2.3: Hệ thống các phần tử mắc nối tiếp nhau
Từ công thức xác định hàm truyền theo định nghĩa chúng ta có:
X1(p) = G1.X(p)

(3.2.8)

X2(p) = G2.X1(p) = G1.G2.X(p)
......................

(3.2.9)

Y(p) = Gn.Xn-1(p)
Suy ra Y(p) = Gn.Gn-1...G1.X(p)


vào của hệ thống), còn tín hiệu ra của từng phần tử thì khác nhau và phụ thuộc vào hàm truyền của mỗi
phần tử này. Tín hiệu ra của hệ thống là tổng hợp các tín hiệu thành phần.
Y(p) = Y1(p) + Y2(p) + ...+ Yn(p)
Theo định nghĩa hàm truyền ta có thể viết:
Y1(p) = G1.X(p)
Y2(p) = G2.X(p)
..............
Yn(p) = Gn.X(p)
Cộng hai vế của tất cả các phương trình trên ta có:
Y1(p) + Y2(p) + ...+Yn(p) = X(p).G1 + X(p).G2 +...+ X(p).Gn
Y(p) = (G1 + G2 + G3 +...+ Gn).X(p)

G( p ) =

n
Y( p )
= G 1 + G 2 + ... + G n = ∑ G i
i =1
X(p)

(3.2.11)

Vậy hàm truyền tổng hợp của hệ thống tự động có n phần tử mắc song song với nhau sẽ bằng tổng các
hàm truyền thành phần.
c. Các phần tử mắc với nhau theo kiểu có liên hệ ngược
Kiểu liên kết các phần tử có mạch liên hệ ngược rất phổ biến trong các hệ thống tự động. Có 3 dạng mắc
các phần tử thành mạch có liên hệ ngược (mạch phản hồi) như sau:
-Kiểu hàm truyền ở mạch phản hồi Gph = 1

X(p)

W ( p)
E( p )

(3.2.13)

e = x - y => x = e + y => X(p) = E(p) + Y(p)

(3.2.14)

G1 (p ) =
Với liên hệ ngược âm:
Từ các biểu thức 3.2.12; 3.2.13; 3.2.14 ta có:
G ( p) =

Y ( p)
X ( p)

=

Y (p)
E ( p) + Y ( p)

G( p ) =

=

Y ( p) / W ( p)
E (p) / W ( p) + Y ( p) / W ( p)

G 2 (p)


Hình 3.2.6: Hệ thống có mạch liên hệ ngược
Trên thực tế thông số ra của hệ thống y lại chính là độ lệch e. Trong trường hợp này hàm truyền tổng
hợp của hệ thống được gọi là hàm truyền độ lệch và có ký hiệu là Ge(p).
Có: G 1 (p ) =

X rph (p )
X rph (p ) X rph (p )
W( p )
=
và G 2 ( p ) =
=> G 1 ( p).G 2 ( p ) =
Y( p )
W( p )
Y( p )
E( p )

Với liên hệ ngược âm: e = x - xrph => x = e + xrph => X(p) = E(p) + Xrph(p)

43


G e (p ) =

Y ( p ) E( p )
E( p )
=
=
=
X(p ) X(p ) E( p ) + X rph (p )

Y( p )
và G 2 ( p ) =
=> G1 ( p ).G 2 (p ) =
E( p )
Y( p )
E( p )
Y( p )
Y( p )
Y( p )
G1 ( p )
E( p )
G( p ) =
=
=
=
X (p ) 1 + G 1 (p ).G 2 ( p )
X( p ) E(p ) + X rph (p )
1 + rph
E( p )

(3.2.17)

Với liên hệ ngược dương, dấu (+) ở mẫu số sẽ được thay bằng dấu (-).
Ba biểu thức xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống có liên hệ ngược 3.2.15, 3.2.16, 3.2.17 có mẫu
số M(p) = 1 ± G1(p).G2(p) giống nhau, chỉ có tử số (chính là hàm truyền ở mạch chính) là khác nhau.
Vậy: Hàm

truyền tổng hợp của hệ thống có liên hệ ngược bằng tỷ số giữa hàm

truyền ở mạch chính của hệ thống với biểu thức 1 + tích của tất cả các hàm

1

1

2

2
3.

Phân chia mạch giữa 2 nút thông tin

G

G
4.

5.

Hoán vị nút tổng hợp

y
x1 + x1+x3
+
x3
x2 -

y
x1 + x1-x2
x2
x3 +

G

x1

G
7.

±

x3

3

6.

G

±
G

x2

x3

Hoán vị nút thông tin sang phía trước phần tử

x

x


G
y

9.

Chuyển nút tổng hợp sang phía trước phần tử

45


x1 +
±

x2

y

G

x1

+

G

y
±
G

x2

x1 +
x2

y

+

-

-

+

y

x2

y

12. Tạo thêm nút tổng hợp tương đương cho tín hiệu (x)

x1

y

+
x2

x1


G3

Biến đổi sơ đồ tương đương:

x

G2

+

+

G1.G2

-

+

+
y

G3
x

G1.G2
1+G1.G2.G3

+

+


+

G1

-

-

G2

y

G3
G5

Biến đổi sơ đồ tương đương và xác định hàm truyền tổng hợp của hệ thống như sau:

G4
+

x

+

G1

-

1/G3

1 + G 2 .G 3 .G 5

y

G 1G 2 G 3
1 + G 2 .G 3 .G 5
G1 .G 2 .G 3
G ( p) =
=
G1 .G 2 .G 3
G
1 + G 2 .G 3 .G 5 + G1 .G 2 .(G 3 − G 4 )
1+
(1 − 4 )
1 + G 2 .G 3 .G 5
G3
3.2.2 ứng dụng hàm truyền để giải các phương trình vi phân thông thường
Trong lý thuyết tự động việc khảo sát tính chất động của hệ thống tự động là vấn đề rất quan trọng để có
thể đánh giá được khả năng ứng dụng thực tế (với quá trình thiết kế hệ thống) và khả năng làm việc hiện
tại của hệ thống (với quá trình kiểm tra tình trạng hệ thống). Quá trình động của hệ thống tự động thường
được mô tả bằng các phương trình vi phân. Để khảo sát tính chất động của hệ thống phải giải được
phương trình vi phân mô tả trạng thái của hệ thống. Các hệ thống tự động phức tạp thường có phương
trình động là phương trình vi phân bậc cao, việc giải phương trình vi phân bậc cao theo phương pháp cổ
điển gặp rất nhiều khó khăn và nhiều khi không giải được. Với việc ứng dụng hàm truyền ta có một số

47


phương pháp giải các phương trình vi phân một cách đơn giản hơn. Phần sau đây sẽ trình bày một vài
phương pháp ứng dụng hàm truyền để giải phương trình vi phân.

p
+
15
−
p 2 + 4p + 3
p 2 + 4p + 3
Ta nhận được đa thức bậc hai (2p2 - 5p + 15) và phân số thật

43p + 45
p2 + 4 + 3

ảnh Laplace ngược của đa thức bậc (n-m) thường là các hàm đặc biệt, chẳng hạn hàm xung δ(t) và ảnh
của nó.
Để tìm được ảnh Laplace ngược của phân số thật phải khai triển phân số này thành các phân số đơn
giản, muốn thế trước hết phải tìm nghiệm p1, p2 ...pn của đa thức mẫu số M(p) = 0. Nghiệm p1, p2 ...pn của
M(p) = 0 có thể là:
- Nghiệm thực đơn
- Các cặp nghiệm phức
- Nghiệm lặp nhiều lần (thực hoặc phức)
Trường hợp 1: Đa thức mẫu số có tất cả các nghiệm là nghiệm thực đơn. Khi dó có thể viết Y(p) dưới
dạng:

Y( p ) =

N (p)
(p − p 1 )(p − p 2 )...(p − p n )

(3.2.19)

Khai triển thành phân thức đơn giản:

p − pn

(3.2.21)

Cho p = p1 có nghĩa là p - p1 = 0

C 1 = (p − p 1 ).Y(p ) p=p

(3.2.22)

1

Tổng quát: C k = (p − p k ).Y(p ) p =p k

(3.2.23)

Hoặc có thể sử dụng công thức L'Hospital C k =

N (p)
N(p k )
=
M' ( p ) p = p M' ( p k )
k

ở đây N(p k ) = N(p) p =p k và M' (p k ) =

d
[ M(p )]
dp
p =p

n

L−1{Y(p )} = y( t ) = ∑ C k .e p

k .t

(3.2.26)

k =1

Ví dụ minh hoạ: Tìm hàm gốc của hàm Y(p ) =

3p + 10
p 2 + 7p + 12

(3.2.27)

Nghiệm của đa thức mẫu số p 2 + 7p + 12 = 0 là p 1 = - 3, p2 = - 4. Khai triển Y(p) thành tổng của các
phân thức đơn giản:
C
C
3p + 10
3p + 10
=
= 1 + 2
p + 7 p + 12 ( p + 3)(p + 4) p + 3 p + 4

(3.2.28)

2


Vậy y(t ) = e

−3 t

+ 2 e −4 t

Trường hợp 2: Đa thức mẫu số có nghiệm là các cặp nghiệm phức p = a ± jω.
Biến đổi hàm truyền Y(p) thành dạng Y(p ) =

N (p)
p+a
ω
= α.
+ β.
với α, β
2
2
M( p )
(p + a ) + ω
( p + a )2 + ω2

là các hệ số là hằng số. Sau đó áp dụng các công thức xác định ảnh Laplace ngược của các hàm cơ bản có
sẵn trong bảng tra:

p+a
ω
−at
−1
L−1{

Y( p ) =

2p + 9
2(p + 2) + 5
p+2
5
=
=
2
+
p 2 + 4p + 29 (p + 2)2 + 52
( p + 2) 2 + 5 2 ( p + 2)2 + 5 2

(Trong trường hợp này α = 2 và β =1)
Tra bảng ta có:

5
p+2
→ e −2 t cos 5t và
→ e −2 t sin 5t
2
2
2
2
( p + 2) + 5
( p + 2) + 5
Suy ra y(t) = 2e-2t.cos5t + e-2t.sin5t = e-2t.(2cos5t + sin5t)
3.3.3 Hàm tần số, đặc tính tần số, đặc tính lôgarrit tần số
3.3.1 Khái niệm về hàm tần
Trong phần trên ta đã nói đến hàm truyền của hệ thống hoặc một phần tử, thông qua hàm truyền có thể

A

G(p
)

ω

Hình 3.3.1: Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra khi tần số thay đổi
Giả sử biên độ của tín hiệu ra B tỷ lệ với biên độ A của tín hiệu vào B = α.A. Nếu tín hiệu vào có biên
độ A = 1 thì:
x = sinωt và y = α.sin(ωt + ϕ)

(3.3.2)

Sau đây ta sẽ dùng các phương pháp toán học để khảo sát hàm tần số và đặc tính tần số của hệ thống.
Giả sử đưa vào phần tử hay hệ thống tự động một tín hiệu dao động với tần số ω thay đổi x = x1 = sinωt
thì tín hiệu ra (ở trạng thái ổn định) sẽ là y = y 1 = α.sin(ωt + ϕ). Nếu đưa vào phần tử hay hệ thống tín
hiệu x = x2 = cosωt thì sẽ nhận được tín hiệu ra y = y 2 = α.cos(ωt + ϕ). Theo nguyên lý tổng hợp các tín
hiệu nếu ta đưa vào phần tử hay hệ thống tín hiệu tổng hợp x = x 1 + x2 = sinωt + cosωt thì phản ứng của
phần tử hay hệ thống với tín hiệu này là y = y1 + y2 = α.[sin(ωt + ϕ) + cos(ωt + ϕ)].
Nếu đưa vào tín hiệu là dao động phức:
x1 = jsinωt thì nhận được y1 = jα.sin (ωt + ϕ)
x2 = cosωt thì nhận được y2 = α.cos(ωt + ϕ)
Theo công thức ơle:
x = x1 + x2 = cosωt + jsinωt = ejωt
y = y1 + y2 = α.[cos(ωt + ϕ) + jsin(ωt + ϕ)] = α.ej(ωt+ϕ)
Vậy phản ứng của phần tử hay hệ thống với tín hiệu vào là dao động phức
x = ejωt có dạng y = α.ej(ωt + ϕ)

(3.3.3)

n
dt

(3.3.5)

Thay 3.3.4 và 3.3.5 vào phương trình động tổng quát của phần tử hay hệ thống tự động

dny
d n −1y
dmx
a n n + a n −1 n −1 + ... + a o = b m m + ... + b o được phương trình dạng phức:
dt
dt
dt
an.(jω)n.y + an-1.(jω)n-1.y +...+ ao.y = bm.(jω)m.x + bm-1.(jω)m-1.x +...+ bo.x
Sau khi sắp xếp lại chúng ta có:
[an.(jω)n + an-1.(jω)n-1 +...+ ao].y = [bm.(jω)m +...+ bo].x
Đặt G( jω) =

Y( jω) b m ( jω) m + b m−1 ( jω) m−1 + ... + b o
=
X( jω) a n ( jω) n + a n−1 ( jω) n−1 + ... + a o

(3.3.6)

G(jω) được gọi là hàm tần số hay hàm truyền phức.
So sánh hàm tần số G(jω) và hàm truyền G(p) chúng ta thấy:

G( jω) = G(p ) p= jω



52


pha ϕ(ω). Giá trị của hàm tần G(jω) phụ thuộc vào các hệ số a k (k = 1~n), bk (k = 1~m) của phương trình
vi phân và phụ thuộc vào tần số dao động riêng ω của tín hiệu.
Vì j là số phức nên hàm tần G(jω) cũng là một số phức. Để tách riêng phần thực và phần ảo của G(jω)
nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số sau đó tiến hành khai triển và đơn giản hoá để
viết hàm tần dưới dạng phức G(jω) = R(ω) +jQ(ω) trong đó R(ω) là phần thực, Q(ω) là phần ảo.
Hàm

tần

còn

có

thể

được

biểu

diễn

dưới

dạng

G(jω)

-1
-1.5
-2
-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

Hình 3.3.3: Đặc tính tần số – biên độ, pha (biểu đồ Nyquist)
Ta có hàm tần:
G(jω) = R(ω) + jQ(ω)
Biểu diễn hàm tần trên mặt phẳng phức:
ứng với giá trị ω = ω1 có Q1(ω); R1(ω), cho ω biến thiên từ 0 ÷ ∞; 0 ÷ -∞ xác định được một đường cong
trên mặt phẳng phức.
Chú ý: Nếu phần thực R(ω) là hàm số chẵn và phần ảo Q(ω) là hàm số lẻ thì đặc tính tần số - biên độ,

Imaginary Axis

5

0

-5

-10
-40

-30

-10

0

10

Real Axis

Bảng biến thiên:
ω
R(ω)
Q(ω)

-20

0
4

(3.3.10)

hoặc viết dưới dạng phức:

α.e Ñϕ = α1 .e jϕ .α 2 .e jϕ ...α n .e jϕ = α1 .α 2 .α 3 ...α n .e j ( ϕ +ϕ +...+ϕ )
1

2

n

Từ đây rút ra α = α1.α2...αn và ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ...+ ϕn

1

2

n

(3.3.11)

(3.3.12)

Từ 3.3.12 ta thấy để tính acgument ϕ của hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc nối tiếp có thể sử dụng
đặc tính pha- tần bằng cách cộng các toạ độ của các đặc tính với giá trị ω xác định. Tuy nhiên không thể
xác định môđun (biên độ) α của hàm tần tổng hợp bằng cách cộng đồ thị đặc tính hàm tần số của các
phần tử mắc nối tiếp như trên. Nếu áp dụng 3.3.12 để xác định môđun của hàm tần, chúng ta phải nhân
các toạ độ của các đặc tính tần số. Đây là một việc không làm được trên đồ thị. Với khái niệm đặc tính
lôgarit môđun (lgα) với lôgarit của tần số (lgω), hoặc lôgarit của tần số nhân với hằng số thời gian T
(lgTω), lấy lôgarit cả hai vế của 3.3.12:


ϕ(ω)

100

101 lgω
ự

-20
-40
-60
-80
10

-1

10

0

10

1

Hình 3.3.5: Đặc tính lôgarit tần số - biên độ
Frequency (rad/sec)

Thông thường các đồ thị đặc tính lôgarit tần số - biên độ, lôgarit tần số - pha được biểu thị trên cùng một
đồ thị gọi là đặc tính lôgarit tần số - biên độ, pha hay đặc tính lôgarit tần số.
Ví dụ: Xây dựng đặc tính lôgarit tần số của hệ thống có L(ω) như sau:

∞
0
0

Phương trình các đường tiệm cận LTC
Khi ω → 0: LTC(ω) = 20lgK - 20lg1 = 20lgK
Khi ω → ∞: LTC(ω) = 20lgK - 20lgTω
Đồ thị:

56


Bode Diagrams

20lgK

L(ω) dB
25

Phase (deg); Magnitude (dB)

20

20 lg

15
10

K
T 2 ω2 + 1

3.3.3. Đại số hàm tần
Đại số hàm tần (các phép tính về hàm tần) cũng tương tự như hàm truyền.
a. Hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc nối tiếp:
Hàm tần tổng hợp của các phần tử mắc nối tiếp bằng tích hàm tần của tất cả các phần tử
n

n

n

i =1

i =1

G( jω) = ∏ G i ( jω) = ∏ α i (ω).e

j[

∑ ϕj ( ω) ]
i =1

.

n

n

i =1

i =1

Câu hỏi ôn tập:
1. Trình bày về hàm truyền và phương pháp mắc các phần tử
2. Trình bày về hàm tần và đặc tính tần số hàm tần
3. Trình bày đặc tính logarit tần số của hàm tần

58