Bộ giáo dục đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào trờng trung học phổ thông chuyên năm 2015
Môn thi : Toán
(Dùng cho mọi thí sinh thi vo trng chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
2

a b 1 1
+ + 1ữ ữ
b a
a b
Cõu 1 (2.5 im ) Cho biu thc P = 2 2
vi a>0 , b>0 a b
a b a b
+ + ữ
b2 a2 b a
1
1 Chng minh p =
ab
2 Gi s a, b thay i sao cho 4a + b + ab = 1 . Tỡm min P

Cõu 2 ( 2 im ) cho h phng trỡnh.
x my = 2 4m




Bộ giáo dục đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

đề thi tuyển sinh

Đề chính thức

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015


Môn thi: TON
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
Cõu 1: (2,5 im)
1. Cho a 0, a # 1. Rỳt gn biu thc
a 1

S = 6 4 2 . 3 20 + 14 2 + 3 ( a + 3) a 3a 1 :
1
2( a 1)

2. Cho x,y tha món 0< x
(mt im c gi l im nguyờn nu honh v tung ca im ú l cỏc s
nguyờn).
Chng minh rng hai ln din tớch ca tam giỏc ABC l mt s nguyờn.
I HC S PHM H NI
HNG DN THI TUYN SINH VO TRNG THPT CHUYấN NM 2015
Mụn thi :TON
( Dựng cho mi thớ sinh vo trng chuyờn )


2

 a b  1 1 
 + + 1÷ − ÷
 b a  a b 
Câu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức P = 2
với a>0 , b>0 a ≠ b
a b2  a b 
+ − + ÷
b2 a2  b a 
1
1 Chứng minh p =
ab
2 Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a + b + ab = 1 . Tìm min P

Hướng dẫn

2
2
2
 a 2 + b 2 + ab  ( a − 2ab + b ) a 4 + b 4 − a 3b − ab3


2) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
1 = 4a + b + ab ≥ 5 ab
1
⇒
≥ 25
ab

Min(P)=25 khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100a2 suy ra a =

1
2
;b = ;
10
5

Câu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trình.
 x − my = 2 − 4m

 mx + y = 3m + 1

Với m là tham số
1 Giải phương trình khi m = 2
2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của
2
2
của hệ phương trình .chứng minh đẳng thức x0 + y0 − 5 ( x0 + y0 ) + 10 = 0
Hướng dẫn
1)Thay m = 2 ta có
19

 x = my + 2 − 4m
⇔

 mx + y = 3m + 1
m( my + 2 − 4m) + y = 3m + 1
 x = my + 2 − 4m
⇔ 2
2
m y + 2m − 4m + y = 3m + 1

3m 2 − 3m + 2
 x = my + 2 − 4m
x
=
 x = my + 2 − 4m


m2 + 1
2 ⇔
⇔ 2
⇔


m + 1 + 4m
2
2
(m + 1) y = m + 1 + 4m
y =
 y = m + 1 + 4m
2

÷ +
÷ + 15
m2 + 1
m2 + 1

 

2

2

3m 2 − 3m + 2 3m + 3 + 12m 2  −3m − 1   m − 3 
+
+
= 2
÷ + 2 ÷
m2 + 1
m2 + 1
 m +1   m +1
3m 2 − 3m + 2 3m + 3 + 12m 2
+
+
+ 15 = 0
m2 + 1
m2 + 1

Cách khác

x02 + y02 − 5 ( x0 + y0 ) + 10 = 0



(

)

⇔ x 2 ( a + b ) − 2 x a 2 + b 2 + a 3 + b3 = 0

Nếu a + b = 0 thì phương trình có nghiệm x = 0.
Nếu a + b ≠ 0. ta có

(

∆ = −2 ( a 2 + b2 )

)

2

− ( a + b ) ( a3 + b3 )

= 2a 2b 2 − ab3 − a 3b = − ab ( a − b )

2

Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m
Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm
Phương trình có nghiệm duy nhất khi a và b khác dấu và ∆ = 0 suy ra a = b .
Câu 4. ( 3điểm ) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 60 0 .
Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.
1> Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp .

BK
1


o
o
o
0
·
·
·
·
·
Xét tam giác ABC: KCB
1 = 180 − BAC − ABC = 180 − 60 − ABC = 120 − ABC
o
o
0
·
· K = 180o − BKC
·
·
·
·
= BC
Xét tam giác BC1K: BIK
1
1 − ABC = 180 − 60 − ABC = 120 − ABC

·

 2
 a + b + ÷ b + a + ÷ =  2a + ÷ 2b + ÷
4 
4 
2 
2


Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
2

3  2
3  2 1
1  2 1
1 
1
 2
 a + b + ÷ b + a + ÷ =  a + + b + ÷ b + + a + ÷ ≥  a + b + ÷
4 
4 
4
2 
4
2 
2

2

1 


Tìm giá trị của biểu thức P = x + y + x 2 − xy + y 2
Hướng dẫn
1)


 a −1

S = 6 − 4 2 . 3 20 + 14 2 + 3 ( a + 3) a − 3a − 1 : 
− 1
 2( a − 1) 


a − 2 a +1÷
= 2 − 2 2 + 2 + a −1 : 
 2 a −1 ÷


= 2+2 = 4

(

)(

) (

)

(


+ 
+ 
÷ − 3 xy =
÷
2
2
 2 
 2 
1 + 3 xy 1 − 3 xy
=
+
2
2
=

Nếu xy>1/3 Thì P = 3xy
Nếu xy ≤ 1/3 thì P = 1
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình
Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh
parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabol (P) y = ax 2 với a < 0 là hình biểu diễn cổng
mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?
Hướng dẫn


1. Áp dụng định lý py ta go Vào ∆ HGO ta có OH2 = OG2 – GH2 = (2 5) 2 − 4 = 16
⇒ OH = 4 ⇒ /y/ = 4 thay x = 2
4 = /a/4 suy ra a= -1 Vì a
Cho tam giác nhọn ABC (AB

Đặt A(x2,y2). B(x3,y3). C(x1,y1) Thỡ P cú hoành độ là x1 . D có hoành độ x2, N cú hoành độ
là x3. R có tung độ y2 . S có tung độ là y1. T có tung độ là y3.
SABC = SCBNP- SABND- SADPC
1
1
1
( y3 + y2 ) ( x3 − x1 ) − ( y3 + y2 ) ( x3 − x2 ) − ( y2 + y1 ) ( x2 − x1 )
2
2
2
1
= ( y3 x3 − y3 x1 − y2 x1 + y2 x3 − y3 x3 + y3 x2 − y2 x3 + y2 x2 − y2 x2 + y2 x1 − y1 x2 + y1 x1 )
2
1
= ( − y3 x1 − y2 x1 + y3 x2 + y2 x1 )
2
1
1
= x1 ( y2 − y1 ) + y3 ( x2 − x1 )
2
2
=

2 SABC = x1(y2-y1) + y3(x2-x1)


Vì các tọa độ là các số nguyên vậy diện tích hai lần diện tích tam giác ABC là số nguyên
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

2+ y

+

2+ x
1+ y

Câu III
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)và điểm P nằm trong tam giác
thỏa mãn PB=PC.D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C) sao cho
P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp
tam giác DAC .Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB
tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại
F khác C.
1) Chứng minh bốn điểm A,E,P, F cùng nằm trên một đường tròn .
2).Giả sử đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A,đường thẳng AF
cắt đường thẳng QC tại L .Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam
giác CLF.
3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB chứng minh
∠QKL + ∠PAB = ∠QLK + ∠PAC

Câu IV .
Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng
thời các điều kiện
i)Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử
ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của
hai tập này khác nhau.


Chng minh rng m 900

vn tc xe mỏy trờn

3
1
quóng ng u khụng i v vn tc xe mỏy trờn
4
4

quóng ng sau cng khụng i .Hi xe mỏy b hng lỳc my gi ?
Câu 3 (2 điểm) Trong mt phng ta Oxy cho Parabol (P) : y=x2 v ng
2
3

thng (d) : y = (m + 1)x +

1
(m l tham s )
3

1.Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m (P) v (d) luụn ct nhau ti 2 im
phõn bit .
2. Gi x1 ; x 2 l l honh giao im (P) v (d) ,t f(x) = x 3 + (m + 1)x 2 x
1
(x 1 x 2 ) 3
Chng minh rng f(x 1 ) f(x 2 ) =
2
Câu 4 (3 điểm): Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn (O;R) ng kớnh AC
.Gi AC ct BD ti E ,, gi K,M l chõn ng vuụng gúc k t A v C xung BD
( bit K thuc on BE , K B; K E ).ng thng i qua K song song vi BC ct
AC ti P.


)(

)

3

3

a− b
a+ b
− b b + 2a a
3
( a − b)
−
a − b a + ab + b

(

)(

)

(

(

)

3 a a+ b

3 a
a− b

)

)

)

3
quãng đường ban đầu là x (km/h) x>10
4

1
quãng đường sau là x-10 (km/h)
4
3
90
Thời gian đi trên
quãng đường ban đầu là (h)
4
x
1
30
( h)
Thời gian đi trên
quãng đường sau là
4
x


+
y =
3
3


PT(1) có hệ số a và c trái dấu nên luôn có 2 nghiệm phân biệt mọi m nên (P) và
(d ) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m.
− 2(m + 1)


− 3( x1 + x 2 )
 x1 + x 2 =
m + 1 =
3
⇔
2
b) theo Vi ét 
x x = − 1
3 x x = −1
 1 2
 1 2
3

ta có
f ( x1 ) − f ( x 2 ) = x13 − x 23 + (m + 1)( x12 − x 22 ) − x1 + x 2
2( f ( x1 ) − f ( x 2 ) ) = 2 x13 − 2 x 23 − 3( x1 + x 2 )( x12 − x 22 ) − 2 x1 + 2 x 2
2( f ( x1 ) − f ( x 2 ) ) = − x13 + x 23 + 3x1 x 2 ( x 2 − x1 ) − 2( x1 − x 2 )
2( f ( x1 ) − f ( x 2 ) ) = − x13 + x 23 + ( x1 − x 2 ) − 2( x1 − x 2 )



1. Ta có ∠PAD = ∠PKD
( cùng bằng ∠ CBD đồng vị ) nên tứ giác AKPD nội tiếp ( quỹ tích cung chứa
góc)
2.Theo phần 1 thì DP vuông góc AC nên MDCP nội tiếp suy ra:
∠MPD = ∠MCD mà ∠MCD = ∠ACB ( cùng phụ 2 ∠MDC = ∠ACB ) mà


APK = ACB ( ng v ) nờn MPD = APK Ta cú
MPD + MPE = 90 0 APK + MPE = 90 0 suy ra KP PM.
3.ta cú AD = R 3 Pitago tam giỏc vuụng AKD vuụng ti K tớnh c
KD = 3R 2 x 2

BD=BK+KD=

tam giỏc BAK vuụng ti K cú gúc ABK=600
x
3

BK = AK . cot ABK =

x
3

+ 3R 2 x 2 ( v di)

Cõu 5 ( 1 im)
Gii phng trỡnh
x(x 2 56) 21x + 22
3

Vi a+3b=34 ta cú x 21x 20 = 0 ( x + 1)( x + 4)( x 5) = 0 x = 4 kx
x = 5 kx
3

PT cú 6 nghim S = { 4;3;1;1;2;5}

Bộ giáo dục đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

đề thi tuyển sinh

Đề chính thức

Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2013
Môn thi: TON
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
---------------------------------------Cõu 1.(1,5 im) Gi s a,b,c,x,y,z l cỏc s thc khỏc 0
a b c
tha món + + = 0 v
x y z

x y z
x 2 y2 z2
+ + = 1 .Chng minh rng 2 + 2 + 2 = 1
a b c

3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Câu 6.(1 điểm)
Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp {1;2;3;4;...;2014} thỏa mãn điều kiện A
y2
∈A
có ít nhất hai phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y, thì :
x−y
----------------------------------HÕt-----------------------------------

Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh

Hướng dẫn đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng 2 -2014
Ngày thi 6/6/2014
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a,b,c,x,y,z là các số thực khác 0
a b c
thỏa mãn + + = 0 và
x y z

x y z
x 2 y2 z2
+ + = 1 .Chứng minh rằng 2 + 2 + 2 = 1
a b c
a
b
c

Hướng dẫn
2


xyz


Câu 2.(1,5 điểm)Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
x 1− y2 + y 2 − z2 + z 3 − x2 = 3

Hướng dẫn
A + B2
Áp dụng Bất đảng thức
ta có đúng với mọi A,B
2
x2 +1− y2 y2 + 2 − z 2 z 2 +1− x2
x 1− y2 + y 2 − z2 + z 3 − x2 ≤
+
+
=3
2
2
2
AB ≤

2

Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi
x = 1 − y 2
x 2 + y 2 = 1

 2
2
 y = 2 − z 2

Câu 3 (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
an = 1+

2.6.10.....(4n − 2)
là một số chính phương
(n + 5)(n + 6)....(2n)

Hướng dẫn
2 n .(1.3.5......(2n - 1).(n - 4)!
2 n .(n + 4)!
2 n ..1.2.3....n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)!
=1+
=1+
(2n)!
2.4.6....2n
2 n .1.2.3.4...n
= 1 + (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

an =1+

(

a n = = n 2 + 5n + 5

)

2

Câu 4(1,5 điểm) Cho x;y;z là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng
1

Thì 3 − P = 1 − xy + xz + 2yz + 1 − xy + yz + 2xz + 1 − xz + yz + 2xy
P=



1
1
1

3 − P = ( xy + yz + xz ) 
+
+
 xy + xz + 2yz xy + yz + 2xz xz + yz + 2xy 
1 1 1
1
Áp dụng Bất đẳng thức + + ≥
A B C A+B+C

Ta có 3 − P = ( xy + yz + xz )

9
9
9 3
= ⇔ P ≤ 3− =
4xy + 4yz + 4xz 4
4 4
xy + yz + 2xz = xy + 2yz + xz = 2xy + yz + xz
⇔ x = y = z =1
Dấu “=” xảy ra khi 
xyz = 1

OB ON OD
=
=
góc PON = góc ODP=450
DP OP DP


tam giỏc DOP ng dng ONP (c.g.c). suy ra gúc DOP= gúc ONP
nờn DO l tip tuyn ca ng trũn ngoi tiờp tam giỏc OPN
3. t giao im cua MN v BC l Qv AP l K ỏp dung tớnh chỏt phõn giỏc cho
QM

BM KP

DP

QM

KP

QM

QN

tam giỏc MBN; APD QN = BN ; KA = AD QN = KA KP = KA (1) ta cú.
Giar s MP ct AN ti I . K I ct MN ti H p dng nh lớ ta lột

HM HN
=
PK

3

a b

+ 2a a + b b
ab a với a>0 ; b>0 a b.
a+ b

Q=
+
3a 2 + 3b ab
a a b a
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức
(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 2 a 4 + b 4 + c 4

(

)

Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 và đờng thẳng (d) : y = mx +
biệt

1
2m 2

( tham số m 0).
1.Chứng minh rằng với m 0 đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân




Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2013
Môn thi: TON
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
---------------------------------------Cõu 1 (2,5 im)

1.Cho cỏc s thc a, b,c tha món ng thi hai ng thc sau
i. ( a + b )( b + c )( c + a ) = abc
ii. ( a 3 + b 3 )( c 3 + b 3 )( a 2 + c 3 ) = a 3b 3 c 3
Chng minh rng a=b=c
2.Cho cỏc s thc dng a,b tha món ab > 2013a + 2014b
2
Chng minh bt ng thc a + b > ( 2013 + 2014 )
Cõu 2 (2 im)Tỡm tt c cỏc cp s hu t (x;y) tha món h phng trỡnh
x 3 2 y 3 = x + 4 y
2
6 x 19 xy + 15 y 2 = 1

Cõu 3 (1im) Vi mi s nguyờn dng n,kớ hiu Sn l tng n s nguyờn t u
tiờn
( S1=2;S2=2+3; S3=2+3+5.) .Chng minh rng trong dóy s S1; S2; S3.. khụng
tn ti hai s hng liờn tip u l s chớnh phng.


Cõu 4 (2,5im) Cho tam giỏc khụng cõn ABC ni tip ng trũn (O) ,BD l
phõn giỏc gúc BAC.ng thng BD ct (O) ti im th hai E .ng trũn (O1)
ng kớnh DE ct ng trũn (O) ti im th hai F
1.Chng minh rng ng thng i xng vi ng thng BF qua ng thng
BD i qua trung im ca cnh AC

+
3a 2 + 3b ab
a a b a
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức
(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 2 a 4 + b 4 + c 4
Hng dn
Cõu 1:

(

)


a)
3

a b

ữ + 2a a + b b
ab a
a+ b

Q=
+
=
2
3a + 3b ab
a a b a
=


=

2
2
3a + 3b ab
a+ b
3a + 3b ab
a+ b

( 3a
=

a 3a b + 3b a

( 3a

2

)(

+ 3b ab

)

a + b 3a 2 3b ab

)(

a+ b


2( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) =

2

(a 2 + b 2 + c 2 ) 2
2

Thay vo (*) Ta cú PCM
Cỏch khỏc
a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 2 ( ab + bc + ac )

a 4 + b 4 + c 4 + 2 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) = 4 ( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 4abc ( a + b + c )
= 4 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )

2 ( a 4 + b4 + c4 ) = ( a 2 + b2 + c 2 )

2

Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 và đờng thẳng (d) : y = mx +
biệt

1
2m 2

( tham số m 0).
1.Chứng minh rằng với m 0 đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân

2. Gọi A( x1 ; y1 ) ; B( x 2 ; y 2 ) là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất
của biểu thức M = y12 + y 22


M = y12 + y 22 = x14 + x24 = x12 + x22

)

2

[(

− 2 x12 x22 = x1 + x2

)

2

− 2 x1 x2

] − 2x x
2

 x1 + x 2 = − m

− 1 thay vào M ta có
Áp dụng định lý Viet: 
 x1 x 2 = 2m 2
2

1 
1
1

c −1
(5)
Vì a ≠ b ⇒ x1 =
a−b
CMTT :
Nếu c = 1 ⇒ a = b (vô lý) ⇒ c ≠ 1

2 2
1 2


Ta cú : x2 =

ab
(6)
c 1

T (5), (6) x1 x2 = 1 x1 =
2
T (1) , (3) x1 + ax1 + 1 =

1
x2

1
1
+ a + 1 = 0 x22 + ax2 + 1 = 0 x1 = x2 = 1
2
x2
x2

H
A1
C

a)Ta cú t giỏc AC1 A1C , ABXC l cỏc t giỏc ni tip
DC DX
DCX
DBA ( g .g )
=
BD.DX = DC. AD
DB DA
DA1 DC
=
DC. AD = DA1.DC1
DCA1 DC1 A ( g .g )
DA DC1
DA1.DC1 = DX .DB
d) Ta thy :theo a) DA1.DC1 = DX .DB suy ra BC1 HA1 , BC1 A1 X l cỏc t giỏc ni
tip
ã
ã H = 180 BXH
ã
BC1HX l t giỏc ni tip BXH
+ BC
= 90 HX BX
1


Kẻ đường kính BL.
·

 y + 2012 + y + 2011 + z + 2013 − z + 2012 = x + 2013 + x + 2011

⇔
1
1
2

+
=
 z + 2012 + z + 2011
x + 2013 + x + 2012
y + 2013 + y + 2011

1
1

 y + 2012 + y + 2011 − x + 2013 + x + 2011 =

⇔
1
1

−
=
 z + 2012 + z + 2011
y + 2013 + y + 2011


1
x + 2013 + x + 2011