ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI

NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,
DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 62 44 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HUẾ, 2016


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khoa học về thông tin lượng tử, một ngành khoa học mới được
phát triển gần đây, đã cho thấy nhiều ưu điểm vượt trội so với khoa
học về thông tin cổ điển ở mọi phương diện. Ví dụ tiêu biểu có thể
kể đến là viễn tải lượng tử. Viễn tải lượng tử biến liên tục đã được
thí nghiệm thành công, tuy nhiên độ tin cậy đạt được tương đối thấp
mà nguyên nhân chính là do nguồn rối tạo được có độ rối không cao.
Gần đây, trong nghiên cứu về các trạng thái phi cổ điển nổi lên một
trạng thái đáng được quan tâm, đó là trạng thái thêm photon. Chỉ
bằng cách tác dụng toán tử sinh photon vào trạng thái bất kỳ sẽ biến
trạng thái đó thành phi cổ điển. Điều này gợi ra một hy vọng rằng

Đề tài đã tìm ra cách để tăng cường độ rối và cải thiện độ tin cậy
viễn tải, từ đó góp phần phát triển lý thuyết thông tin lượng tử. Ngoài
ra, kết quả của đề tài còn có vai trò định hướng, cung cấp thông tin
cho vật lý thực nghiệm trong việc dò tìm các hiệu ứng phi cổ điển và
tạo ra các trạng thái phi cổ điển.
6. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, danh mục
các công trình của tác giả được sử dụng trong luận án, tài liệu tham
khảo và phụ lục, nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương.
Chương 1 trình bày tổng quan về các nghiên cứu liên quan đến đề tài.
Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính hàm phân bố Wigner và
hai sơ đồ khác nhau để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode. Chương 3 trình bày những nghiên cứu về các tính chất phi
cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao
gồm nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm và đan rối. Chương 4 trình


3

bày nghiên cứu về quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén
dịch chuyển thêm photon hai mode.

Chương 1
TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI CỔ
ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ
VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
1.1 Trạng thái phi cổ điển
1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ
điển

∞

(− tanh r exp(iθ))n|n a|n b. (1.17)
n=0

Đây là trạng thái đan rối với độ rối hoàn hảo khi tham số nén r bằng
∞. Mô phỏng thực nghiệm của toán tử nén hai mode là bộ chuyển đổi
tham số không suy biến.


4

1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon
Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa bởi
aˆ†m|α

|α, m =

α|ˆamaˆ†m|α

.

(1.18)

Đây là trạng thái phi cổ điển thể hiện đồng thời hiệu ứng nén và subPoisson. Hơn nữa, cả hai hiệu ứng này sẽ tăng về cường độ nếu số
photon được thêm vào nhiều hơn.
1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối
1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối
Với trạng thái hai thành phần thuần, độ rối được xác định thông
qua việc khảo sát entropy von Neumann. Trong trường hợp không tìm


aˆ2
aˆˆb

aˆaˆ†
aˆ†ˆb

...

...

...

ˆb† ...
aˆ†ˆb† ...
aˆˆb† ... .
ˆb†ˆb ...
...

...

(1.36)


5

1.3 Viễn tải lượng tử
1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn
Trong quá trình viễn tải lượng tử biến gián đoạn, thông tin cần
gửi đi được mã hóa trong trạng thái |ψin

lên nó một toán tử Pauli thích hợp để khôi phục lại trạng thái |ψin .
1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục
Trong viễn tải trạng thái với biến liên tục, phép đo Bell là phép đo
đồng thời hiệu tọa độ và tổng xung lượng giữa trạng thái cần chuyển
|ψin

c

và mode a của trạng thái đan rối biến liên tục |ψCE

ab .

Trong

biểu diễn Fock, trạng thái riêng của phép đo này ứng với kết quả đo η
có dạng
|M (η)

ac

1
=√
π

∞

ˆ c(η) |i, i
D

ac ,


d2η| ψin|Tˆ (η)|ψin |2.

(1.62)

Một quá trình viễn tải được gọi là hoàn hảo nếu Fav = 1.

Chương 2
TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM
PHOTON HAI MODE
2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode
Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được định nghĩa bởi
|α, β; s

ab

ˆ ab(α, β)Sˆab(s)|0, 0
=D

ab ,

(2.4)

trong đó s = reiθ và α = |α|eiϕa , β = |β|eiϕb . Tác dụng các toán tử
sinh photon vào cả hai mode tạo thành trạng thái mới
|m, n; α, β; s

ab


ab ,

ta tìm được

m!2n!2
(m − i)!(i − q)!(n − p)!(p − q)!q!

(cosh r)2(i+n−p)−∆(− sinh r)2q−∆
(m − i + ∆)!(p − q + ∆)!(q − ∆)!

× |α|2m−2i+∆|β|2p−2q+∆ei∆ϕ,

(2.18)


7

Hình 2.1: Sự phụ thuộc của hàm G(|ξ|) vào |ξ| với (a) m + n = 3 và (b) m + n = 6.

trong đó ϕ = θ − ϕa − ϕb và ∆ trong tổng

∆

chạy từ ∆ = max[i −

m, q − p] đến ∆ = q.
2.2 Hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm
photon hai mode
Chúng tôi chứng minh trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode có độ phi cổ điển mạnh hơn trạng thái nén thông qua việc

j

m!(−|ξ|2)j i+j
Ln−i−j (|ξ|2)Ljm−j (|ξ|2) < 0. (2.36)
i!j!(m − i)!

Dễ dàng nhận thấy trên hình 2.1 rằng hàm G(|ξ|) có thể nhận giá trị


8

Hình 2.2: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng thiết bị tách
chùm.

âm và tính âm của hàm Wigner mạnh hơn khi thêm photon vào đồng
thời cả hai mode.
2.3 Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
2.3.1 Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm
Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử
dụng thiết bị tách chùm được minh họa trên hình 2.2. Hệ thống gồm
DC ký hiệu cho bộ chuyển đổi tham số kết hợp với các bộ dịch chuyển
Da(α) và Db(β) tạo ra trạng thái |α, β; s
của aˆ†m, mode a của trạng thái |α, β; s

ab .

ab

Để mô phỏng tác dụng


vào hệ số truyền qua t của các thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi α = β = s = 0.1 với
{m, n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm).

với xác suất thành công
PBS

(1 − t2)m+n
=
m!n!t2(m+n+2)

∞

∞

j=0 j =0

(1 − t−2)j+j
Cm+j,n+j (α, β, s) (2.47)
j!j !

và độ tin cậy so với trạng thái mong muốn là
∞
j=0

FBS =
Cm,n (α, β, s)

∞ (1−t−1 )j+j
j =0
j!j !

hình vẽ 2.3 thể hiện rằng mặc dù độ tin cậy không bao giờ bằng 1
nhưng nó luôn tăng theo t và tiệm cận đến 1 khi t → 1. Tuy nhiên, cái
giá phải trả là sự giảm của xác suất thành công khi tăng t. Hơn nữa,
cả độ tin cậy và xác suất thành công đều giảm khi tăng m hoặc/và n
thể hiện thêm càng nhiều photon càng gặp nhiều thách thức, ngay cả


10

Hình 2.5: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng bộ chuyển đổi
tham số không suy biến.

khi nếu thành công thì cái giá phải trả là giảm độ tin cậy.
2.3.2 Sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến
Sơ đồ minh họa cho việc sử dụng bộ chuyển đổi tham số để tạo
trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode được vẽ trong hình
2.5. Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được tạo ra tương tự như
trong sơ đồ trước bởi sự kết hợp giữa một bộ chuyển đổi tham số không
suy biến DC1 với các bộ dịch chuyển Da(α) và Db(β). Tiếp theo, mode
a của trạng thái |α, β; s được đưa vào DC2, cùng lúc đó mode b được
đưa vào DC3. Sau DC2 và DC3 ta cũng đặt các máy đếm photon PD1
và PD2. Khi cùng lúc PD1 đếm được m photon và PD2 đếm được n
photon, trạng thái nhận được ở hai đầu ra a và b là
|ΨDC

ab

(− tanh z)m+n †m
†
ˆ†ˆ

{1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm).
(1−cosh z)j+j
∞
j,j =0
j!j !

FDC =
Cmn(α, β, s)

2

Cm+j,n+j (α, β, s)

(− sinh2 z)j+j
∞
j,j =0
j!j !

.

(2.60)

Cm+j,n+j (α, β, s)

Như thể hiện trong phương trình (2.57), hiệu ứng của DC2 (DC3)
kết hợp với phép đo m (n) photon tại các máy đếm photon PD1 (PD2)
†
ˆ†ˆ
tương ứng với tác dụng của aˆ†m(cosh z)−ˆa aˆ (ˆb†n(cosh z)−b b) lên trạng
thái |α, β; s


− 2 < 0, (3.9)

trong đó Re(x) là phần thực của số phức x và S được gọi là hệ số nén
tổng. Các trung bình ... trong (3.9) có dạng Mlktv = aˆlˆbk ˆb†taˆ†v .
Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta tìm được
m+l

n+k

min[i,p]

2
Mlktv = Nmn
(α, β, s)
i=0 p=max[0,k−t]

×
∆

q=0

(m + l)!(m + v)!
(m + l − i)!(i − q)!

(n + k)!(n + t)!(cosh r)2(i+n+k−p)−∆(− sinh r)2q−∆ei∆θ
(m + v − i + ∆)!(p + t − k − q + ∆)!(q − ∆)!(p − q)!q!

|ηa|2m−2i+l+v+∆|ηb|2p−2q+t−k+∆ei(l−v−∆)ϕa ei(k−t−∆)ϕb
×

trị r2. Thật thú vị là cả r1 và r2 đều giảm khi tăng m. Vậy, việc thêm
photon làm tăng khả năng xảy ra cũng như tăng mức độ thể hiện của
hiệu ứng nén tổng.
3.2 Tính chất nén hiệu
Hiệu ứng nén hiệu xuất hiện trong trạng thái nén dịch chuyển
thêm photon hai mode nếu
2Re e2iφM2020 − 2Re2 eiφM1010 + 2M1111 − M1001 − M0110
−1
D≡
|M1001 − M0110|
(3.18)


14

Hình 3.7: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số dịch chuyển (a) |α| (khi cố định
|β| = 10); (b) |β| (khi cố định |α| = 2) với γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét
liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm).

Hình 3.8: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số nén r khi γ1 = γ2 = 0, |α| = 2 và
|β| = 10 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch chấm).

âm với φ khả dĩ nào đó. Với hiệu ứng nén hiệu thì điều kiện của các
góc để hiệu ứng thể hiện mạnh nhất là γ1 ≡ φ − θ + 2ϕa = 2k1π và
γ2 ≡ φ + ϕa − ϕb = 2k2π với k1, k2 là các số nguyên. Về vai trò của |α|
và |β| thì mặc dù trong cả hai trường hợp D càng gần với −1 khi tăng
m, nhưng vị trí cực tiểu của nó dịch sang trái trong hình 3.7a trong
khi trong hình 3.7b vị trí này dịch sang phải khi m tăng. Và tương tự
như nén tổng, khoảng giá trị để thỏa mãn điều kiện nén hiệu của |α| là
khoảng đóng và gần như nhau với mọi m, trong khi khoảng giá trị này

trong đó Rlk được gọi là hệ số phản kết chùm bậc {l, k} với điều kiện
(k)
l ≥ k > 1 và Nˆx = xˆ†k xˆk với x = a, b. Tính toán cho trạng thái nén
dịch chuyển thêm photon hai mode, chúng tôi tìm được
l
(k)
Nˆa(l)Nˆb

k

=
i=0 j=0

(−1)i+j l!2k!2
Cm+l−i,n+k−j (α, β, s),
i!j!(l − i)!2(k − j)!2
(3.26)

trong đó các hệ số Cm+l−i,n+k−j (α, β, s) được định nghĩa trong (2.18).
Hình 3.10 (vẽ R11 và R42 theo r) cho thấy hiệu ứng phản kết chùm
giảm cường độ khi tăng m, một đặc điểm trái ngược với các hiệu ứng
nén. Rất may, nhược điểm này có thể khắc phục bằng cách thêm đều
photon vào cả hai mode của trạng thái, như được thể hiện trên hình
3.13. Dễ dàng nhận thấy rằng hiệu ứng phản kết chùm sẽ mạnh nhất
trong trường hợp đối xứng m = n = 3. Sự phụ thuộc của hiệu ứng
phản kết chùm vào bậc {l, k} được minh họa trên hình 3.11. Khi k
không đổi và bằng 3, độ phản kết chùm tăng theo l (hình 3.11a), trong
khi ngược lại nếu giữ l cố định thì độ phản kết chùm giảm khi tăng k
(hình 3.11b). Để ý rằng nếu ta không quan tâm đến vai trò của l và k


ˆb

aˆ
aˆ†aˆ
aˆˆb

ˆb†
aˆ†ˆb† .
ˆb†ˆb

(3.28)

Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta thay các yếu
tố ma trận trong (3.28) bởi các số hạng Mlktv tương ứng. Những gì
thể hiện trên hình 3.15 cho ta thấy trạng thái nén dịch chuyển thêm
photon hai mode là trạng thái đan rối (E < 0). Hơn nữa hệ số đan
rối E càng âm khi m càng tăng. Điều đó nói lên rằng độ rối của trạng
thái có thể tăng nhờ vào việc thêm photon. Để chắc chắn cho nhận xét
này, ta tiếp tục xét tiêu chuẩn entropy tuyến tính.
Chúng tôi tìm được entropy tuyến tính của ma trận mật độ rút


18

Hình 3.18: Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính L của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode vào tham số nén r với θ = π và α = β = 0.1 cho {m, n} = {0, 0} (đường nét liền),
{1, 0} (đường nét đứt), {1, 1} (đường gạch - chấm), {2, 1} (đường gạch - hai chấm) và {2, 2}
(đường chấm - chấm).

gọn ρˆa của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có dạng


(3.41)

khi θ = π và α, β thực. Trên hình 3.18, L càng tăng (thể hiện độ rối
tăng) khi số photon thêm vào càng nhiều. Kết hợp với những gì quan
sát trên hình 3.15, đến đây ta hoàn toàn có thể khẳng định rằng thêm
photon cải thiện độ rối của trạng thái nén hai mode. Thêm photon
vào cả hai mode sẽ hiệu quả hơn so với thêm vào chỉ một mode và số
photon thêm vào càng nhiều thì độ rối càng tăng.


19

Chương 4
VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ SỬ DỤNG NGUỒN
RỐI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON
HAI MODE
Áp dụng mô hình viễn tải lượng tử trong biểu diễn Fock cho nguồn
rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode để viễn tải trạng thái kết
hợp, chúng tôi tìm được biểu thức của độ tin cậy trung bình
Fav

2
Nmn
(s, 0, 0)
=
cosh2 r

∞



q=0

q =0

(N !)2
k!k !

(m + k )!(m + k)!(m + n + k + k + 2N − p − p − q − q )!
(m + k − p)!(m + k − p )!(n + k − q)!(n + k − q )!p!p !q!q !
(n + k)!(n + k )!(−1)p+p +q+q (tanh r)k+k
× m+n+k+k +2N +1−p−p −q−q
.
2
(N − p)!(N − p )!(N − q)!(N − q )!
(4.14)
×

Chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình của
quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm
photon hai mode vào tham số nén r cho hai trường hợp

cụ thể của

trạng thái viễn tải là trạng thái kết hợp (hình 4.1) và trạng thái Fock
(hình 4.2) dựa trên các phương trình (4.13) và (4.14), một cách tương
ứng. Cả hai hình vẽ 4.1 và 4.2 đều cho thấy việc thêm photon vào cả
hai mode sẽ hiệu quả hơn chỉ thêm photon vào một mode và càng tăng



hai mode với mục tiêu chứng minh rằng thêm photon vào trạng thái
nén hai mode làm tăng độ phi cổ điển và cải thiện độ rối của trạng
thái, đồng thời đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào
trạng thái nén dịch chuyển hai mode. Các kết quả chính của luận án
có thể được tóm tắt như sau:
Thứ nhất, chúng tôi đã tính được biểu thức giải tích tường minh
của hàm phân bố Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode. Hàm phân bố tìm được là cơ sở cho các nghiên cứu về tính
chất thống kê của trạng thái. Bên cạnh đó, kết quả tính số cho thấy
độ phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
mạnh hơn so với trạng thái ban đầu và gợi ý cho những nghiên cứu cụ
thể hơn về tính chất phi cổ điển của trạng thái này, trong đó có tính
chất đan rối.
Thứ hai, chúng tôi đã đưa ra và giải thích tường minh hai sơ đồ
tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Kết quả tính
số cho thấy với cả hai sơ đồ, độ tin cậy đều có thể dần đến giá trị cực


22

đại là 1 khi hệ số truyền qua t của thiết bị tách chùm cao (đối với sơ
đồ dùng thiết bị tách chùm) hay khi độ nén z của bộ chuyển đổi tham
số nhỏ (đối với sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số). Tuy nhiên khi
độ tin cậy F tăng thì xác suất thành công tương ứng lại giảm. Do đó,
các kết quả tính số của hai sơ đồ này có ý nghĩa trong việc định hướng
cho quá trình thực nghiệm khi lựa chọn tham số của thiết bị một cách
phù hợp để thu được một trạng thái không quá khác so với trạng thái
mong muốn nhưng phải đảm bảo không phải đợi quá lâu để nhận được
trạng thái này.
Thứ ba, qua việc khảo sát các hiệu ứng phi cổ điển, chúng tôi

Thứ nhất, trong quá trình phân tích các sơ đồ tạo trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode, chúng tôi đã lý tưởng hóa hoạt động
của máy đếm photon. Sẽ thiết thực hơn nếu nghiên cứu này được tiếp
tục mở rộng với máy đếm photon có hiệu suất hữu hạn nào đó. Thứ
hai, khi khảo sát quá trình viễn tải lượng tử, chúng tôi đã tính toán
dựa trên trạng thái nén dịch chuyển thêm photon lý thuyết trong khi
trạng thái này trên thực tế chỉ là trạng thái gần đúng. Để gần với thực
tiễn hơn thì vấn đề này cũng cần được nghiên cứu hơn nữa bằng việc
kết nối sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon với mô hình
viễn tải. Bên cạnh đó, đề tài cũng có thể được tiếp tục mở rộng theo
một hướng khác khi xem xét đến các kỹ thuật phức tạp hơn chẳng hạn
như tổ hợp của cả thêm và bớt photon.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
CỦA TÁC GIẢ ĐÃ SỬ DỤNG TRONG
LUẬN ÁN
1. Truong Minh Duc and Nguyen Thi Xuan Hoai (2010), Entanglement
criterion for bipartite quantum states: applications, Communications
in Physics, 20(3), pp. 233 - 240.
2. Truong Minh Duc, Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An


24

(2014), Sum squeezing, difference squeezing, higher-order antibunching and entanglement of two-mode photon-added displaced squeezed
states, International Journal of Theoretical Physics, 53, pp. 899 910.
3. Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An (2014), Generation of
two-mode photon-added displaced squeezed states, Advances in Natural Sciences: Nanoscience and Nanotechnology, 5, pp. 032015-1 032015-6.
4. Nguyen Thi Xuan Hoai and Truong Minh Duc (2016), Nonclassical
properties and teleportation in the two-mode photon-added displaced