B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
===B3===

ĐÕ VĂN LẺ

TÍNH ỎN ĐINH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP
RUNGE- KUTTA ẨN
Chuyên ngành

: Toán giải tích

Mã số

: 60460102

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC
Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS.Nguyễn Văn Khải

Hà Nội -2015


LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.s Nguyễn Văn Khải, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
giảng viên dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá

4

1.3 Phương pháp một bước

6

1.4 Phương pháp Runge - Kutta

16

1.4.1 Khái niệm và phân loại

16

1.4.2 Tính phù họp của phương pháp Runge - Kutta

18

1.4.3 Bậc của phương pháp Runge - Kutta

19

1.4.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge - Kutta

20

1.4.5 Tính ổn định của phương pháp Runge - Kutta

22



65

2.4.2 Công thức Radau IIA

74

2.4.3 Các phương pháp Lobatto IIIC

77

KẾT LUẬN

79

TÀI LIỆU THAM KHẢO

80


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đè tài
Phương trình vi phân là mô hình mô tả tốt các quá trình chuyển động
trong tự nhiên và kĩ thuật. Đe nghiên cứu phương trình vi phân, người ta
thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số.
Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần
giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh
mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử G là một miền trong R 2 và hàm / :G -> R , hàm
khả vi liên tục y : [a,ố] —> R được gọi là nghiệm của phương trình vi phân
thường phân bậc nhất ỳ = f { x , y ) nếu:

■{x: y (x )\ e G
„
y(x) = f(x,y(x))

V « M .

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử G là một miền trong Rn+l và f : G -> R", hàm khả
vi liên tục y : \a,b\ -> R" được gọi là nghiệm của phương trình vi phân
thường y ’ = f ( x , y ) nếu:

■{x: A x )); G „
y ( x ) = f ( x, y ( x) )

V « M

Bài toán giá trị ban đầu: Cho hàm số y :\a,b\ —» R" và hàm / :Rx R”
Giải bài toán giá trị ban đầu:
'y'=f(x,y)

Định lí 1.1.1. ( Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Cho hàm sô f : R X R” —» R” xác định liên tục trên miên:

( 1. 1)

R”.

y)
y ( x o) = y 0


7

là việc xây dựng xấp xỉ y . tới nghiệm đúng ,y(* ) tại các điểm cách đều:
x . = x 0+ j h , j = 1,2,3...
với y . xác định bởi:
y J+i = yj + h(p{x.,y.\h) với j > 0,
trong đó hàm:
R,
được xác định bởi hàm f { x , y Ỵ
Nhân xét:
+ Phương pháp Euler là phương pháp một bước với hàm ọ ị x , y \ h) = f ( x , y ) .
+ Phương pháp Euler cải tiến là phương pháp một bước với hàm:



77(x + í)-77(x) = J/7'(x + i)ife = J / ( x + i,/7(x + i ) ) if e -> 0 khỉ t —> 0 hội tụ
0

0

đều với V ( r ,j ) e G .
Do / liên tục đều nên:
Ị_
h

J[/7'(x + í ) - / 7'(x)]í/í s S í k ' ( ;t+,)-'?,W l

= m a x |/(x + ¿,77(x + ¿ ) ) - / ( x , 77(x))|-> 0
hội tụ đều với V ( x j ) e G .
Từ đó ta có:


9

A (x, y, h) + < p ( x , y , h ) - f ( x , y )
= ^[ rj ( x + h ) - r j ( x ) ] - r j ' ( x )
= —J[77(x + i)-77(x)]flfr^»0
h0
hội tụ đều với v ( x ,y ) e G.
Vậy:
a“

» « ; ; ’/ .




12

được gọi là sai sổ toàn cục lớn nhất.
Định nghĩa 1.3.7. Phương pháp một bước được gọi là hội tụ đều nểu
lim£'(/ỉ) = 0 và được gọi là hội tụ bậc p nểu E( h) < Hhpy h > 0 và H là
h —>0

một hằng sổ nào đó.
Bổ đề 1.3.8. Cho [ ạ ) là dãy số thực thỏa mẫn:
ị m \ 0 và B > 0 ), khỉ đó ta luôn có:

Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp.
Đánh giá là đúng với j > 0.
Áp dụng bất đẳng thức 1 + A < eA ta có:
I< (1 + A )|í„Ie* + (1 + A ) ^ ( e u - 1) + B

Vậy đánh giá đúng với ỹ + 1.
Định lí 1.3.9. Giả sử hàm ọ được mô tả trong phương pháp một bước là liên
tục đổi với biển h và thỏa mẫn điều kiện Lipschitz:
\
*) Hội tụ suy ra phù họp:

C1-9)


14

Giả sử phương pháp 1 bước là hội tụ nghĩa là khi à —> 0 thì xẩp xỉ:
y j+l= y j + ^ ( x j , y j ; h )

( 1. 10)

hội tụ đến nghiệm của bài toán giá trị ban đầu.
Đị V. g[ x, y) = (p{x,y\QÌ). Từ định lý 1.3.3 ta thấy phương pháp một bước là
phù họp đối với bài toán Cauchy:
y ( x ) = g(x ,y )
t (* o)

( 1. 11)

= To

Từ đó ta thấy rằng tính phù họp dẫn đến sự hội tụ , công thức gần đúng (1.10)
cũng hội tụ đều đến nghiệm của (1.11) và nghiệm của bài toán Cauchy là
trùng nhau.
Do đó ta c ỏ : f ( x 0, y 0) = g( x0, y 0) với v ( x 0,y 0) e ơ
suy ra: f ( x , y ) khỉh —> 0 , suy ra phương pháp một bước là phù
họp.
Định lí 1.3.10. Giả sử rằng phương pháp một bước thỏa mãn các giả thiết
của định lí 1.3.9 và nó là phù hợp bậc p nghĩa là:

K = f ( xj + s2^yj + c2iK^)
K = f(Xj + s3h, y. + c31k1h+ c32k2h)
m -1

km = J/Yx,
+ sm h,7 sy,j + h y c » ki)
V J
i= 1

được tính toán 1 cách đệ quy và dãy xấp xỉ được xác định bởi:

= y ì + hH a Ải= 1


16

Phương pháp Euler được mô tả bởi m =l, a l = 1.

Phương pháp Euler được mô tả bởi m =l, s2 = 1,c21 = 1,«! = a 2

Ị_

2

'

Mục đích cơ bản trong việc xây dựng phương pháp bậc cao hơn là cho 1
số m, xác định các hệ số cao cho bậc của tính phù họp và hội tụ là lớn nhất có
thể.
Năm 1895, Runge giới thiệu phương pháp 1 bước để giải phương trình vi

j= i

Để thuận tiện cho việc trình bày ta ghi các hệ số xuất hiện trong các công thức
(1.12) vào bảng được gọi là bảng Butcher:
Ci

cs

«11

«12

...

aỉs

«21

«22

...

aỉs

«1

«,2

...



k i

i = 1,J .

= f ( xn+ c M ) ,

Khi đó phương pháp Runge-Kutta có thể viết dưới dạng:
s

y , * = y , + h Ỵf bi f ( x, + c M )
Ỉ2 == 11

(1.13)

s

Yi = y » + h ' L « ,/( * . + CJ h>YJ)

»i = 1>S-

Phân loai:
+ Nếu flL = 0, Vỳ > ỉ,ỉ = 1, J hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp
Runge-Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge-Kutta hiển (hay phương pháp
Runge-Kutta cổ điển).
+ Nếu flL = 0, V/ > ỉ,ỉ = 1, s hay A là tam giác dưới chặt thì phương pháp
Rune-Kutta (1.12) gọi là phương pháp Runge-Kutta nửa ẩn.
+ Trong trường họp còn lại thì phương pháp Runge - Kutta (1.12) được
gọi là phương pháp Runge-Kutta ẩn. A không là ma trận tam giác dưới.
1.4.2 Tính phù hợp của phương pháp Runge-Kutta

2= 1

Vậy với Ỵ^b. = 1 thì phương pháp Runge-Kutta là phù họp.
i=1

1.4.3 Bậc của phương pháp Runge-Kutta
Định nghĩa 1.4.2. Sai sổ chặt cụt địa phương của phương pháp Runge-Kutta
(1.12) tại

X

J

tại T l được xác định bởi công thức:
T +l - = y { xn+l) - y n+l

với giả thiết y n = y ( x n),Y. = y (xn + cJdh ) , j = 1,5

hay là T +l := yn+l - y n - h ỵ b Ả .


20

Định nghĩa 1.4.3. Bậc của phương pháp Runge-Kutta (1.12) là sổ nguyên p
lớn nhẩtsao cho T J = 0(AÍ+1).
Gọi y +1 là giá trị tính theo phương pháp Runge-Kutta tại X x,y = y(x ) là
giá trị đúng, khi đó ỹ „+1 = y n+ ệ f ( y n,xn; h ) .
Do vậy:.y(x+1) - ỹ „+1 = r -i •
Khai triển Taylor tại X ta có:
T'+1 = . H O - y ( x , ) ■- ệ f ( y { \ ) > 0 )

2

0

0

1

2

(Phương pháp Euler cải tiến: ốj = 0,ố2 = l,c2 = — ).
Ví dụ 2: Phương pháp Runge - Kutta nửa ẩn với bảng Butcher:
0

1
2

0

1

1
2

0

2

1


Ta có bảng Butcher là:

( 2

x» + T h , y n+ - h k 2
V
3
3
)