BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HOÀNG THẢO

TÍNH

ỔN

ĐỊNH

CỦA

KHUNG VÀ Cơ SỞ RIESZ

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

CÁC


NGUYỄN HOÀNG THẢO

TÍNH ON ĐỊNH CUA CÀC
KHUNG VÀ Cơ SỞ RIESZ

LUẬN VẰN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02


Tác giả

Nguyễn Hoàng Thảo


Mục lục
Mở đầu...

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1.
Phép biến đổi Fourier

4
4

1.1.1.

Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R d )

4

1.1.2.

Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R d )

5

1.2. Khung trong không gian Hilbert

6

58

Kết luận

Mở đầu

70
71

Tài liệu tham khảo
1. Lý do chọn đề tài
Cơ sở trực giao cho phép biểu diễn mỗi phần tử của không gian Hilbert
thành một chuỗi vô hạn. Đó là cách dễ nhất để biểu diễn một véc tơ phức tạp
qua các véc tơ đơn giản hơn. Đây là bài toán thường xuyên xuất hiện trong


nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý và kỹ thuật như giải tích điều hoà, phương
trình vi phân, cơ lượng tử, xử lý tín hiệu và hình ảnh. Mặc dù về lý thuyết dễ
thực hiện nhưng khai triển theo chuỗi trực giao đôi khi gặp rắc rối. Ví dụ như
không phải luôn luôn dễ dàng tìm một cơ sở trực giao và có những trường hợp
khi khai triển theo chuỗi trực giao hay thậm chí theo chuỗi sinh ra bởi các cơ sở
tổng quát hơn vẫn không phải là một phương pháp biểu diễn thích hợp.
Khung có nhiều tính chất mong ước của các cơ sở nhưng lại khác cơ sở ở một
khía cạnh rất quan trọng: chúng có thể phụ thuộc tuyến tính và do đó tính duy
nhất của biểu diễn của các cơ sở bị mất đi. Chính tính thừa này của khung có
những ứng dụng quan trọng, ví dụ như trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì
nó đảm bảo tính bền vững: chất lượng của tín hiệu bị ảnh hưởng ít bởi tiếng ồn
và tín hiệu có thể khôi phục lại từ mẫu có độ chính xác tương đối thấp.
Khung được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [5] vào năm 1952 khi họ nghiên
cứu chuỗi Fourier không điều hoà. Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau bài báo

sở sóng nhỏ.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề.
- Thu thập tài liệu các bài báo về tính ổn định của các khung và cơ sở
Riesz.
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.
6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày một cách tổng quan về tính ổn định của các khung và cơ
sở Riesz.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn bị cho
chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu tham
khảo[1]-[3],[8].

1.1.

Phép biến đổi Fourier

Ta sử dụng các kí hiệu sau trong luận văn

ư (Md) :

=

/ : Md —> C|/ đo được và f \f (x)\p dx < 00

Một số tính chất cơ bản của / (cư) với / G Í /1 (Md) được cho trong hai
định lý sau.
Định lí 1.1.2. Cho f e L1 (Md). Khi đó

ị ) f e L°° ( R d ) , v à /


lim

Ỉ N — fo
L 2( R d )

0.

Định nghĩa 1.1.5. Phép biến đổi Fourier f của hàm f G L2 (Md) được định nghĩa
là giới hạn /oo của |/jv| ■
Chú ý 1.1.1. Định nghĩa f của hàm f G L2 (Md) là độc lập với sự lựa chọn của fN
G L1 (Md) n L2 (Md) . Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào khác trong L1

(Md) n L2 (Md) mà xấp xỉ f trong L2 (Md) có thể sử dụng để định nghĩa f.
Định lí 1.1.6. (Định lý Plancherel)
Cho f,ge L2 (Md). Khi đó

(f ,g ) = Ọ > 9)
Dặc biệt

f\Ì2 = ỉ

1.2.

2

Khung trong không gian Hilbert

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết
khung cần đến cho Chương 2. Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ở tài
liệu [1], [3].


i=

1

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận
khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung
trên tối ưu là intimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng các cận khung
tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung {/ị}“1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu
A = B = 1.


Mệnh đề 1.2.3. Cho một dãy {fj}m=ì trong không gian Hilbert hữu hạn chiều V.
Khi đó {fj}m=ì là một khung cho span {fj}m=ì ■
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không.
Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với
m
B = Ẻ ll/ill2j=l

Bây giờ ta đặt w := span {fj}m=1 và xem xét ánh xạ liên tục
m

$ : W ^ R , $(/) :=Elơ, /;->|2.
j=l

Mặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g € w với ll^ll = 1 sao
cho
m
j=l

chỉ khi span {fj}m=1 = V.
Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần
thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu {fj}k=ì là một khung của V và { g j } m = 1 là một


tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj}k=iu{gj}m=1 cũng là một khung của V.
Ví dụ 1. Lấy

5

« = «2,e. = (0. lf, e2 = (^, ịr, e3 = (^, -\)T.

2

{ei, e2, 63} là một khung chặt với cận khung là -.


Thật vậy, với X = (xi, X2Y G T-t bất kì, ta có
E I ( x , e ó ) |2 = X 2 2 +

+ \ x 2) +

- \ x 2)

= \ {xl2+x22)
_ 3 I |2

= „\x\ .
2II


/ € PL
sử {ftit.i
có '■= {ei, 7^62,

00

00

Ị

*1

\

2
fk)\ = J2 \f> ựkGk) l/ll -

2

k

Vì thế {fk} là một khung chặt của PL với cận khung A = 1.
Ví dụ 3. Cho K = L2(T) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo Lebesgue
chuẩn hóa. Khi đó ịeins : n G là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn cho K = L2(T).
Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì {eins\E : n € z} là một khung Parseval cho
L2(E).
Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.5. Cho PL là không gian Hilbert và X là không gian con đóng của PL.
Gọi p là phép chiếu trực giao từ PL lên X và {eị}i€l là một cơ sở trực chuẩn của
PL. Khi đó {Pei}i&1 là một khung Parseval của X.


là dãy Bessel với cận Bessel

B. Giả sử {ck}Zi G /2(N). Ta phải chỉ ra T{ck}^=1 là hoàn toàn xác
00

định, tức là c k f k là hội tụ. Xét m , n G N, n > m. Khi đó:
fc=i
n
k =1

m
Ckỉk

fc=l

Ckỉk

c

kfk

k = m +1

= sup
M=1

(. Ckfk, 9ỵ

fc=i


□
00

Hệ quả 1.2.7. Nếu

là một dẫy trong T-t và Ckỉk hội tụ với
k=1
ỉà một dãy Bessel.

mọi {cfc}“=1 € /2(N) thì

00

là một dẫy Bessel trong ĩỉ, thì c k f k hội
k=1
tụ không điều kiện với mọi { C f c }^° e /2(N).
Hệ quả 1.2.8. Nếu

=1

Do một khung

là một day Bessel nên toán tử
00

2

T:í (N)^H,


tử khung của {s_1/fc}^1 là s-1.
Khung {s-1/fc} được gọi là khung đối ngẫu của {/fc}.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng
nhất. Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của TI thì mọi phần tử trong TI có
thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung. Do đó ta
có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng.
Định lí 1.2.10. Giả sử

là một khung với toán tử khung là s.

Khi đó
00

/ = £(/, 5_1A>A. V/ Ẽ H,
k =1

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f G Tí.
Chứng minh. Giả sử / G Tí. Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Bổ đề
1.2.9 ta có
00

00

/ = S S ~ l Ị = Y, {s-'ỉ, /,)/. = E (/> •S'-1/,)/.. V/ e n.
i= 1
i= 1


Do { f k } k L i là một dãy Bessel và {(/,


/

=

Xh/.9*>/*.

V/eM,

(1.1)
fc = l

cũng là một cơ sở Riesz và { f k } k L i ì {ỡfc}fc°= 1 là song trực giao,
tức là
(fji 9k) ồj,k

í

1 khi j = k
0 khi j

Ỷ

kHơn nữa, chuỗi (1.1) hội tụ không điều kiện với mọi f € Tt.


Ta gọi {
Mặt khác,
Từ đó
Iiư*/ir > ĨĨ^^II/II 2,V/€H
1

hay _1 — là một cận khung dưới của { f k } ^ L i *\-l
Đặt h = (ư*)~1g hay g = ư*h.

MTh!

sup
llsll/o IMI


Khi đó g Ỷ 0 tương đương với h Ỷ 0- Ta có

Từ đó tồn tại dãy { h i } Ỷ 0 sao chơ

INI l|f/_1ll2
\ \ u -11

\\U'ht\
hay
\\ư*h.112
1

Từ đó, ị ị ụ l i 112 là cận dưới tối ưu của khung { f k } k L i -

□



i =1

2

= \ \ T ' f \ \ 2 < irfimi 2 = l|r|| 2 ||/|| 2 .

i=l

Đặt g = T'ỉ khi đó / = {T')-'g.
Vì vậy
1

1

II/II 2 < E|(Ĩ’T
I ƠS, /OI 2 < mi 2 ii/n 2 , ' i f e u .
2

-1
|r*/||
=
2
llsll >
T

i= 1

II (r*)-1!


00

khả nghịch nên Y2 C ị C ị = 0 . Vì {eị}°°
i= 1
C ị = 0, với mọi % .

1

là cơ sở trực chuẩn nên

00

(•
fc = l

Từ đó g k = 51-1 f k là cơ sở đối ngẫu của {/fc} và cũng là cơ sở Riesz của
n.

□

Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu một lớp khung có cấu trúc đặc biệt là
khung hàm số mũ. Nội dung của chương này dựa trên tài liệu tham khảo [1],