ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN ĐÌNH SỰ

TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA
CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ

THÁI NGUYÊN, 10/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN ĐÌNH SỰ

TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA
CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHÂN THỨ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN

THÁI NGUYÊN, 10/2018



9

1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10
1.4. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Một bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 Tính ổn định hóa của một số lớp hệ dương phân thứ
Caputo

15

2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 15
2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn
phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


ii

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian vectơ Euclide thực n−chiều

Rn×r


toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α
kết thúc chứng minh của định lí hoặc bổ đề


1

Lời nói đầu
Hệ động lực dương đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học vì những ứng dụng của nó trong nhiều bài toán kỹ thuật (xem [9] và
các tài liệu tham khảo trong đó) trong khoảng ba thập kỷ gần đây. Nói một
cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là hệ dương nếu các vectơ trạng
thái và vectơ đầu ra của hệ là không âm khi các điều kiện ban đầu và đầu vào
là không âm. Tính ổn định và ổn định hóa là một trong những tính chất định
tính quan trọng của hệ động lực dương. Vì vậy, nó đã nhận được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [3, 12, 14, 16, 18]. Chẳng hạn, bằng cách
tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với bài toán quy hoạch
tuyến tính, các tác giả trong [16] nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho lớp hệ
tuyến tính với điều khiển có hạn chế. Trong [12], một vài tiêu chuẩn cho tính
dương và tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ đã được

nhất nghiệm. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân
thứ Caputo không thuần nhất cũng được chúng tôi trình bày trong chương
này. Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho hệ
phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tổng quát cũng được trình bày trong
chương này.
Chương 2 của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để đảm bảo một hệ
tuyến tính phân thứ Caputo là dương. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một
số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa của một số lớp hệ điều khiển tuyến tính
phân thứ Caputo với điều khiển không có hạn chế và có hạn chế. Các kết quả
của chương này được chúng tôi đưa ra bằng cách áp dụng các kỹ thuật chứng
minh trong các bài báo [8] và [17] trong danh mục tài liệu tham khảo của luận
văn.
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ. Với tình cảm chân thành em xin
gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS. Mai Viết Thuận - người Thầy đã tận tình
hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn.
Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao
học Toán K10 khóa 2016 - 2018, các phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin


3

trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện
cho em trong thời gian học tập vừa qua.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám Hiệu trường THPT Hiệp
Hòa số 2, tập thể lớp K10, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này.
Thái Nguyên, ngày 02 tháng 10 năm 2018

:=
Γ(α)

t

(t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b],
t0
+∞

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước

α
t 0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lí sau:


5

Định lí 1.1. Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó,
tích phân


−α
j=0

1.1.2.

(λt)α+j
, t > 0.
Γ(α + j + 1)

Đạo hàm phân thứ

Định nghĩa 1.2. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R.
Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi:

dn t
dn
1
n−α
(t − s)n−α−1 x(s)ds,
:= n t0 It x(t) =
n
dt
Γ(n − α) dt t0
trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và
RL α
t0 Dt x(t)

dn

tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
t

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)).
a

Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D =

d
)}.
dt

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như
sau:

n−1

f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

ck (t − t0 )k ,


tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn

dưới dạng sau:
n−1
RL α
t0 Dt f (t)

=
k=0

1
f (k) (t0 )
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.
Hệ quả 1.1. Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

1

RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]

1
dn
Γ(n − α) dtn
dn
λ
=
Γ(n − α) dtn

t

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)]ds

=

t0
t

(t − s)n−α−1 f (s)ds +
t0

µ
dn
Γ(n − α) dtn

t


α
C
α
C
α
T
:= (C
t0 Dt x1 (t),t0 Dt x2 (t), . . . ,t0 Dt xd (t)) .

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm phân thứ Caputo
cấp α.
Định lí 1.3. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm
α
phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có:
α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

1
=
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds


Đặc biệt:
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ
Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là:
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Định lí 1.4. Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có:
α
C α
t0 Dt (t0 It f (t))

= f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ.
Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây:


−
j=0

với hầu hết t ∈ [a, b].

(t − t0 )j (j)
x (t0 )),
j!


9

1.2.

Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị vectơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x

∞

∞

được định nghĩa như sau:


1
Γ(α)

t

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

0

Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời
điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được
ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại


10

tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời
điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản
giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lí 1.7. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và
K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}.
Giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ G.
Đặt M = sup


11

Định nghĩa 1.4. Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
+∞

Eα (z) =
k=0

zk
,
Γ(αk + 1)

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có:
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .


 C Dα x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0;
0

t

(1.4)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó x(t) ∈ Rn , g(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước.
Ta dễ dàng thu được công thức tường minh của nghiệm bài toán (1.4) như sau:
t

Φ(t − τ )g(τ ) dτ,

ϕ(t, x0 ) = Φ0 (t)x0 +
0

trong đó:
+∞
α

Φ0 (t) = Eα (At ) =
k=0
+∞

Φ(t) =
k=0


trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f :
Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0.
Định lí 1.9. Xét bài toán (1.5). Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz toàn cục
trên Rn với hệ số Lipschitz L và f (0) = 0. Khi đó, với mọi x0 ∈ Rn , bài toán
giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0 ). Hơn nữa, nghiệm này
thỏa mãn công thức biến thiên hằng số:
t
α

(t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)f (x(τ, x0 )) dτ, ∀t ≥ 0.

x(t, x0 ) = Eα (t A)x0 +
0

1.4.

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ
Dtα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,

(1.6)

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn là vectơ trạng thái, t0 ≥ 0 là
thời điểm ban đầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Đạo hàm phân thứ Dtα (.) ở trong công
thức (1.6) được hiểu là đạo hàm phân thứ Caputo hoặc Riemann-Liouville.
Định nghĩa 1.6. Vectơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương


x(t) = 0.

Đối với hệ phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân
có trễ phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên
cứu tính ổn định. Năm 2010, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny [14] đưa ra
phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương
trình vi phân phân thứ.
Định lí 1.10. [14] Hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương
α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện
(i)
(ii)

α1 x(t)

a

≤ V (t, x(t)) ≤ α2 x(t)

Dtα V (t, x(t)) ≤ −α3 x(t)

ab

ab

,

,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa


Tính ổn định hóa của một số lớp
hệ dương phân thứ Caputo
2.1.

Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương phân
thứ Caputo

Mục này, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định và ổn
định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo. Một số nội dung của
chương này (các Định lí 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6) là những kết quả mới của chúng
tôi với kỹ thuật chứng minh dựa trên các bài báo [5] và [17] trong danh mục
tài liệu tham khảo.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0;
0

t

(2.1)


 x(0) = x0 ∈ Rn ,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, A là một ma trận thực vuông
cấp n cho trước.
Theo như kết quả trình bày ở Chương 1, nghiệm của hệ (2.1) có dạng:
x(t) = Eα (Atα )x0 ,
trong đó Eα (.) là hàm Mittag-Leffler xác định bởi:

Rn+ , ta có x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0.
Định lí dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ
tuyến tính phân thứ.
Định lí 2.1. [11] Hệ tuyến tính phân thứ (2.1) là hệ dương nếu và chỉ nếu A
là ma trận Metzler.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1) là một hệ dương. Ta chứng tỏ A là ma
trận Metzler. Vì hệ (2.1) là một hệ dương nên với x0 ∈ Rn+ , ta có x(t) =
Eα (Atα )x0 ≥ 0. Từ đó suy ra Eα (Atα ) ≥ 0. Mặt khác, ta lại có:
∞
α

Eα (At ) =
k=0

(Atα )k
A
=I+
+ ...
Γ(kα + 1)
Γ(α + 1)

Từ đó suy ra Eα (Atα ) ≥ 0 với t ≥ 0 đủ nhỏ chỉ khi A là ma trận Metzler.
Điều kiện đủ: Giả sử A là ma trận Metzler, ta chứng tỏ hệ (2.1) là một hệ
dương. Cho x0 ∈ Rn+ , ta chứng tỏ x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0. Vì nghiệm của hệ
(2.1) được biểu diễn dưới dạng (2.2) nên để chứng tỏ x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0,
ta chỉ phải chỉ ra Eα (Atα ) ≥ 0. Ta sẽ chỉ ra điều này bằng phản chứng. Giả
sử ngược lại Eα (Atα ) := Ψ = (Ψij ) không phải là ma trận không âm với mọi



Trong công thức (2.3), cho t → 0+ ta thu được
lim+

Eα (Atα ) − I
tα
Γ(α+1)

t→0

= A.

(2.4)

T

Định nghĩa vectơ ei = [0 0 1 0 . . . 0] trong đó 1 là giá trị tại vị trí thứ i. Từ
đó suy ra
lim+ eTi

Eα (Atα ) − I
tα
Γ(α+1)

t→0

ej = eTi Aej .

(2.5)

Vì eTi ej = 0 và eTi Ψej = Ψ(i, j), ta thu được đánh giá sau:


kết quả trong [4] tồn tại một vectơ ρ ∈ Rn , ρ > 0 sao cho −(A)T ρ > 0. Suy ra
ρT A < 0. Vì hệ (2.1) là hệ dương nên x(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0. Ta xét hàm Lyapunov
sau:
V (x(t)) = ρT x(t).
Dễ thấy V (x(t)) thỏa mãn điều kiện (i) trong Định lí 1.10. Lấy đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α của V (x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.1, ta thu được đánh giá sau:
C α
0 Dt V

(x(t)) ≤ ρT 0C Dtα x(t) = ρT Ax(t) < 0, ∀x = 0.

Vậy điều kiện (ii) trong Định lí 1.10 cũng được thỏa mãn. Vậy hệ tuyến tính
phân thứ Caputo (2.1) ổn định tiệm cận.
Nhận xét 2.1. Điều kiện (2.7) trong Định lí 2.2 có thể giải được bằng chương
trình LP (Linear Program) trong MATLAB.
Chúng tôi đưa ra ví dụ sau để minh họa cho kết quả lí thuyết trong Định lí
2.2.
Ví dụ 2.1. Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = Ax(t), t ≥ 0;
0

t

(2.8)


 x(0) = x0 ∈ R4+ ,

.

Do đó hệ (2.7) là hệ dương và ổn định tiệm cận.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày tính ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến
tính phân thứ Caputo.


19

Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo


 C Dα x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0;
0

t

(2.9)


 x(0) = x0 ,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều
khiển, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các ma trận thực hằng số cho trước.
Mục đích của ta tìm điều khiển ngược:
u(t) = Kx(t)
sao cho hệ đóng sau:





K=

y1 y2
yn
...
.
λ1 λ2
λn

(2.13)

Chứng minh. Giả sử rằng điều kiện (2.11), (2.12) được thỏa mãn với ma
trận điều khiển ngược K xác định bởi (2.13). Áp dụng Định lí 2.2 cho hệ đóng
(2.10), ta thu được đánh giá sau:
Aλ + BKλ < 0.

(2.14)


20

Chú ý rằng biểu thức (2.13) có thể được viết lại như sau:
n

Kλ =

yi .
i=1

Từ đó suy ra (2.14) tương đương với điều kiện (2.11). Bên cạnh đó hệ đóng

−0.4

−0.8 −0.8

,B=

0.5

.

0.6

Ta thấy hệ mở, tức là hệ (2.16) với u(t) ≡ 0 không là hệ dương vì A không là
ma trận Metzler. Ta sẽ tìm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), với K ∈ R1×2 là
ma trận sẽ được xác định sau để hệ đóng


 C Dα x(t) = (A + BK)x(t), t ≥ 0;
0

t

(2.17)


 x(0) = x0 ∈ R2+ ,
là một hệ dương và ổn định tiệm cận.
Bằng cách sử dụng chương trình LP trong MATLAB, ta thấy các điều kiện
T



trong đó A là ma trận Metzler, α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái,
u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển.
Mục đích của ta là nghiên cứu bài toán sau: Cho trước các vectơ u ∈ Rm , u >
0 và u ∈ Rm , u > 0, tìm vectơ x ∈ Rn là cận trên của vectơ trạng thái x(t) của
hệ (2.18), tức là x(t) ≤ x và ma trận K thỏa mãn −u ≤ u(t) = Kx(t) ≤ u sao
cho hệ đóng sau là dương và ổn định tiệm cận


C α

D x(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0;


 0 t
x(0) = x0 ;




 −u ≤ u(t) ≤ u.

(2.19)

Hai bổ đề sau đóng vai trò quan trọng trong việc trình bày các kết quả tiếp
theo.
Bổ đề 2.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó ta có
Eα (Atα ) − I = 0 Itα (Eα (Atα )A) , α ∈ (0, 1).

(2.20)

(Atα )k
Γ(kα + 1)
(Atα )k
.
Γ(kα + 1)

Mặt khác, ta lại có:
C α
0 Dt

tβ =

Γ(β + 1) β−α
t
.
Γ(β − α + 1)

(2.21)