ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ
TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN
CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ
TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN
CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN


1.2. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình
có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . .
1.2.2. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ . .
1.3. Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . .

vi phân
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

4
4
6
7
8

2 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển
có hạn chế
9
2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính . . . . . .
9
2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều
khiển có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới (xem [3, 7, 9] và
các tài liệu tham khảo trong đó).
Mặt khác, trong nhiều bài toán thực tiễn, các đối tượng điều khiển thường
sẽ bị hạn chế (ràng buộc) bởi các điều kiện do các thông số kỹ thuật phải
thỏa mãn những yêu cầu khác nhau. Ví dụ, ta đòi hỏi đối tượng điều khiển
là các số không âm, hoặc nằm trong một miền giới hạn cho trước nào đó. Vì
vậy, việc nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển dương với điều
khiển có hạn chế là một bài toán cần thiết và có ý nghĩa. Bài toán này đã
nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần
đây (xem [10, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó).
Mục đích của luận văn là trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa
của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ cũng như không có trễ với điều khiển
có hạn chế trên cơ sở các bài báo [9, 11] trong danh mục tài liệu tham khảo.
Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị. Mục 1.1 giới thiệu bài toán ổn
định, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường. Mục 1.2 giới
thiệu bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân
có trễ. Mục 1.3 và Mục 1.4 trình bày một số khái niệm hệ dương có trễ cũng
như không có trễ.
Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với


iv

điều khiển có hạn chế. Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 04 ví
dụ số được tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lý
thuyết. Có thể nói ngoài việc đọc hiểu và trình bày một cách chi tiết các kết
quả trong bài báo [11], thì 04 ví dụ số này chính là đóng góp mới của chúng
tôi trong luận văn này.
Chương 3 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ.


không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn )

không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

A

0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A

B

nghĩa là A − B

A

0


1

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn
định và ổn định hóa được của các hệ phương trình vi phân thường và hệ
phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả về hệ
tuyến tính dương và hệ tuyến tính dương có trễ. Kiến thức sử dụng trong
chương này được tham khảo trong [1, 2, 5, 6, 7, 8].

1.1.

Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương
trình vi phân thường

1.1.1.

Bài toán ổn định

Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t)),

t ∈ R+ ,

(1.1)


Xét lớp hệ tuyến tính ôtônôm

x(t)
˙
= Ax(t),
t ≥ t0
(1.2)
x(t ) = x
0

0

Dựa vào tính chất tập các giá trị riêng của ma trận A, Lyapunov đã đưa ra
một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ (1.2). Cụ thể là hệ (1.2)
là ổn định mũ khi và chỉ khi Reλj < 0 với mọi λj ∈ λ(A). Tuy nhiên, trong
thực tế các hệ thống thường chứa các tham số không biết trước, chẳng hạn
đối với hệ (1.2), ma trận A bị nhiễu thành A + ∆A(t), ở đó ∆A(t) = EF (t)H,
với E, F là các ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp, F (t) là ma trận
không biết trước nhưng thỏa mãn F T (t)F (t) ≤ I. Vì sự phức tạp của tập
phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đã đưa ra một cách tiếp cận dựa trên dạng hàm
toàn phương V (x) = xT P x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định
dương, phương trình Lyapunov (LE) : AT P + P A = −Q có nghiệm P là ma
trận đối xứng, xác định dương. Phương pháp này thường được gọi là phương
pháp hàm Lyapunov.
1.1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov

Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ (1.1).
Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm V : R+ × Rn → R, khả vi liên tục, thỏa mãn

.
λ1
1.1.3.

Bài toán ổn định hóa

Xét một hệ thống điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển. Hàm
điều khiển u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn
[0; s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm . Hàm R+ × Rn × Rm → Rn là hàm vectơ
cho trước, thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Giả thiết rằng, với mỗi
u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn [0, s], với
mọi s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm và với mọi x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm duy
nhất xu (t) = xu (t; x0 ) thỏa mãn điều kiện ban đầu xu (0; x0 ) = x0 và xác định
trên [0; +∞).
Một bài toán quan trọng khác của lý thuyết điều khiển là bài toán ổn định
hóa.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full