ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------

VŨ THỊ THU TRANG

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN MẶT
TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN
CÓ PHẢN XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011


LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Đình Dũng. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn, chỉ
bảo em nhiệt tình trong suốt quá trình học tập môn học và quá trình em
thực hiện luận văn này
Qua đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ vật
lý lý thuyết và vật lý toán, các thầy cô trong khoa Vật Lý, ban chủ
nhiệm khoa Vật lý trường Đại học khoa học tự nhiên đã quan tâm tạo
điều kiện giúp đỡ em trong thời gian làm khóa luận cũng như trong
suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các bạn trong tập thể
lớp Cao học 2009- 2011 và gia đình em đã đóng góp những ý kiến quý
báu và tạo điều kiện giúp em thực hiện luận văn này.

Hà Nội, ngày 26 tháng 10 năm 2011
Học viên: Vũ Thị Thu Trang



MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng rộng
rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc.
Các nơtron chậm là một công cụ độc đáo trong việc nghiên cứu động học của
các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [14,15,19,20,21]
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc tinh thể, đặc biệt là cấu trúc từ của tinh thể,
phương pháp quang nơtron đã được sử dụng rộng rãi. Chúng ta dùng chùm nơtron
chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ để tạo ra quá
trình sinh hủy hạt ). Nhờ nơtron có tính trung hòa điện, đồng thời môment lưỡng
cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện dẫn
đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là rất lớn, và bức tranh giao thoa
của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Điều đó giúp ta hiểu rõ hơn về sự tiến động spin của các nơtron trong bia có các
hạt nhân phân cực [2,9,17,18,25]
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực
trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng về
tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan spin
của các hạt nhân...[11,12,13,25]. Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các
nơtron trong tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và sự
thay đổi phân cực của nơtron trong tinh thể cũng đã được nghiên cứu [9,11,13].
Trong bài luận văn này, chúng tôi nghiên cứu: Tán xạ hạt nhân của các nơtron
phân cực trên mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản
xạ
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết
toàn quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011.


Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:

Wn ' p '|np 

2

n ' p ' V np

2

  En  E p  En '  E p ' 

(1.1.2)

Trong đó:
V là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia.
En , E p , En ' , E p ' là các năng lượng tương ứng của hạt bia và nơtron trước và sau

khi tán xạ.
  En  E p  En '  E p '  - hàm delta Dirac.

  En  E p  En '  E p '  

1
2



e





nn '



2

 n n ' Vp ' p n

2

  En  E p  En '  E p ' 

(1.1.4)

nn '

Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận
n ' p ' V np  n ' Vp ' p n

(1.1.5)

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia lấy
theo các trạng thái của nơtron và Vp‟p là toán tử tương đối với các biến số hạt bia
Thay phương trình (1.1.3) vào (1.1.4) ta được:
1

Wp '| p 

2

i

Ở đây: Vp ' p  t   e Vp ' p e
Ht

i
 Ht

 En '  En t

 n ' Vp ' p  t  n

(1.1.7)

là biểu diễn Heisenberg của toán tử Vp‟p với toán

tử Hamilton.
Thay (1.1.7) vào (1.1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm
tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy
tổng theo n‟, n chính là vết của chúng và được viết lại:


Wp '| p 



1

e





Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia  ,
các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất  n .
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động
ta có hàm phân bố trạng thái là:
e  H

Sp e  H 
1
k zT

Với:  

k z - hằng số Boltmann

T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân
bố là:
A   n A 
n

Sp e  H A

(1.1.9)

Sp e  H 

Kết hợp (1.1.8) và (1.1.9) ta được:

i

dte

 E p '  E p t





 H 
 E p '  E p t Sp e Vp ' pVp ' p  t 


i

dte



1

Sp e  H 

Vp' pVp ' p  t 

(1.1.10)





p 

(1.1.11)


Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các
nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ
m - khối lượng nơtron
Trong công thức (1.1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới  và sử
dụng công thức:
L  Sp  L

(1.1.12)

Do đó dạng tường minh của công thức (1.1.11) được viết lại là:
d 2
m2

d dE p '  2 3



5

i
 E p '  E p t
p'
dte
Sp  Vp' pVp ' p  t 


(1.2.3)

Lấy tổng công thức (1.2.3) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được
thế tương tác của nơtron với toàn bộ bia:


N

Vp ' p    l eiqRl

(1.2.4)

l 1

Các yếu tố ma trận V p ' p thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng
p đến p ' được ghi nhận trên cơ sở (1.2.3) có dạng:



 

Vp' p   Al  Bl sJ l eiq Rl
l

(1.2.5).

Trong đó q  p  p ' : Véctơ tán xạ của nơtron
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do


e

q
- véctơ tán xạ đơn vị
q

s - spin của nơtron tới

Biểu thức Fj (q )  

Zj

*
j



eiqr s S j


 S S
j

zj

j

 d


Do vậy đại lượng V p ' p được viết lại dưới dạng sau:



 

Vp' p   Al  Bl sJ l eiq Rl 
l

4 2
iqR
r0  Fj (q )e j S j , s  (es )e
m
j





(1.2.9)

Từ đó ta đi tính được tiết diện tán xạ vi phân
d 2
m2

d dE p '  2 3



5


ei k Ri  n  n 0

(2.1.1)

Trong đó:  n là hàm sóng spin của nơtron tới,  n 0 là hàm sóng spin của hạt
nhân
Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích
thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể
được viết dưới dạng:
f     J

(2.1.2)

Trong đó:   2S , S là toán tử spin của nơtron
 là toán tử ma trận được tạo bởi các ma trận Pauli

J là toán tử spin của hạt nhân


a  a
I 1 
I
a 
a  và  
2I  1
2I  1
2I  1

a  là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với mômen tổng cộng của nơtron và


e

i k r  Ri

ei k Ri  n   nuc.m

r  Ri

(2.1.3)

m

là hàm sóng spin của các hạt nhân với giả thiết rằng các hạt

m

nhân không tương tác với nhau.
Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng công
thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo các trạng thái spin của chúng
Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:



 r

 e n   fm
ik r

i

(   I  p)  ei K r  n
kz



(2.1.5)

Trong công trình [16], toán tử
i
B  1   p
2

(2.1.6)

được gọi là toán tử spin quay xung quanh một trục đặc trưng bởi vectơ đơn vị  p
một góc  ; 

 r



 2 i   ik r 1 
 1 
f  e  
kz
0



(2.2.1)

Trong đó: f      Ip là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của
nơtron với spin song song với véctơ phân cực của hạt nhân p



Đối với nơtron có spin ngược lại thì sóng kết hợp đàn hồi  r



 r



 2 i   ik r  0 
 1 

(2.2.3)

Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì:

n  1 

Hiệu số n  n  n 

2 i 
2
f   1  2    Ip 
2
kz
kz



2
f  f
k z2



(2.2.4)
(2.2.5)

được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ
trong bia phân cực
Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có 2 hệ số khúc xạ
Xét trường hợp nơtron có véctơ phân cực tạo thành một góc tương đối với

0
0

Trạng thái spin   có liên quan tới chỉ số khúc xạ n
1 
Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác
định theo biểu thức sau:
 c1  (r ) 
1 
 0
  c1ei k  r  ei k z n z    c2ei k  r  ei k z n z  
 c2 _ (r ) 
0
1 



 (r )  

Véctơ phân cực của nơtron là :

Pn   

(2.2.7)
(2.2.8)


có các thành phần là :
Pnx  2 Re c1*c2 * 


Re f   f  z
kz

(2.2.11)

Biểu thức của (2.2.11) phù hợp với (2.2.10).
Trong trường hợp tổng quát, vectơ phân cực của hạt nhân không xác định. Để
mô tả hiệu ứng quay của spin nơtron ta dùng toán tử quay spin đi một góc  nào đó.
Sử dụng (2.1.5) ta có : Sau khi đi qua m mặt phẳng phân cực, hàm sóng của
nơtron là :



 r

m

 2 i 

 1 
   I  p  ei k r  n
kz







(2.2.12)

i n

việc mô tả bằng toán tử quay spin của nơtron đi một góc trong [16] : B  e 2 , ta
thấy, trong trường hợp này, toán tử quay spin nơtron được mô tả bởi :
 2

Bn  exp  i
Re    I  n p z 
 kz


(2.2.15)

Ngoài ra, sự quay spin của nơtron trong bia phân cực có thể nhận được bằng
cách khác.
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lƣợng để tính góc tiến động.
Gọi năng lượng của sóng kết hợp là Ekh'
Năng lượng của sóng tự do trong chân không là Etk
Theo định luật bảo toàn năng lượng thì thế năng có dạng :
k z2
2 2
2
U  Etk  E 
(1  n )  
 f  0
2m
m
2

'

(2.3.3)

Khi nơtron chuyển động trong từ trường, năng lượng tương tác của thành phần
spin song song với H được tính theo công thức : W   H
Tương tự với thành phần spin ngược lại ta có năng lượng bằng W   H
Hiệu năng lượng là : W  W  2 H
Giới hạn của tần số chuyển động tiến động của nơtron trong từ trường H là :
R 

2 H


Hoàn toàn tương tự, trong từ trường tồn tại hiệu số thế U   U  , spin của
nơtron chuyển động tiến động quanh trục song song với vectơ phân cực của hạt
nhân với tần số :
  Re

U U



4 
Re  Ip
m

(2.3.4)

Trong khoảng thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc   t .
Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là : t 


2

 I
p(t )
m
2

Như vậy, năng lượng tương tác spin trong từ trường hiệu dụng là :
V   G   ( B(t )  H eff (t ))

(2.3.5)


CHƢƠNG 3 – PHẢN XẠ GƢƠNG CỦA CÁC NƠTRON
PHÂN CỰC TRÊN MẶT BIÊN GỒ GHỀ GIỮA “CHÂN
KHÔNG – VẬT CHẤT” CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
3.1. Ảnh hƣởng của sự gồ ghề mặt biên “chân không – vật chất” có các hạt
nhân phân cực lên phản xạ gƣơng của các nơtron phân cực
Phản xạ gương của nơtron trên mặt biên giữa vật chất và chân không đã được
nghiên cứu [19]. Sự xuất hiện gồ ghề của mặt biên giới hạn đã dẫn tới sự phụ thuộc
của hệ số phản xạ vào hệ số Debye-Waller [15]. Sự khác biệt giữa công thức mô tả
sự phản xạ gương trên mặt biên phẳng với công thức trong trường hợp có sự gồ ghề
cho phép phán đoán trạng thái bề mặt
Khi xem xét phản xạ gương của các nơtron phân cực trên biên thực tế giữa vật
chất và chân không, chúng ta cần tính đến sự gồ ghề của mặt biên. Sự gồ ghề của
mặt biên thực xuất hiện là do sự gồ ghề của các vị trí của các hạt nhân trong quá
0

trình dao động nhiệt hoặc là do sự thăng giáng vị trí của biên đến cỡ vài chục A
Giả sử chùm nơtron phân cực tiến đến bề mặt của vật chất có các hạt nhân

 - moment từ của nơtron
V ( x) : Thành phần thế hạt nhân hiệu dụng không phụ thuộc vào spin

1

0

z  
 - ma trận Pauli.
 0 1

Ta viết lại (3.1.2) dưới dạng:
H = H 0   ( x,  z )
H0 =

(3.1.3)

p2
+ V0   G eff  z   ( x)
2m 

Trong đó: V0 và Geff - là các giá trị của V ( x) và Geff ( x) ở sâu trong bia cách xa
biên
1 , x  0
0 , x  0

 ( x,  z ) = V ( x)  V0 ( x)  Geff ( x)  Geff  ( x) z ở đó  ( x)  

 ( x,  z ) - nhiễu loạn xuất hiện khi ta tính đến sự gồ ghề của mặt vật chất



2m

 x ( x)  k x2  2 V0





Geff  ( x)  1 ( x)  ( x)  0

(3.1.5)

Ở đó
1/2

 2mE 
kx   2  



1 ( x)  

2m
2

0

  ( x)


 ik x

e x  Ao  e x , x  0
0  ( x )  
 ik x x
,x 0

 B0 e


Ở đó:

k x 

2mE

k x 

2m

2

2



0

 E  V0  Geff 



Ở đó 0 ( x ') - nghiệm của phương trình thuần nhất xác định phản xạ gương trên
biên phẳng của chân không - vật chất.
Thay (3.1.9) vào (3.1.7) chúng ta sẽ nhận được biên độ sóng phản xạ có dạng
như sau:

A  A0 

i
0 ( x ')1 ( x ') ( x ')dx '
k x 

(3.1.10)

Hạn chế ở gần đúng bậc nhất và chú ý đến các công thức (3.1.8) chúng ta sẽ
nhận được:

i
A  A0  
kx
i
 A0  
kx



 e

2 ik x x '




x





 x '

1

( x ')dx '



Nếu 1 ( x ') là một hàm chẵn thì tích phân thứ hai của biểu thức trên sẽ bằng
không và ta có


iB02
A  A0   2  1 ( x ')dx '
kx 0

Chúng ta xét một ví dụ khi 1 ( x ') có dạng Gauss :

1 ( x ')   0 e





(3.1.12)

Như vậy cường độ của sóng phản xạ được xác định bởi biểu thức sau :

J   A0

2

2 A0 k x 0 md0
 16 Im
(k x  k x )2 2

(3.1.13)

Bây giờ chúng ta đánh giá số hạng bộ xung vào cường độ của sóng phản xạ ở
gần góc tới hạn đặc trưng có sự gồ ghề của bề mặt biên. Để làm được điều đó chúng
ta chọn k   109 cm 1 và góc trượt của nơtron   0,10 .
Trong trường hợp đó
 0 V0

2 2
 f (0) ,
m

k x  106

cm 1

Theo kết quả của [18] thì

Giả sử rằng các nơtron tiến đến bia có các vectơ phân cực hướng theo một
góc nào đó đối với hướng của vectơ phân cực của hạt nhân bia P N .
Trạng thái của nơtron có thể xem như là sự tổ hợp của hai trạng thái phân
cực, phân cực theo vectơ phân cực của hạt nhân bia PN và phân cực theo hướng
ngược lại.
Hàm sóng mô tả trạng thái spin của nơtron tới là :
1

 0

 s  c1    c2  
0
1
z

2

2

Trong đó c1 và c2 cho ta xác suất tìm thấy nơtron có trạng thái spin S z 

1
2

1
2

và S z   .
Ta xem xét hàm sóng phản xạ của nơtron có dạng như sau :
 px  e






(3.2.2)
Đặt :  

i8 2 k x m 0

k


x

 k x



2

2

và  

i8 2 k x m 0

k



1 0 
 ;  y   i 0  ;  z   0 1
0





0

x  
1

Ta có :

Px 

 px  x  px
 px  px
0 1
 px
1 0

 px  x  px   px  
 eik

r




 c1*  A0*

 *d0  .c2  A0

 d0   c2*  A0*

 *d0  .c1  A0





 d0   ikx x
e
 d0  

 d0 

2
Bỏ qua các số hạng chứa d 0 , ta có :

 px  x  px

 c1*c2  A0* A0   *d0 A0  A0* d0   c1c2*  A0* A0   d0 A0  * A0* d0 

 2 Re c1*c2  A0* A0   *d0 A0  A0* d0 

 px  px   px  px
 ei k









2
2
2
2
 c1  A0  2 Re A0* d0   c2  A0  2 Re A0* d0 





Vậy :