BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
CHO LỚP HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH
VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với
sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Trung Dũng.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả
của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 24 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Phương

ii


KÍ HIỆU TOÁN HỌC

R

Tập tất cả các số thực.

Rn

Không gian Euclide n chiều.

R+

Tập các số thực dương.

Z

Tập các số nguyên.


1

1 Cơ sở toán học
1.1 Hệ động lực với thời gian rời rạc . . . . . . .
1.1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản .
1.1.2 Các định lí về ổn định và ổn định tiệm
1.2 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bài toán đảm bảo giá trị . . . . . . . . . . .
1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . .

. . .
. . .
cận
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


2 Bài toán ổn định hóa và đảm bảo giá trị tối ưu cho hệ
tuyến tính với thời gian rời rạc
14
2.1 Các tiêu chuẩn về ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Đảm bảo giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

iv


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính của hệ điều
khiển đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ở trong
nước và trên thế giới. Việc nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong kỹ
thuật như mô phỏng máy tính, thí nghiệm, tính toán . . . Chính vì thế,
nghiên cứu tính ổn định của hệ điều khiển đóng vai trò vô cùng quan
trọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ động lực.
Mặt khác hệ điều khiển có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian và
chúng ổn định với thời gian liên tục. Vậy hệ điều khiển có thay đổi định
tính với thời gian rời rạc (một tập hợp những thời điểm rời rạc) hay không?
Nếu hệ điều khiển ổn định với thời gian rời rạc thì nó ổn định như thế nào?
Để trả lời cho mọi thắc mắc trên cùng với sự giúp đỡ và định hướng của
Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn đề tài: " Tìm hiểu về bài toán
ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với thời
gian rời rạc" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các khái niệm ổn định, ổn định hóa của hệ đông lực với thời

1.1.1

Hệ động lực với thời gian rời rạc
Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Cho hệ động lực với thời gian rời rạc như sau:


x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z0

(1.1)


x(0) = x
0
trong đó:
• x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái.
+

• f (x, x(k)) : Z × Rn → Rn là hàm liên tục theo biến x.
• x0 là điều kiện ban đầu.
Nếu f (x, x(k)) = Ax(k) thì hệ (1.1) được gọi là hệ tuyến tính với thời
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

gian rời rạc.

chúng ta có
V (x) ≤ max V (u), v(x) ≥ min V (u)
u ≤r

r≤ u ≤d

(1.2)

ở đó x = r. Trong (1.2) các vế phải là các hàm đơn điệu đối với r và
thuộc lớp K. Vì vậy tồn tại hai hàm φ, ϕ ∈ K sao cho:
φ( x ) ≤ V (x) ≤ ϕ( x ).

(1.3)

Từ vế trái của bất đẳng thức trên, chúng ta có thể định nghĩa tương
đương về sự xác định dương của hàm V (x) như sau:
φ(r) ≤ V (x), x = r, x ∈ Ω.
Ký hiệu Sp = {x ∈ Rn : x ≤ p} và x(k) = x(k, x0 ) là nghiệm bất kì
của (1.1) với x(0) = x0 .
Sai phân của hàm V (x) theo nghiệm x(k) được xác định như sau:
∆V x(k) =V (x(k + 1)) − V (x(k))
=V (f x(k)) − V (x(k))
Hàm V (x) được gọi là hàm Lyapunov.

1.1.2

Các định lí về ổn định và ổn định tiệm cận

Định lý 1.1. [3] Nếu tồn tại một hàm xác định dương V (x) ∈ C[Sp , R+ ]
sao cho ∆V (x(k)) ≤ 0 với mọi nghiệm x(k) = x(k, x0 ) của hệ (1.1) sao

λ ≤ x(k) ≤ ε, k ≥ 0, x0 < δ.

(1.4)

Vì x(k) ≥ λ > 0 với mọi k ≥ 0 nên tồn tại một hằng số d > 0 sao cho
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

α( x(k) ) ≥ d với mọi k ≥ 0 sao cho α( x(k) ) ≥ d với mọi k ≥ 0.
Vì vậy, chúng ta có
∆V (x(k)) ≤ −d < 0, k ≥ 0.
Điều này kéo theo
k−1

∆(x(i)) ≤ V (x0 ) − kd.

V (x(k)) = V (x0 ) +
i=0

Do đó với k đủ lớn thì về phải của bất đẳng thức trên là âm. Điều này
mâu thuẫn với giả thiết V (x) là xác định dương. Do đó không tồn tại λ
sao cho (1.4) đúng. Hơn nữa, vì V (x(k)) là dương và không giảm đối với
k nên suy ra lim V x(k) = 0. Do đó, lim x(k) = 0.
k→∞

k→∞

(1.5) là ổn định tiện cận.
Nhận xét 1.2. Điều kiện AT P A − P < 0 tương đương với điều kiện với
bất kì ma trận đối xứng xác định dương Q thì phương trình
AT P A − A = −Q
có nghiệm. Phương trình này được gọi là phương trình Lyapunov.

1.2

Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc như sau


x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z+

x(0) = x .
0

8

(1.7)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Tương ứng, chúng ta xét hệ điều khiển tuyến tính, không chắc chắn với
thời gian rời rạc như sau:
x(k + 1) = [A + ∆A(k)]x(k) + [B + ∆B(k)]u(k)



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

với Acl = A + BK và
x(k + 1) = [A + ∆A(k)] + [B + ∆B(k)]Kx(k)

(1.12)

= [Acl + ∆Acl (k)]x(k)
Định nghĩa 1.7. Hệ (1.7) được gọi là ổn định hóa nếu tồn tại bộ điều
khiển u(k) = Kx(k) sao cho hệ đóng (1.11) là ổn định.
Định nghĩa 1.8. Hệ (1.8)được gọi là ổn định hóa nếu tồn tại bộ điều
khiển u(k) = Kx(k) sao cho hệ đóng (1.12) là ổn định với mọi đại lượng
"không chắc chắn" chấp nhận được.

1.3

Bài toán đảm bảo giá trị

Xét hệ điều khiển tuyến tính với thời gian rời rạc như sau


x(k + 1) = [A + ∆A(k)]x(k) + [B + ∆B(k)]u(k)

x(0) = x .
0
Liên kết với hệ thống này chúng ta có hàm mục tiêu như sau

xT (k)[Q + K T RK]x(k)].

J=
k=0

Bài toán được đặt ra là ta sẽ thiết kế một bộ điều khiển ngược sao cho
hệ đóng là ổn định với mọi đại lượng không chắc chắn chấp nhận được
và đảm bảo hàm chi phí không vượt quá một mức cho trước.

1.4

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.1. Cho W là ma trận khả nghịch, khi đó với bất kỳ ma trận
U, V kích thước phù hợp, ta có



−1

U −VW V
0

T

0
W




−1

−W V

0
T

I


.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học




I −V W
0


=

=

=
Do đó



I

−1

U −VW V
V

U
V

T

T

V

T

W

0
W

U − V W−1 V T
0

W




VT

−1

V



−1

T

U − V W−1 V T

I −V W



NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

I

0

−1

−W V

I
−1


VT W


 ≥ 0 ⇔ U − V W −1 V T ≥ 0.

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG


Chứng minh. Đặt Q = 
Ta có


QT 

U
V

T

I
−W

V
W



.

Do đó, ta có



U

V

VT W


 ≥ 0 ⇔ U − V W −1 V T ≥ 0.

Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.3. [4] Cho JA ,DA và EA là ma trận thực có số chiều phù hợp
trong đó JA là ma trận đối xứng. Khi đó

JA + DA FA (k)EA (t) + [DA FA (k)EA (t)]T < 0.
với mọi FA (k) thỏa mãn FA (t)T FA (k) ≤ I khi và chỉ khi tồn tại εA > 0
sao cho
T
JA + εA DA DA (t)T + ε−1
A EA EA (t) < 0.

13




 AX + BY
−X
Khi đó ma trận điều khiển ngược cho bởi K = Y X −1 .

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

Chứng minh. Sử dụng các kết quả về sự ổn định, hệ đóng ổn định nếu
tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P > 0 thỏa mãn bất đẳng
thức sau




−P

ATcl P

P Acl −P


 < 0.

Sử dụng biểu thức của Acl chúng ta có.

−X


 < 0.

Bây giờ, đặt Y = KX nghĩa là



T

T

−X

XA + Y B

AX + BY

−X

T



−X
Ma trận điều khiển ngược cho bởi K = Y X −1 .
Ví dụ 2.1.1. Cho hệ điều khiển (1.1) với các ma trận hệ cho bởi:


1 0 −1


A =  0 −2 1

2 −1 −2










0 1




B=2 0


1 1

498.6871

−88.5828

−444.8524 −252.1721 207.7342




Giá trị riêng của ma trận X là:
S1 = 142.7975, S2 = 414.7446, S3 = 599.8286,
do đó ma trận X là đối xứng xác định dương. Ma trận điều khiển ngược
cho bởi


K=

−0.3073

0.9956

−1.5229 −0.0018

−0.0435
1.7826.




Định lý 2.2. [1] Tồn tại một bộ điều khiển phản hồi trạng thái ổn định

 AX + BY − X +εA DA DA + εB DB DB
0
0







−P


 < 0.

Chúng ta có thể viết lại bất đẳng thức trên như sau:



−P

ATcl P
−P

 
+

0

 

T

(DA FA (k)EA ) P

+

0







=





=



0
P DA

0
P DB

 FA (k) EA 0


 FB (k) EA K 0

.Sử dụng Bổđề 1.2 
chúng tacó.




18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

được điều kiện đảm bảo sự ổn định của hệ đóng.


−P +

T
ε−1
A EA EA









+

T T
ε−1
B K EB EB K





 < 0.




Sử dụng các biểu thức Acl và Bổ đề 1.2 chúng ta có được.


T

J
[A + BK] P
0
0


 P [A + BK]
−P
P DA P DB



0
DAT P
−ε−1
0

XJX
XA


 AX + BKX



0

0

T

+XK B

T

0

0

−X

DA

DB

DAT