ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ
TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN
CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THÚY

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ
TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN
CÓ HẠN CHẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN


1.2. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình
có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . .
1.2.2. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ . .
1.3. Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . .

vi phân
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

4
4
6
7
8

2 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển
có hạn chế
9
2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính . . . . . .
9
2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều
khiển có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới (xem [3, 7, 9] và
các tài liệu tham khảo trong đó).
Mặt khác, trong nhiều bài toán thực tiễn, các đối tượng điều khiển thường
sẽ bị hạn chế (ràng buộc) bởi các điều kiện do các thông số kỹ thuật phải
thỏa mãn những yêu cầu khác nhau. Ví dụ, ta đòi hỏi đối tượng điều khiển
là các số không âm, hoặc nằm trong một miền giới hạn cho trước nào đó. Vì
vậy, việc nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển dương với điều
khiển có hạn chế là một bài toán cần thiết và có ý nghĩa. Bài toán này đã
nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần
đây (xem [10, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó).
Mục đích của luận văn là trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa
của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ cũng như không có trễ với điều khiển
có hạn chế trên cơ sở các bài báo [9, 11] trong danh mục tài liệu tham khảo.
Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị. Mục 1.1 giới thiệu bài toán ổn
định, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường. Mục 1.2 giới
thiệu bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân
có trễ. Mục 1.3 và Mục 1.4 trình bày một số khái niệm hệ dương có trễ cũng
như không có trễ.
Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với


iv

điều khiển có hạn chế. Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 04 ví
dụ số được tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lý
thuyết. Có thể nói ngoài việc đọc hiểu và trình bày một cách chi tiết các kết
quả trong bài báo [11], thì 04 ví dụ số này chính là đóng góp mới của chúng
tôi trong luận văn này.
Chương 3 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ.


không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn )

không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

A

0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A

B

nghĩa là A − B

A

0


1

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn
định và ổn định hóa được của các hệ phương trình vi phân thường và hệ
phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả về hệ
tuyến tính dương và hệ tuyến tính dương có trễ. Kiến thức sử dụng trong
chương này được tham khảo trong [1, 2, 5, 6, 7, 8].

1.1.

Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương
trình vi phân thường

1.1.1.

Bài toán ổn định

Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t)),

t ∈ R+ ,

(1.1)


Xét lớp hệ tuyến tính ôtônôm

x(t)
˙
= Ax(t),
t ≥ t0
(1.2)
x(t ) = x
0

0

Dựa vào tính chất tập các giá trị riêng của ma trận A, Lyapunov đã đưa ra
một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ (1.2). Cụ thể là hệ (1.2)
là ổn định mũ khi và chỉ khi Reλj < 0 với mọi λj ∈ λ(A). Tuy nhiên, trong
thực tế các hệ thống thường chứa các tham số không biết trước, chẳng hạn
đối với hệ (1.2), ma trận A bị nhiễu thành A + ∆A(t), ở đó ∆A(t) = EF (t)H,
với E, F là các ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp, F (t) là ma trận
không biết trước nhưng thỏa mãn F T (t)F (t) ≤ I. Vì sự phức tạp của tập
phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đã đưa ra một cách tiếp cận dựa trên dạng hàm
toàn phương V (x) = xT P x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định
dương, phương trình Lyapunov (LE) : AT P + P A = −Q có nghiệm P là ma
trận đối xứng, xác định dương. Phương pháp này thường được gọi là phương
pháp hàm Lyapunov.
1.1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov

Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ (1.1).
Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm V : R+ × Rn → R, khả vi liên tục, thỏa mãn

.
λ1
1.1.3.

Bài toán ổn định hóa

Xét một hệ thống điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển. Hàm
điều khiển u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn
[0; s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm . Hàm R+ × Rn × Rm → Rn là hàm vectơ
cho trước, thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Giả thiết rằng, với mỗi
u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn [0, s], với
mọi s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm và với mọi x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm duy
nhất xu (t) = xu (t; x0 ) thỏa mãn điều kiện ban đầu xu (0; x0 ) = x0 và xác định
trên [0; +∞).
Một bài toán quan trọng khác của lý thuyết điều khiển là bài toán ổn định
hóa.


4

Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.3) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại

được hết các quá trình này. Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình
này, người ta thường miêu tả chúng bằng các phương trình vi phân có trễ. Giả
sử h là một số thực không âm. Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn ) và P C([−h, 0], Rn )
lần lượt là không gian các hàm liên tục và liên tục từng khúc trên đoạn [−h, 0],
nhận giá trị trong không gian Rn và chuẩn của một phần tử φ ∈ C hoặc
P C([−h, 0], Rn ) được cho bởi ||φ||C = sup−h≤θ≤0 ||φ(θ)||. Với t0 ∈ R, σ ≥ 0
và x ∈ C([t0 − h, t0 + σ], Rn ), hàm xt ∈ C, t ∈ [t0 , t0 + σ], được xác định bởi
xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, x(t) là đoạn quỹ đạo trên đoạn [t − h, t]
của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi ||xt || := sups∈[−h,0] ||x(t+s)||.
cho D ⊂ R+ × C là một tập mở và hàm f : D → Rn . Một phương trình vi
phân có trễ trên D là phương trình dạng ([5])
x(t)
˙
= f (t, xt ).

(1.5)

Phương trình này được ký hiệu là RF DE(f ). Một hàm x được gọi là nghiệm
của phương trình vi phân có trễ (1.5) trên [t0 − h, t0 + σ) nếu tồn tại t0 ∈


5

R, σ > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h, t0 + σ), Rn ), (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa mãn
phương trình (1.5) với mọi t ∈ [t0 , t0 + σ). Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói
x(t0 , φ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.5) với hàm điều kiện ban đầu
φ tại t0 hoặc đơn giản là một nghiệm đi qua điểm (t0 , φ) nếu tồn tại một
số σ > 0 sao cho x(t0 , φ, f ) là nghiệm của hệ (1.5) trên [t0 − h, t0 + σ) và
xt0 (t0 , φ, f ) = φ. Khi t0 và f đã rõ, để đơn giản hơn trong cách viết, từ nay
về sau ta kí hiệu x(t, φ) thay cho x(t0 , φ, f )(t).

trong đó η(r), r ∈ [0, +∞) là hàm liên tục, không giảm và sao cho với
r0 ≥ 0 bất kỳ điều kiện sau thỏa mãn
R

lim

R→+∞

r0

dr
= +∞.
η(r)

Khi đó, với t0 ≥ 0 và φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.5) có duy
nhất nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định trên đoạn [t0 − h, +∞).
Trong cả luận văn này, chúng tôi giả thiết rằng hàm f (.) thỏa mãn điều kiện
sao cho với mỗi điểm (t0 , φ) ∈ R+ ×C, hệ (1.5) có nghiệm duy nhất đi qua điểm
(t0 , φ) và nghiệm xác định trên [t0 , +∞). Ta cũng giả thiết f (t, 0) ≡ 0, tức
là hệ (1.5) luôn có nghiệm không. Khi đó, ta cũng có các khái niệm nghiệm
không của hệ (1.5) là ổn đinh, ổn định tiệm cận, ổn định mũ tương tự hệ
phương trình vi phân thường. Tuy nhiên để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm
không của hệ (1.5) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ
(1.5) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).
1.2.2.

Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển có trễ



ajl λl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, i = 1, . . . , p,
p

p

n

Ai λ + B
i=0

(3.5)

kij < 0.

(3.6)

i=0 j=1

Ngoài ra, các ma trận Fi xác định bởi
ki1 ki2
kin
,
,...,
, i = 0, 1, . . . , p.
λ1 λ2
λn

Fi = [fi1 , fi2 , . . . , fin ] =


p

Di
i=0

(3.8)

+

Di

B ≺ 0. (3.9)

i=0

Ngoài ra, các ma trận Fi xác định bởi Fi = Di P −1 , i = 0, 1, . . . , p.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (i) ⇔ (ii), (iii) ⇔ (ii) và (iv) ⇔ (ii).
(i) ⇔ (ii). Theo Bổ đề 3.1, hệ (3.4) là dương nếu và chỉ nếu A0 + BF0 ∈
M, Ai + BFi ≥ 0, i = 1, . . . , p. Theo Bổ đề 3.2, hệ dương (3.4) là ổn định tiệm
p
cận khi và chỉ khi i=0 (Ai + BFi ) là ma trận Hurwitz.
(iii) ⇔ (ii). Xét các điều kiện (3.5)-(3.7). Chú ý rằng
(0)

ajl λl + bTj k0l ≥ 0
k0l
(0)
≥0
⇔ ajl + bTj
λl

Ai λ + B

=

i=0 j=1

i=0
p

p

(3.6) ⇔

Fi λ

Ai λ + B

Fi λ =

Ai + B
i=0

p

p

p

p


p

T

p

Ai P + P
i=0
p

(Ai + BFi )

=P
i=0

Ai
i=0
T

p

+B

Di
i=0

T

p



x(t)
˙
= A0 x(t) + A1 x(t − 2) + Bu(t), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−2, 0],

(3.10)

trong đó x(t) ∈ R2 là vectơ trạng thái, u(t) ∈ R là vectơ điều khiển, ϕ :
[−2, 0] −→ R2+ là điều kiện ban đầu, và các ma trận
A0 =

−0.5 2
0.3 0.6
0.5
, A1 =
,B=
.
−0.6 1.5
0.5 0.8
0.8
T

Ta sẽ chỉ ra tồn tại vectơ λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 , λ > 0 và k01 , k02 , k11 , k12 sao cho
các điều kiện trong phần (iii) của Định lý 3.1 được thỏa mãn. Dễ thấy các
điều kiện trong phần (iii) của Định lý 3.1 tương đương với hệ các bất đẳng
thức tuyến tính sau:




−0.1λ1 + 2.3λ2 + 0.8 (k01 + k02 + k11 + k12 ) < 0,




λ > 0, λ > 0.
1
2
Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI trong MATLAB ta thấy các điều kiện
trên được thỏa mãn với λ1 = 39.8631, λ2 = 13.7066, k01 = 242.5614, k02 =
38.6518, k11 = −458.0125, k12 = 68.2326. Vậy các điều kiện trong phần (iii)
T

của Định lý 3.1 được thỏa mãn với λ = (39.8631, 13.7066) , k01 = 242.5614, k02 =
38.6518, k11 = −458.0125, k12 = 68.2326.
Theo Định lý 3.1, hệ đóng tương ứng của hệ (3.10) là dương và ổn định


27

tiệm cận với điều khiển ngược cho bởi
u(t) = 6.0849 2.8199 x(t) + −11.4896 4.9781 x(t − 2), ∀t ≥ 0.

3.2.

Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến
tính có trễ với điều khiển có hạn chế

Hai bổ đề sau có vai trò quan trọng đối với việc nghiên cứu tính ổn định
hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế.

p

x˙ + (0) ≤ 0 ⇒

Ai x ≤ 0.
i=0

(ii) ⇒ (i). Giả sử rằng ta có (ii) và 0 ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp ; 0]. Theo Bổ đề
3.1 thì hệ (3.2) là dương nên 0 ≤ x(t), ∀t ≥ 0, với điều kiện ban đầu ϕ(t) ≥
0, t ∈ [−τp , 0]. Do đó ta chỉ còn phải chứng minh x ≥ ϕ(t) ≥ 0(t ∈ [−τp , 0])
suy ra x(t) ≤ x với mọi t ≥ 0.
Nghiệm x(t) của hệ (3.2) được biểu diễn dưới dạng:
p

t

x(t) = e

A0 t

ϕ(0) +

e

A0 (t−s)

Ai x(s − τi ) ds

0


A0 s

Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ 0.

0

(3.12)

i=1

Với bất kỳ ma trận vuông A ta có
t

e

At

eAs Ads, ∀t ≥ 0

−I =
0

(3.13)

t
A0 t

⇒(e

A0 s

i=1

≤ 0, ta có
p

t

x(t) ≤ x +

e

A0 s

0

Ai (x(t − s − τi ) − x)ds, ∀t ≥ 0.

(3.14)

i=1

Nếu t ∈ [0, τ1 ], s ∈ [0, t] thì −τp ≤ t − s − τi ≤ 0. Theo giả thiết, x(t − s −
τi ) − x ≤ 0, điều đó chỉ ra rằng
p

t
A0 s

Ai (x(t − s − τi ) − x) ≤ 0.


Từ ϕ(t) = x, ∀t ∈ [−τp , 0] và eA0 t ≥ 0, kết hợp với (3.11) và (3.13), ta có
t

x(t) = x +

p

t
A0 s

e

A0 xds +

e

0

A0 s

Ai x(t − s − τi ) ds

0

i=1

eA0 s A0 x +

=x+



e

A0 s

Ai x(t − s − τi ) ds

α > 0 và một ma trận M ≥ 0 sao cho A = M − αI. Do vậy
At

e

=e

−αIt

Mt

.e

−αIt

=e

M 2 t2 M 3 t3
+
+ ...
I + Mt +
2!
3!

điều này nghĩa là dấu của mỗi phần tử của eAt không đổi với mọi t > 0.
p
Do ( i=0 Ai ) x < 0, từ (3.16) ta có
p
A0 t


i=1


30

hay
x(t) < x, ∀t ∈ (0, +∞).

Xét hệ tuyến tính với điều khiển có hạn chế sau

p
x(t)
˙
= A0 x(t) + i=1 Ai x(t − τi ) + Bu(t), 0 ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0,
x(t) = ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τ , 0],

(3.17)

p

trong đó u là một vectơ hằng cho trước, được xem như một cận trên đối với
điều khiển u(t) được xác định theo công thức (3.3). Khi đó, ta thu được hệ
đóng sau:



x(t)
˙
= (A0 + BF0 )x(t) +


(0)

ajl xl + bTj k0l ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, j = l
(i)

ajl xl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, . . . , n, i = 1, . . . , p
p

p

n

kij ≤ 0

Ai x + B
i=0
p

(3.19)
(3.20)

i=0 j=1
n

kij ≤ u.

(3.21)

i=0 j=1


Fi x(t − τi ) ≤

kij ≤ u, t ≥ 0.

Fi x =
i=0 j=1

i=0

i=1

n

Hay 0 ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0. Vậy, ta đã chứng minh được (ii) ⇒ (i).
ki1
kin
(i) ⇒ (ii). Giả sử ta có (i) và Fi =
,...,
, i = 0, 1, . . . , p. Theo Bổ
x1
xn
p
đề 3.3, A0 + BF0 ∈ M, Ai + BFi ≥ 0, i = 1, . . . , p và i=0 (Ai + BFi )x ≤ 0.
Tiếp theo ta chứng minh mọi kij đều thuộc Rm
+ . Giả sử trái lại. Đặt Fi =
(i)
(q)
fjl và phải tồn tại phần tử fkg < 0. Ký hiệu điều kiện ban đầu ϕ(−τi ) =
[ϕi1 , ϕi2 , . . . , ϕin ]T , x(0) = [ϕ01 , ϕ02 , . . . , ϕ0n ]T . Chọn diều kiện ban đầu sao
cho ϕqg > 0 và ϕij = 0 với mọi i = q, j = g.


Fi x =
i=0

kij .
i=0 j=1

Vậy ta có (3.21).

Định lý 3.3 ([9]) Cho trước vectơ 0 < u ∈ Rm . Hệ (3.18) là ổn định tiệm
cận và dương, và 0 ≤ x(t) < x với mọi t ≥ 0, 0 ≤ u(t) ≤ u với mọi t ≥ 0 khi
mà 0 ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp , 0], nếu tồn tại các vectơ kij ∈ Rm , kij > 0, i =
0, 1, . . . , p, j = 1, . . . , n, x = [x1 , . . . , xn ]T > 0 sao cho các điều kiện (3.19),


32

(3.21) và điều kiện
p

p

n

kij < 0

Ai x + B
i=0 j=1

i=0

t ∈ [−1, 0],

trong đó x(t) ∈ R2 là vectơ trạng thái, u(t) ∈ R2 là vectơ điều khiển, và
u=
A1 =

200
−4 2
, A0 =
,
100
1 −5
1 2
0.5 0.12
,B=
.
1.8 1
0.3 0.1

Ta chọn điều khiển ngược u(t) = F0 x(t) + F1 x(t − 1). Áp dụng Định lý 3.3,
T
ta thu được một nghiệm chấp nhận được là x = (107.6552, 77.5566) và
F0 =

0.0203 0.0277
0.0199 0.0278
, F1 =
.
0.1361 0.1880
0.1360 0.1901

học, Viện Toán học Việt Nam.
Tiếng Anh
[3] A. Benzaouia, A. Hmamed and F. Tadeo (2010), "Stabilisation of controlled positive delayed continuos-time systems", International Journal
of Systems Science, 41, pp. 1473–1479.
[4] S. Boyd, E. Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan (1994), Linear Matrix
Inequalities in System and Control Theory, Philadelphia, PA: SIAM.
[5] J.K. Hale (1977), Theory of Functional Differential Equations, SpringerVerlag.
[6] T. Kaczorek (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer.
[7] T. Kaczorek (2009), "Stability of positive continuous-time linear systems
with delays", Bulletin of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences 57(4), 395–398.
[8] V.L. Kharitonov (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and
Matrices, Birkhauser.
[9] X. Liu (2009), "Constrained Control of positive systems with delays",
IEEE Transction on Automatic Control, 54, pp. 1596–1600.


35

[10] V.N. Phat and P. Niamsup (2015), "Global stabilization of linear timevarying delay systems with bounded controls", Applied Mathematics Letters, 46, pp. 11–16.
[11] M.A. Rami and F. Tadeo (2007), "Controller Synthesis for Positive Linear Systems With Bounded Controls", IEEE Transction on Circuits and
Systems–II: Express briefs, 54, pp. 151–155.
[12] R. J. Vanderbei (2001), Linear Programming: Foundations and Extensions, 2nd ed. Norwell, MA: Kluwer.
[13] Y. Xu, J. Zhang, W. Zhou, D. Tong (2017), "Adaptive synchronization
of complex dynamical networks with bounded delay feedback controller",
Optik - International Journal for Light and Electron, 131, pp. 467–474.