BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẰNG

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIỀU
KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẰNG

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIỀU
KHIỂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. TRẦN VĂN TUẤN

Hà Nội – Năm 2017

Nguyễn Thị Hằng

2


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời mở đầu

4

Bảng kí hiệu

6

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ co
1.1.1 Không gian metric đầy . . . . . . . . .
1.1.2 Nguyên lý Banach về ánh xạ co . . . .
1.2 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . .
1.3 Bài toán điều khiển cho hệ tuyến tính . . . . .
1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
11
14
15
15

tính

tính.”
2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính.
Nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển, nghĩa là tìm
một hàm điều khiển để nghiệm của hệ trở thành ổn định.
3. Đối tượng nghiên cứu

4


Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính.
4. Phạm vi nghiên cứu
Xoay quanh tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
có điều khiển.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và các bài tập giải
minh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Cấu trúc đề tài
Khoá luận được chia làm 2 chương chính như sau:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính.

5


Bảng kí hiệu
R

Tập số thực



n

aj

Tích a1 a2 ...an

j=1

trace(A) Vết của ma trận
Reλ

Phần thực của giá trị riêng λ
Kết thúc chứng minh


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ
co

1.1.1

Không gian metric đầy

Định nghĩa 1.1. Cho không gian metric M = (X, d). Dãy điểm
(xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong M , nếu
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) d(xn , xm ) < ε.


(m)
xj

2

(n)

(m)

< ε ⇒ xj − xj

< ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀j = 1, 2, ..., k.

j=1
(n)

Các bất đẳng thức trên chứng tỏ, với mỗi j = 1, 2, ..., k. dãy xj

là

dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:
(n)

lim xj = xj (j = 1, 2, ..., k).

n→∞

Đặt x = (x1 , x2 , ..., xk ), ta nhận được dãy (x(n) ) ⊂ Rk đã cho hội tụ
theo tọa độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian Eukleides Rk tương

d(xn+k , xn+k−1 )
k=1
p

αn+k−1

≤ d(Ax0 , x0 )
k=1
n

n−p

α −α
d(Ax0 , x0 )
1−α
αn
≤
d(Ax0 , x0 ).
1−α
=

Vì 0 ≤ α < 1, nên lim αn = 0, do đó lim d(xn+p , xn ) = 0, ∀p ∈ N∗ ,
n→∞

n→∞

nghĩa là dãy (xn ) là dãy cơ bản trong không gian metric đầy M . Từ
đó tồn tại lim xn = x¯ ∈ X. Ta có
n→∞



Đặt y = Ax = π − asinx, ta nhận được ánh xạ A ánh xạ không gian
đầy R1 vào chính nó. Hơn nữa
|Ax − Ax | = |asinx − asinx | = 2|a| cos
≤ 2|a|

x+x
2

sin

x−x
2

x−x
= |a||x − x |.
2

Suy ra A là ánh xạ co (do (|a| < 1)). Theo nguyên lý Banach về ánh
xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất x¯, nghĩa là phương trình
(1) có nghiệm duy nhất x¯.
Nhận thấy được x¯ = π là nghiệm duy nhất đó.
10


Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = π, ∀a ∈ (−1, 1).

1.2

Hệ phương trình vi phân

11


Chứng minh. Giả sử hàm f (t, x) liên tục tên G, khi đó lấy tích phân
hai vế của (1.1) trên đoạn [t0 , t] ta có
t

t

x(s)ds
˙
=
t0

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔ x(t) − x(t0 ) =

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔ x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds, ∀t ∈ I.

(1.2)


Ta đi chứng minh T là ánh xạ co. Thật vậy, ta có
t

f (s, x(s))ds ≤ M |t − t0 | ≤ M d.

T x − x0 =
t0

Từ đó suy ra T x ∈ C(J).
Hơn nữa
t

||T x1 − T x2 || =

(f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s)))ds
t0
t

≤L

(x1 (s)) − (x2 (s))ds
t0

≤ L.d max ||x1 (s) − x2 (s)||
s∈J

= L.d.d(x1 , x2 ).
Do đó
d(T x1 , T x2 ) = max ||T x1 (t) − T x2 (t)||
t∈J


trong đó x(t) ∈ Rn , t ≥ 0 - là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véctơ điều
khiển; A B là các ma trận hằng số có số chiều tương ứng.
Tích phân hai vế của (1.3) trên đoạn [0, t] ta được nghiệm của hệ cho
bởi:
t
At

eA(t−s) Bu(s)ds, t ≥ 0,

x(t, x0 , u) = e x0 +
0

trong đó eAt là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất:
x(t)
˙
= Ax(t), t ≥ 0.

14


1.3.1

Hệ điều khiển tuyến tính

Định nghĩa 1.6. Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Rn , ta nói cặp (x0 , x1 )
được gọi là điều khiển được sau một thời gian T > 0, nếu tồn tại một
điều khiển được u(t) sao cho nghiệm x(t, x0 , u) tương ứng của hệ (1.3)
thỏa mãn điều kiện x(0, x0 , u) = x0 , x(T, x0 , u) = x1 .
Định nghĩa 1.7. Hệ điều khiển (1.3) gọi là điều khiển được hoàn toàn

lim ||y(t) − x(t)|| = 0.

t→∞

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi
nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽ
tiến gần tới x(t) khi t → ∞.
Định nghĩa 1.11. Hệ (1.3) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M >
0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.3) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn
||x(t)|| ≤ M e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà nó còn tiến tới
0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân sau trong R
x˙ = ax, ∀t ≥ 0.

16


Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức
x(t) = x0 eat , ∀t ≥ 0.
Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a < 0. Nếu a = 0 thì hệ là
ổn định. Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều)
vì số δ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 .
Ví dụ 1.4. Xét phương trình vi phân
x(t)
˙
= a(t)x, t ≥ 0,
trong đó a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0
bởi công thức
x(t) = e

Tính ổn định hoá cho hệ điều
khiển tuyến tính
Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tính ổn định hóa
của hệ (1.3), xem Định nghĩa 1.8. Phần đầu, chúng tôi dẫn ra một vài
tiêu chuẩn ổn định cho hệ điều khiển tuyến tính. Phần cuối chúng tôi
áp dụng các kết quả cho hệ điểu khiển tuyến tính.

2.1

Bổ túc về ma trận

Định nghĩa 2.1. Giả sử A = (aij ), aij ∈ C là một ma trận vuông cấp
n. Ta định nghĩa chuẩn của ma trận A như sau
1/2

n

|aij |2

A =
i,j=1

18

.


Nếu x = (x1 , · · · , xn ) là một vectơ n chiều thì ta có thể xem x như là
một ma trận n hàng, một cột và do đó
1/2

i=1

Định nghĩa 2.2. Ma trận A gọi là giới hạn của dãy ma trận {Ak }
nếu với mọi ε > 0, tồn tại N = N (ε) sao cho ∀k > N (ε) ta có
Ak − A < ε.
Khi đó ta nói dãy ma trận {Ak } hội tụ.
∞

Ma trận
k=0

Ak
gọi là ma trận mũ của ma trận A và kí hiệu là eA .
k!

Ta thấy Ak ≤ A

k

nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi trên hội

tụ tuyệt đối với mọi ma trận A.
Định lý 2.1. (Công thức Sylvester - Định lý 1.3.[2]) Cho A
19


là ma trận (n × n) chiều với các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn khác nhau.
n

ck λk là hàm đa thức bậc n. Khi đó


e

:=
k=0

(tA)k
.
k!

là ma trận cơ bản của hệ (2). Khi đó hàm
x(t) = e(t−to )A xo .
là nghiệm duy nhất của hệ (2) vơi điều kiện ban đầu x(to ) = xo .

20


Ta có
d tA
e(t+h)A − etA
e = lim
h→0
dt
h
etA ehA − etA
= lim
h→0
h
ehA − I
h→0



Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của
hệ (2.1), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov.
Định lý 2.3. (Định lý 3.1, [2], trang 110) Hệ (2.1) là ổn định
mũ khi và chỉ ma trận A là ổn định, tức là,
Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A).
Chứng minh. Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester áp
dụng cho f (λ) = eλ , ta có
q

e

At

(Zk1 + Zk2 t + · · · + Zkαk tαk −1 )eλk t .

=
k=1

trong đó: λk là các giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk
trong phương trình đa thức đặc trưng của A. Zki là các ma trận hằng
xác định. Do đó ta có đánh giá sau
q

e

At

q

22


và khi đó nghiệm của hệ với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t , lúc đó ta có
||x0 (t)|| = ||x0 ||eReλ0 t .
Vậy nghiệm x0 (t) này tiến tới +∞ khi t → +∞, vô lý với điều kiện
(2.2). Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1. Xét tính ổn định hệ


x˙1 (t) = −x1 (t),

x˙2 (t) = −2x2 (t).
Ta thấy

A=

−1
0

0




−2

Vậy giá trị riêng của A là λ = −1, −2. Hệ là ổn định mũ.
Định lý 2.4. (Định lý 3.3, [2], trang 113) Ma trận A là ổn định
khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, phương