TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ HẢI YẾN

ỔN ĐỊNH MŨ
CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Ngưồi hướng dẫn: ThS. Nguyễn Trung Dũng


LỜI CẢM ƠN
Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Trung Dũng,
người đã định hướng chọn đề tài và hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá
trình hoàn thành khóa luận.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán và các thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Trung Dũng, khóa luận
tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài MÔn đinh mũ của hệ


8

1.3. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ

10

1.4. M ột số bất đẳng thức

11

Chương 2. Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ

14

2 . 1. Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ hằng số

14

2.2. Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ biến th iên ..........

18

3


LỜI NÓI ĐẨU
I. Lý do chọn đề tài
Trễ thời gian thường xuyên xuất hiện trong các hệ kĩ thuật khác nhau như: hệ
động lực học, mô hình điều khiển kĩ thuật, lò phản ứng hạt nhân... Một hệ được gọi
:= C([-h, 0],M"),
t £ [ío,?o + Ã ị, được xác định bởi xt (s) = x(t + 5), 5 G [—h ,0].
Cho D c Rn X ^ là tập mở và hàm F : D —)■E".
Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phươngtrình vi phân có

6


trễ) là phương trình dạng
x(t) = F (t,x t ),

(1.1)

Một hàm X được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên [ío —h,ỉ 0 +Ẩ]
nếu tồn tại to G M, A > 0 sao cho X G c ([?0 —h,tQ + A}, M”), (t,x t) £ D và x(t) thỏa
mãn (1.1) với mọi t e [?0^0 + A]. Với to G R, (Ị) G cể , ta nói *(/o, ộ) là nghiệm của
phương trình ( 1 . 1 ) với giá trị ban đầu ộ tại thời điểm ban đầu t() (nghiệm đi qua điểm
(í(), ệ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(ío, ộ) là một nghiệm của phương trình (1.1) trên
[ío —h ,t 0 +A] vàx, 0(ío, ộ) = ộ- Khi to đã rõ, ta viết x (t,ộ ) thay cho x(to, ộ )(t).
Ví dụ 1.1.1. Hệ phi tuyến cỏ trễ thời gian biến thiên
Ị f
\~ d t

= - X \( t) ( \ + x \{t - T2 {t))) + 2 x 2 {t)x \{t - X\{t))x2{t - T2 {t)),

11* 0 , 0)11 < N \\ộ \\e a{t tữ\ V í^ ío Số N gọi là hệ số ổn định Lyapunov, a gọi là số mủ Ổn định và cc, N được gọi chung
là các chỉ số ổn định mũ Lyapunov.

1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov

Đỉnh nghĩa 1.2.1. [Lớp hàm

]

Cho hàm ộ G [M+ ,M+],M+ := [0;+°o) hoặc (Ị) G C[[0,/ỉ],M+]. Khi đó, ệ được gọi
là W - hàm hoặc

- hàm nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(ỉ) ộ là hàm tăng.
(ũ) ệ ( 0 ) = 0.
K í hiệu ộ G J f .
Đỉnh nghĩa 1.2.2. [Hàm Lyapunov]
Cho V : M+ X cể —>• R là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn v ( í , 0) = 0, Ví ^ 0. Hàm
V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Hàm v ( t,x ) là hàm xác định dương theo nghĩa
3a G № : V (t,x) ^ fl(||jt| I), V(/,jc) G M+ X W ' .

(ii) Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.1)
V (t,x t (tQ,ộ)) = lim s u p ị [V(t + h ),xt+h((t 0 ĩ <Ị>)) - V ( t , x t (t0, ộ))] ^ 0,
0+
h
với mọi nghiệm x(í, ộ) của hệ ( 1 . 1 ).
0 : ỹ (í,jt(í)) ^ —2 Ằ3v(t , x(t )),
với mọi nghiệm x(t) của hệ (Lỉ ).
Khi đó hệ ị 1.1) là ổn định mũ với các chỉ số Ổn định Ằ3 và N =
Ví dụ 1.2.1. Xét sự Ổn định của nghiệm không đối với hệ phi tuyến cỏ trễ thời gian
biến thiên sau
+ x ị ( t - T2 (t ))) + 2x2 { t ) x\ ( t - Tị ( t ) ) x2 (t -

{ Ế
Id

(*)

2

= ~ 3xỉ ^ Xỉ ^ ~ T'

~ T2 ( 0 ) - * 2 0 ) ( 2 + sin*l (t - Ti (/))),

8


trong đó 0 ^ Tj(f) ^ Tj tó các hằng số, ỉ — 1,2.
Lờ/ giải
Xế? hàm Lyapunov xác định bởi
.

(3x2ị + 2x2)
=

+ 6x\ {t)x2(t)xi (t - Tị (t ))x2{t - T2( 0 )

-

6

Xị (t)x2 (t)x 1 0 - Ti (í))*2(í - T2(í))

—2 * 2 (2 + sinJCi (í — Tị (í)))

^ —3jc^(í) —2*2 (0
= - 2 V (f,x(í)).
5í/}> ra 3 A-3 = 1 > 0 r/ỉởữ mã« ỹ (r,x (/)) ^ —2XìV(t,x{t)) với mọi nghiệm x(t) của
hệ ( 1 . 1 ).
Vậy nghiệm không của hệ (*) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.1. Do đỏ
nghiêm không của (*) là Ổn định mủ.
Đinh lý 1.2.2. [Định lý Lyapunov - Krasovskii]
Giả sử rang F: K+ X rĩo' —> IR'7 biến mối tập M+ X ắê {ấS là tập bị chặn trong %J)
thành tập bị chặn trong K", và u, V, w: M+ —>• M+ là các hàm liên tục, không giảm,

ở đó u(s) và v(s) dương \fs > 0 và u(0 ) = v(0 ) = 0 .
• Nếu tồn tại một hàmkhả vi liên tục V : R X
9

—)• M sao cho


va
V( t , ộ) < - w ( || 0 (O)||)
thì nghiệm không của ( 1 . 1 ) là Ổn định đều.
M sao cho
(ỉ) m( ll^ll) ^ V ( t , x ) ^ v(||*||),v* e R V ^ 0
ịii) v( t , x( t ) ) ^ —w(||jt(í)||), khi v ( t + 0, x(t + 0)) ^ v(t , x(t )), V0 G [—/ỉ,0]
thì nghiệm không của ( 1 . 1 ) là Ổn định đều.
• Hơn nữa, nếu w(s) > 0, Vs > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không
giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iii) v ( t , x ( t ) ) ^ —w(||jt(í)||), khi v ( t + 0 ,x ( / + 0 )) ^ pV( t , x( t ) ) , V0 G [—/z,0]

thì nghiệm không của ị 1 . 1 ) là Ổn định tiệm cận đều.
• Nếu giả thiết thêm lim u(s) — oo thì nghiệm không của (1.1) là Ổn định tiệm cận
]Rn là h à m v e c tơ


Định nghĩa 1.3.1. Hệ điều khiển ị 1.2) gọi là ẩn định hóa được nếu tồn tại hàm
g : M'2 —»• W fĩ sao cho hệ phương trình vi phân đổng
x(t) = F( t , xt , g(x(t )))ì

Mm sao cho hệ đóng (1.2) là a - Ổn định, tức là,

tồn tại hằng S Ố N ^ 1 sao cho mọi n g h iệ m x(tị), ộ ) của h ệ đổng ( 1. 2 ) thỏa đánh giá
W/o,0 ) ( O I K N | | 0 l k a{t

1.4.

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.4.1. [Bất đẳng thức Cauchy]
Giả sử s £ M'ỈX,Ỉ là ma trận đối xứng xấc định dương. Khi đó với mọi ma trận Q £
X, y G W ĨXn, X, ỵ G M ", ta c ó

2(Qỵ,x) - (Sy,y) ^ ( QS~i QTx, x).
Đặc biệt, với mọi X, y gM", ta có
2xTỵ ^ XT Sx + y Ts ~ 1y.
Bổ đề 1.4.2. Giả sử M G w ixn là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó với mọi
số V > 0 và với mọi hàm khả tích w : [0, v] —> R", ta có

Bổ đề 1.4.3. [B ổ đ ề Schur]
Giả sử X 11 = XỊị, X 12, X 2 2 — XỊ 2 là các ma trận với số chiều thích hợp. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương

(ii) X 2 2 >


Giả sử rằng a(ot) £

và b {à ) £ R"ữ, Va £ í ì . Khi đó, cho X £ R"ữX/ỉfl, với X > 0

và ma trận M G ШПаХПа, ta có
- 2

ũ.

a ( a ) Tb ( a ) d a
0, và ma trận M G MMflXnữ, to cớ
—2 / fl(a ) v Y ( a ) b { a ) d a ^
•'q.
T

a(a)


co{p)TM ( ứ { P ) d p ^ [ í co{P)dP]T M[ í
Ja

13

Ja

Cở(P)dP].


Chương 2

Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ
điêu khỉên có trê
V
1 • A

2.1.

o
A

l l *

/

^
A

0 kí hiệu trễ thời gian.
Bây giờ chúng ta xét các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận của hệ có trễ hằng số.
Định lý 2.1.1. Xét hệ trễ thời gian tuyến tính (2. ỉ), hệ là Ổn định tiệm cận nếu tồn
tại các ma trận đối xứng và xác định dương p > 0, Q > 0 sao cho bất đẳng thức ma
trận tuyến tính sau thỏa mãn

s=

(A + B) TP + P(A + B) + TQ

t(A + B)TPB

XBTP(A + B)

-T Q

< 0.


J t-x

+ [x(t) + B I x(s)ds]TP(A +B) x( t )
Jt-X
+ XT ( t ) zQx( t ) — I

Jt -T

XT ( s) Qx( s) ds

= xT(t)[(A + B)TP + P(A + B)]x(t) + 2xT(t)(A + B) TPB f

x(s)ds

J t-X

+ XT ( t ) zQx( t ) — í

(2.4)

XT (s)Qx(s)ds.

Sử dụng bất đẳng thức
2ab ^ a TQ ~ Ỵa + b TQb,

(2.5)

ta có
2xT (t)(A + B)TPB [ x(s)ds
Jt-T

s — (A + B)1 p + P(A + 5 ) + t(A + B ) 1 P B Q - 1BTP(A + 5 ) + TỘ.
Cuối cùng, sử dụng Bổ đề Schur ta có V (xt ) < 0.
Điều kiện (2.2) của Định lý 2.1.1 là thỏa mãn thì v ( x t ) < 0. Hơn nữa, nếu v ( x t) < 0
thì x(r) —> 0, t —>• oo, nếu và chỉ nếu (2.2) đúng. Vì vậy, hệ (2.1) là ổn định tiệm
cân.

□

Sử dụng phép biến đổi

( 2 .8)

z(t) = eatx( t ),
trong đó a > 0 là bậc ổn định.
Khi đó hệ (2.1) trở thành
z{t) — (A + al )z ( t ) + B e axz{t -

t ).

(2.9)

Hệ (2.1) là ổn định mũ với bậc ổn định a.
Định lý 2.1.2. Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc Ổn định a, giả sử rằng trễ thời gian
T > 0. Khi đó hệ (2.9) là Ổn định mũ với bậc Ổn đ ịn h ot nếu tồn tại các ma trận đối
jcỉẨĩĩ£ỷ Vữ JCŨC đinh dương p

0 , 0 > 0 sao cho bất đắng thức sau thỏa mãn
Ẵ t P + PÃ + tQ
Tea ĩ B T PÃ


— [Äz{t)]Tp[z(t) +

f

Beaxz{s)ds]

Í —T

+ [x(t )+

f

Beaxz{s)ds\TPẴz(t) + z T{t)zQz{t) -

Ị —X

Ị

ZT(s)Qz(s)di

Jf-X

= ZT(t)[ÃTP + PÃ + TQ}zịt) + 2zT(t)ÃTp I

Beazz(s)ds

J t-x

(2 . 12)


Ví dụ 2.1.1. Xét cấc hệ trễ thời gian là Ổn định mũ với bậc Ổn định a như sau

1

1

tr o n g đ ỏ

A=

1

1
to 1

t{t) = {A + aỉ )z ( t ) + B e aTz{t - t ) ,

0

>^1 —

-0.5

0.1

0.3

0

(2.15)


(2.16)

trong đó h ^ 0 ,x(t) G M”,A (í),A i (t) e M" là các hàm ma trận cho trước, liên
tục và bị chặn với t ^ 0, ệ(t) G c([—
h,Ó\,Rn) là hàm ban đầu với chuẩn II011 =
s u p s e ị_ h

0Ị \\ộ(s) ||. Hàm trễ thời gian h ( t ) liên tục và thỏa mãn: 0 ^

h(t)

^ h,\ft ^ 0.

Với các số dương cho trước Ằ,/z,/3,£, ta đặt

pp(t) = p (t) + P I’ P = sụp b ( 0 ll>
ígR+
a = sup ||A(í)Ẩr (í)||, a\ = sup \\A \( í) ẩ [ ( í) ||,
teù +
teù+
ịấ(A)

= sup ị i (A(t)), Ă(t ) = A ( í ) + A i( í) ,

i é = Ă(t) + 2h p A , { t ) A \ 0 ) + 2hẰ~ 1/,
Ỵ — 2j3ju(Ã) + 2hị52 a\ + 2 /ỉẰ_l + £.
Đỉnh lý 2.2.1. Nghiệm không của hệ (2.16) là Ổn định mũ nếu tồn tại các số dương
trong đó Ả '/3 ^ ma.x(a,a\), và một hàm số ma trận p G BM+ (0,°o)
c/zơ phương trình vi phân Rỉccatỉ sau có nghĩa


e

[—2A,0].

(2.17)

Chú ý rằng hệ (2.17) yêu cầu hàm ban đầu 1ịf(t) trên [—2/ỉ,0] thỏa mãn
¥ (s) =

ộ {s +

A (0 )), - h

-

Ä(0 )

(Pfl (5)^(5), jc(5))rfs
A -/ỉ (0
(»P 0 (/)* (/),* (/))

^
/* °

+ Ằ_I /

(p ^ (í+ ^ )x (í+ 5),x(? + 5))0 (/)Ấ 1 (/) ^

A) 0 ) x ( s - h ( s ) ) d s , x ( t ) ỳ

^ /i (/>0 (í)Ai ( t ) A\ ( t ) Pp ( t ) x( t ) , x( t ) )

/■°
+ Ằ_I /

(P«(/ + S' —/z(í+ 5,)x(5' —/1(5) ) ,x (í —h(s)))ds.

Vì (/^ (r )* ^ ),* ^ )) = y (í,x (r )), và
giả sử rằng với bất kì số thực q > 1 sao cho
v ( t + s,Jt(í + s ) ) < qV{t,x{t)),'is G [—2/1,0],Ví ^ 0 .

20


□

Chú ý 2.2.1. Từ chứng minh của Định lý 2.2. ì, điều kiện (RDE) có thê được cho
bởi bất đắng thức ma trận sau

P(t)

+ s j J (t)P{t) + P{t)íể(t) + 2hP(t)A ,(/)л[ (/)/>(/) + y/ < 0.

Chúng ta có th ể áp dụng kết quả này cho sự Ổn định mũ của các hệ tuyến tính không
chắc chắn với trễ thời gian biến thiên
x(t ) = (A + H A ( t ) E ) x ( t ) + (Aị + H A ị { t ) E ị ) x { t - h ( t ) ) , t ^ 0 ,

x(t) = ệ ( t ) , t e [ - h , 0],

( 2 .2 1 )

trong đó 0 ^ h(t) ^ h; A, A\ , H, E, E\ là cấc ma trận hằng số với số chiều phù hợp;
A(í), Aị (í) là các ma trận không chắc chắn biến thời gian biến thiên thỏa mãn
Ar ( í ) A ( í ) ^ / , A [ ( 0 A . ( 0 ^ / -

21


Chúng ta có hệ quả sau.
Hê

quả 2.2.1. Hệ (2.21 ) là Ổn định mũ nếu tồn tại ma trận X xác định dương và


—C2Ỉ

0

0

E\X

0

0

-£ 3 /

0

ý lự h E \Á \

0

0

0

/

* i

\