TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LƯƠNG THỊ NGỌC THÚY

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA
CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN VÓI TRỄ
Chuyên ngành toán ứng dụng

KHÓA LUẨN TỐ T NGHIÊP ĐAI HOC


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LƯƠNG THỊ NGỌC THÚY

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ Ổ n ĐỊNH HÓA
CHO HỆ ĐIÊU KHIỂN VÓI TRỄ
Chuyên ngành toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐ T NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: ThS. NGUYEN TRUNG DŨNG


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn
thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong


3

1.1. Hệ điều khiển có trễ

3

1.1.1. Hệ phương trình vi phân hàm

3

1. 1. 2 . Khái niệm ổn định

4

1.2. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ

5

1.3. Một số bất đẳng thức

5

1.4. Phương pháp hàm Lyapunov

6

Chương 2. Tính ổn đỉnh và tính ổn đinh hóa

9

mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phương trình toán học người ta cần nghiên cứu
tính ổn định của hệ thống đó. Cho đến nay lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu và
phát triển như một lý thuyết toán học độc lập và có rất nhiều ứng dụng trong kinh
tế, khoa học và kỹ thuật. Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định và
tính ổn định hóa các hệ điều khiển.

Do đó tôi chọn đề tài "Bài toán ổn định và ổn đinh hóa cho hệ điều khiển
vối tr ễ ” , dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov, để tìm lời giải cho bài
toán ổn định hóa của hệ điều khiển với trễ, cụ thể là trong hai trường hợp độc lập
với trễ và phụ thuộc trễ và từ đó thấy được tính ứng dụng trong các bài toán kinh tế,
kỹ thuật và công nghệ.

2.

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định hóa của các hệ điều khiển với trễ.

3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov (bao gồm phương pháp Lyapunov - Razimukhin và phép xấp xỉ Lyapunov - Krasovski) và bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

4. Phạm vi nghiên cứu
Hệ thời gian liên tục tuyến tính trễ thời gian.

5. Bố cục đề tài
Bố cục của luận văn bao gồm :
1. Chương 1: M ột số kiến thức cơ sở.
• Hệ điều khiển có trễ.
• Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ.



1.1.1.

Hệ phương trình vi phân hàm

Giả sử h ^ 0. Kí hiệu

= c ( [ —/z,0],M") là không gian Banach các hàm liên

tục trên đoạn [—/z, 0] với giá trị trong

và chuẩn của (Ị) £ ^ được cho bởi

||ự>|| = s u p _ h

0 , Q ( Q o , Q u - , Q r ) >
0 sao cho bất đẳng thức ma trận sau được thỏa mãn
/ a t + P A + Qo

0

r '
y ( x ( r ) ) = XT (t)Px(t) +

'
XT (s)Qịx(s)ds.

Phần còn lại chứng minh tương tự như Định lý 2.1.1

11

□


v í dụ 2.1.1. Xét hệ động lực với trễ thời gian
1.0

x{t) =

-1

0
-

1.1

x(t — 1).

Đối với hệ này, dựa vào gói LMI trong Matlab chúng ta không tìm được lời giải cho
bất đắng thức ma trận tuyến tính (2.3). Điều này có nghĩa là tiêu chuẩn Ổn định
trong Định lý 2.1.1 không thỏa mãn và do đỏ ta không khẳng định được hệ trên là

Đ ịnh lý 2.1.3. N gu ton tữi CCIC Ỉ7ĨCỈ tvũĩĩ đoi XIỈĨIỊ^ XŨC điĩĩh cliẨớìiQ X ^ 0, u —
(Ơ I,

Um) và ma trận Y sao cho thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới

đây.

(2 .6 )

12


Trong đỏ áể — (A \ ,Ấ2, ...,AW) và и — diag {U\ ,Ư 2 , ...,u m} thì hệ (2.1) là Ổn định
với điều khiển của u(t) = Kx(t), к — Y X ~ x.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.1, để chứng minh rằng hệ đóng là ổn định tiệm cận
thì điều kiện đủ là
[A + BK]TP

+

P[A

BK\

+

+

Ể


khiển gồm trạng thái, trễ có thể được xây dựng tương tự như trong Định lý 2.1.3. Sử
dụng bộ điều khiển u{t) — Kx(t) + £ Kjx(t —Tỳ), hệ đóng trở thành
j= I
x(t) = [A + BK]x(t) + £ И j + BKj\x(t - Tj).
j=i
Định lý dưới đây mở rộng tiêu chuẩn ổn định hóa độc lập với trễ và cung cấp một
phương pháp thiết kế bộ điều khiển ổn định hóa.
Đ ịnh lý 2.1.4. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Uị >

о, 1

j= 1

(2.9)

Theo Định lý 2.1.1, để chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ (2.9) điều kiện đủ
là
Ỉ ATP + P A + £ Qj
—T „
A\p

PA ị

7=1

0

-Ổ I

—T _
Lp

0, Qi > 0,1 < i < m trong đó A — A + BK,Aị — Aị + BKị, 1

-U i

0

(2 .11)

0 trong đó ứ(x) —AX + XA T +

m

Uị

;

7-1

ii) Tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, Uị > 0,1 < i < m sao

14


V
fú(X)
*

Aị X + BYị

AmX + BYm\

*

-Ơ I

0

*

0

-u m

Ị

Aị X

0

- Ơ I

0
+


□

Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa phụ thuộc trễ

Phần này mở rộng điều kiện cho tính ổn định và ổn định hóa phụ thuộc vào trễ.
Trong trường hợp ổn định hóa, ta tìm một luật điều khiển phản hồi trạng thái u(t)
mà hệ đóng ổn định hóa tiệm cận.

15


2.2.1.

Tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ

Đ ịnh lý 2.2.1. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương p > 0, Qi > 0 ,0


ơ - s)Qix {t - s )ds

Cộng và tr ừ XT(í) [ L L 'Cj(AjAi)Qj1(Aj Ai )T]x(t) với vế phải của đẳng thức trên
ỳ=i/=o
ta được
V(x(t)) = x T(t)\ ÃTP + P Ã + £ £ Tj Q, + £ £ ĩ j P ( A j A , ) Q - [ (AjA,)TP]x(t)
j= l /=0
ỹ= 1/=()
- Е Е

I

[xT(t)P(AjAi)QỴ' (AjAi)TPx(t) + 2xT(t)PAjAix(s) + XT(s)Qix(s)]ds

j = 1 ỉ — 0 t — Xj — Xi

T

m

m

m

m

= xT(t)\Ã P + P A + £ t x j Q , + t t T JP(AjA , ) Q j ' ( A jAl)TP}x(t)
j —1/=0
j = l /=0

trở thành
/ V „ + A l ) 7> + / ’( A o + / l | ) + ĩ [ ố o + ố i ]

V

T rtM o

Ta Ị a ^p

-T ô o

zA]A]P

0

0
-T ổ , J


sau
max

(2.20)

T.

t > 0 !/j> 0 ,(2 o > 0 !(2 i > 0

thỏa mãn(2.19)

Đăt 7] = 7 thì (2.19) trở thành

^Qq + Q\
A lÁ [P
\ a]a] p

PAịAo

pA ìẩ A

-Q o
0

0


Tiêu chuẩn ổn định hóa phụ thuộc trễ

Đầu tiên chúng ta xét tính ổn định hóa của hệ (2.1) bằng cách sử dụng bộ điều
khiển phản hồi trạng thái không nhớ, đó là
u(t) = Kx(t).
Áp dụng Định lý (2.1.1) ta có định lý sau.

18

(2.23)


Định lý 2.2.2. Nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X > 0, ƯỊ > 0 ,0


0

0

-T ơ ,

< 0

trong đó / = (A + A 1 )X + X (A + A , ) T + BY + Y TB T + t [ ơ 0 + ơ , ] .

19

(2.25)


Đ ể đạt được cận trên của trễ,
định hóa
(2.25) với

T

T,

mà để hệ (2.1) vẫn ổn định tiệm cận, chỉ cần ổn

trong (2.25). Để có được điều này, đặt 77 = l / т và nhân cả hai vế của

TỊ



0 0/

trong đ ó # = - ( д + Д , ) Х - Х ( Д + Д , ) 7 - B Y - Y TBT .
Do đó, bài toán tối ưu hóa để xác định cận trên được xác định như sau
min

1]>0,X>0,Y>0

(2.27)

77

thỏa rnãn(2.26)

Đ ể giái bài toán tối ưu hóa trên, chúng ta cần một ma trận phụ

г>

0 và đưa vào

(2.26) tương đương với các bất đẳng thức sau

A\(AX+BY) Л , А , х \

ÍT 0 o\

0

với mọi T € [0 , 1/ 770] và 770 là cận trên của trễ thời gian của hệ (2.1).
Ví d ụ 2.2.1. Xét hệ tuyến tính với trễ thời gian sau

x(t)

'- 1 .6

0.2 х

0.2

-1.9/

+ ị/

°-3

V —0.1

20

x(t) + ( 2,1
w
1-1

0 \Ị u{t)
/4

0.5 /