BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G U Y ỄN HOÀNG THẢO

T ÍN H Ổ N Đ ỊN H C Ủ A CẤC
K H U N G VÀ C ơ SỞ RIESZ

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

N G U Y ỄN HOÀNG THẢO

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC
K H U N G VÀ C ơ SỞ RIESZ

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
C h u y ê n n g à n h : T o án giải tíc h
M ã số: 60 46 01 02

N gười h ư ớ n g d ẫ n k h o a h ọ c

T S . N g u y ễn Q u ỳ n h N g a

HÀ NỘI, 2015




M ục lục
Mở đ ầu ...
C h ư ơ n g 1 K iế n th ứ c ch u ẩ n bị
1.1. Phép biến đổi Fourier

1
4
4

1 . 1 . 1 . P h é p biến đổi Fourier tro n g khô ng gian L 1 (Kd)

4

1 . 1 . 2 . P h é p biến đổi Fourier tro n g không gian L 2 (Kd)

5

1 . 2 . Khung trong không gian Hilbert

6

1.3. Cơ SỞ Riesz

14

1.4. Khung hàm số mũ

19

thành một chuỗi vô hạn. Đó là cách dễ nhất để biểu diễn một véc tơ
phức tạp qua các véc tơ đơn giản hơn. Đây là bài toán thường xuyên
xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý và kỹ thuật như giải
tích điều hoà, phương trình vi phân, cơ lượng tử, xử lý tín hiệu và hình
ảnh. Mặc dù về lý thuyết dễ thực hiện nhưng khai triển theo chuỗi trực
giao đôi khi gặp rắc rối. Ví dụ như không phải luôn luôn dễ dàng tìm
một cơ sở trực giao và có những trường hợp khi khai triển theo chuỗi
trực giao hay thậm chí theo chuỗi sinh ra bởi các cơ sở tổng quát hơn
vẫn không phải là một phương pháp biểu diễn thích hợp.
Khung có nhiều tính chất mong ước của các cơ sở nhưng lại khác cơ sở
ở một khía cạnh rất quan trọng: chúng có thể phụ thuộc tuyến tính và
do đó tính duy nhất của biểu diễn của các cơ sở bị mất đi. Chính tính
thừa này của khung có những ứng dụng quan trọng, ví dụ như trong xử
lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó đảm bảo tính bền vững: chất lượng của
tín hiệu bị ảnh hưởng ít bởi tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ
mẫu có độ chính xác tương đối thấp.
Khung được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [5] vào năm 1952 khi họ
nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hoà. Tuy nhiên phải đến năm 1986
sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] thì khung mới
nhận được sự quan tâm rộng rãi của cộng đồng các nhà khoa học.
Cho H là một không gian Hilbert khả ly. Một dãy
1

{ f n } n€N

trong H được


2


niệm và kết quả về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz, khung
hàm số mũ, khung sóng nhỏ.Tính ổn định của các khung tổng quát, tính


3

ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các khung
và cơ sở sóng nhỏ.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước
liên quan đến tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u
- Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề.
- Thu thập tài liệu các bài báo về tính ổn định của các khung và cơ
sở Riesz.
- Tổng hợp, phân tích, hệ

th ố n g

các khái niệm, tính chất.

6 . Đ ó n g góp m ới c ủ a lu ậ n văn

Trình bày một cách tổng quan về tính ổn định của các khung và cơ
sở Riesz.


Chương 1
K iến thức chuẩn bi
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn
bị cho chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài



5

d
trong đó (х,ш) =

k= 1

x kUk, X = {хи х 2, ...,xd), и = (wi,cư2 , -,U d) ■

Một số tính chất cơ bản của / (cư) với / g L 1 (Rd) được cho trong hai
định lý sau.
Đ ịn h lí 1.1.2. Cho f e L 1 (md). Khi đó
i) ị s L°° (R“), v ì | | / | | ^ (в4) < ll/lli.(»-) ;
ii) f liên tục đều trên Má;
i i i ) / (cư) —>• 0 k h i cư —>■ ± 0 0 .

Định lí 1.1.3. Nếu /, f (u)
ni) T (E bf ) (w) = / (w - b)
IV) (D af ) h (w) = {2ттгш)а f (w)
trong đó Taf (t) := f ( t - a ) , Ebf

:= е 2” (м>/ ( t ) .
d
N, N = 1,2,...

tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành
phần thứ hai.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. Dãy { ỉ i } ^ trong "K được gọi là dãy Bessel nếu
00

3 B > 0 : £ l ơ , /i>|2 < B\\f\\2, V f £ H ,
i=1
B được gọi là cận Bessel của { / 1 }°°!.
Một dãy Bessel {fi}°°=1 là một khung nếu
00

3A > 0 : A\\f\\2
I2, V / Ễ « .
i=1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau:
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2. Một dãy
hai hằng S Ố O < Ẩ < 5 < 0 0

trong H là một khung nếu tồn tại
sao cho

00

^ll/ll2

|
Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được
= {ei, ei, 02 , ез, ... } khi

đó {/fc

là khung với cận A = 1 ,B = 2. T hật vậy, ta có
00

00

Ẽ l </, л > | 2 = к / , e i)| 2 + Ề l
2

11/11

Vì thế {fk} là một khung chặt của n với cận khung A = 1.
V í d ụ 3. Cho K = L 2(T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ
đo Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó ị e ins : n ẽ Z Ị là một cơ sở trực chuẩn
tiêu chuẩn cho K = L 2(T). Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì
{eins\E : n G z j là một

khung

Parseval cho L 2(E).

T hật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
B ổ đề 1.2.5. Cho ĩ i là không gian Hiỉbert và X là không gian con đóng
của H. Gọi p là phép chiếu trực giao từ H lên X và {ei}ÍỄ/ là một cơ
sở trực chuẩn của H. Khi đó

{ P e i } i €l

ỉà một khung Parsevaỉ của X .

C h ứ n g m in h . Gọi / là một phần tử thuộc X bất kỳ. Khi đó P f = / .
Ta có

£ \ự, Pei)\2=E I e|2=E l</’e'>|2=iưil2Do đó {Pei}i€l là một khung Parseval của %.

Bây giờ ta se chứng minh {eins\E}


là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ Ỉ2(N) vào H và
||T|| < yfB.
C h ứ n g m in h . Trước hết, giả

th iế t

{fk}kLi là dãy Bessel với cận Bessel

B. Giả sử {c*;}^ e / 2 (N). Ta phải chỉ ra T{ch}™=l là hoàn toàn xác
00

định, tức là

ckfk là hội tụ. Xét m, n e N, n > m. Khi đó:
k= 1

n

k=l

m

Ckfk

k= 1

ckfk

k=m+l
sup

”
fc=i

.

1 00

|cfc|2 >

J k= 1

là dãy Cauchy trong c.


12

Tính toán trên chỉ ra rằng
T : i ! ( N ) ^ J Í , T K £ = E l‘ / ‘
k= 1
bị chặn bởi Định lí 1.2.6. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Gọi T* •,'H —»• Z2(N) là toán tử liên hợp của T.
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi

j

( T Ị , Êj) = ( /, Teị) = if, Ị ị )

ta có

Ckfk

k= 1

hội


13

Từ đó T*/ = { (/,

T* được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành

của T và T* được gọi là toán tử khung
00

= T T ' f = ỵ 2 (/, h ) Д.
k= 1

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f € H.
C h ứ n g m in h . Giả sử / G ĩi. Sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Bổ đề 1.2.9 ta có
00

/ = 5 S - 1/ = Y .
Í=1

oo

/
Đ ịn h lí 1.2.11. Một dẫy { / * trong % là khung của H khi và chỉ khi
oo

T '■{fk}kLl

^ 2 ckfk
k= 1

là ánh xạ hoàn toàn xác định tuyến tính liên tục từ Z2 (N) lên H.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 . 1 2 . Cho {fk}^=1 là một dãy trong Tí. Ta gọi {fk}kL\
là một dãy đầy đủ nếu span {fk}kLi = %■

1.3. Cơ sở R iesz
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. Một cơ sở Rỉesz trong H là một họ có dạngịưek}kL\Ị
trong đó {efc} ^ 1 là một cơ sở trực chuẩn của H và

u
là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.
Đ ịn h lí 1.3.2. Nếu { f k

ỉà một cơ sở Riesz của H thì tồn tại duy

nhất một dãy {gk}™=1 trong U sao cho
00

( 1.1)

/ = X ) </.»*>/*. v / e « ,
k= 1



> 0 sao cho

Л ||Л 12 < £ | ( / , Л } | 2 |2 = Ệ
= w

\( f,U e k)\2 = Ệ

\{ U 'f,e k)\2

ỉ í < \\U’ ị\2\\f\\2 = \\uf\\fị \2

Từ đó suy ra {fk}kLi là một dãy Bessel với cận trên là \\u\\2.
Do

| | t f | | = H t H I = 11/11=1
s u p IIỈ77II

hay ĨĨ^TĨ Ị Ị 2 là

c^n khung dưới của {fk}kL\-

= sụp
IMI/O

Đặt h = (ư*)~lg hay g — u*h.
Khi đó g Ỷ 0 tương đương với h Ỷ OTa có
I i t m = sup
hỶ 0

Từ đó tồn tại dãy {hi} Ỷ 0 sao cho

IM

-1 1

\\U'I*\\

hay

UM

\\U-T

Từ đó, ỊỊ^TĨ | Ị 2 là c^n dưới tối ưu của khung

□



một

c ơ sở

trực chuẩn

của H .

Với mọi / € H ta có
00

00

£ lơ , /I2= E l ơ ’ Te‘)i2= IIT */II2< i r í i m i 2= i m i 2n /n 2.
í= 1

Í=1

Đ ặt g = T ’f khi đó / = (T *)“ V

l|r* /ll = llsll2 >

||( T * )- If

||(T - ') * | |2

||T - I |r

Vì vậy


=

Ỵ ] CjT et =

00

r ( J ^ c ^ ) .

i=1

i=1

00

Do T khả nghịch nên

ciei = 0 . Vì{eí } ^ ;1
Í=1

là cơ sở trực chuẩn nên

Cị = 0, với mọi %.
(
là một khung của và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung.
Theo Định lí 1.3.2, tồn tại duy nhất một dãy {gk}kLi trong H sao cho
00

k= 1
và {gk} cũng là một cơ sở Riesz của H.
Mặt khác, theo Định lí 1.2.10, ta lại có
oo

k= 1
Từ đó gk = s 1 f k là cơ sở đối ngẫu của { f k} và cung là cơ sở Riesz của

n.

□
Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu một lớp khung có cấu trúc

đặc biệt là khung hàm số mũ. Nội dung của chương này dựa trên tài liệu
tham khảo [1 ].


19

1.4. K hung hàm số mũ
Các hàm mũ phức ị -^=eikx f
v

U2TT

L 2 (—7T, 7r). Do đó,


• {eiXkX} k z không là khung trong L 2 ( - R , R ) nếu R e (R ( A) , oo) .
Trường hợp R = R (A) bản thân nó là trường hợp tới hạn: có
trường hợp trong đó {eiXkX} k z là khung trong L 2 ( - R (A ), R (A)) và có

trường hợp thì không.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1. Cho I là tập chỉ số đếm được và {Afc}fce/ ỉà một dãy
trong Md. Ta nói rằng


20

i) Một điểm \ e R d là một điểm tụ của {Afc}A;eJ nếu mỗi hình cầu mở
trong Rd có tâm tại X chứa vô hạn các x k;
ii)

ỉà tách được nếu '\ữĩ.jỶk \ Xj

—

Afc| > 0; một hằng số ô > 0 sao

cho |Aj —Afc| > ố với mọi j Ỷ k được gọi là một hằng số tách;
iii) { A J lỄ/ là tách được tương đối nếu nó là hợp hữu hạn của những
dãy tách được.
Một dãy tách được tương đối có thể lặp lại cùng một điểm N lần
với một N € N nhưng nó không thể có điểm tụ.
V í d ụ 4.
i) Dãy { |} fceZ\{0} có điểm không là điểm tụ.
không có điểm tụ và không tách được. Tuy nhiên,


nghĩa là,

(A n Qh (rc)), V (tì) = inf # ( A n Qầ (rc)).