Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2016
MÔN TOÁN
-----------------------***-----------------------

KÍNH LÚP
TABLE 16
Kỹ thuật Đảo căn
Trong phương trình, bất phương trình vô tỷ
Với các bài toán hạn chế sử dụng máy tính
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng
Điện thoại: 0902.920.389

HÀ NỘI, THÁNG 5 – 2016
Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ

1


Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389

Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số thực:

x



x  1  x 3  1   x 2  3  2   x 2  1






2

x 1  x  3

x


 x 3 

x



3

x  1  x3  1





x3  3
3

x 1 2

0


2 Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ


Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389
Điều kiện xác định: x  1 .

x 1  x 

Vì:

đương với:

2




 2

2


 2

2



1

2

2

 
x   2x  2 x

x 1  x 





   x  1 
x  1   x  1 

 x  1 
x  x  1 

x 1  x

x 1 

 0 . Do đó bất phương trình tương

x 1  x 1
2




.
2 

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:






x 2  4x  1 


3



2

9x  1  1  3  9

(Sáng tác: Huỳnh Đức Khánh)

Bài giải
Điều kiện xác định: x 

.
Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ

3









2

3





2

9x  1  1  3 




3












Vậy: x  1 x 2  4x  1  3 9x  1  2

   
3
3
 x  1  x  1   3 9x  1    3 9x  1  .
Xét hàm đặc trưng: f t   t  t, t  , ta có: f ' t   3t  1  0
f t  là hàm liên tục và đồng biến trên . Chính vì vậy, ta có:
f x  1  f  3 9x  1   x  1  3 9x  1  x  1, x  2  6
3

 x  1  x  1  9x  1  3 9x  1

3

Vì x  1 do đó: x  2  6 là hai nghiệm cần tìm.

4 Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ

2

vậy


Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389

f x





 
 f x   g x  
a  b g x

 

 



 



g x





 a  b 
b

a b





5 3x 3  2x 2  5x  1

6x 2  9x  3  3x  2

7x 2  2x
x  3  x  1  2x  x  2

2

Bài 4:

a b

  

f x a2
 f x a2

a b

a  b  g x a b

Kỹ thuật đảo căn loại 3:

Bài 1: