Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)

Gửi tặng: www.Mathvn.com


2 2
sin cos 1
x x
 

2 2
cos2 2cos 1 1 2sin
x x x
   
sin 2 2sin cos
x x x


3
sin3 3sin 4sin
x x x
  …
Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay
không
2 2
sin 2 cos 2 1
x x
 

2 2
cos4 2cos 2 1 1 2sin 2
x x x
   
sin 4 2sin 2 cos2
x x x


Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với
các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn
đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc
xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình:
1 1 7
4.sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x


 
  
 
 
 

 
 

Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hai cung
3

 

     
7 7 7 2
sin sin cos cos .sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  
 
       
 
 

Sử dụng công thức về các góc đặc biệt
Ta có
3 3
sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
  

     
      
     
     

Hoặc
3
sin sin 2 sin cos
2 2 2

  

  
     
        
     
 
     
 

Chú ý:


 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x


 



 






    





Phương trình
1 1
4sin
sin cos 4
x
x x

 
    
 
 



sin cos 2 2sin .cos sin cos
x x x x x x
    
 


sin cos 2 2sin .cos 1 0
x x x x

5
2 2
4
8
x k x k
x k x k k
x k
x k
 
 
 
 




 
     
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
 


 
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
  
  
        


Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình:
cos3 cos2 – cos –1 0
x x x
 

Giải:
Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức
nhân ba và nhân đôi của hàm cos
Phương trình
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
x x x x
      

3 2
2cos cos 2cos 1 0
x x x
    



x k
k
x k




  

 





Đs:
 
2
2 ,
3
x k x k k

 
    


Cách 2:
Nhận xét:
Ta có
3

Ta có




   
2 2
2 2 3
cos3 cos 2 cos2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin
2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
      
     

Tương tự cho
sin3
x

Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:
6 2
3cos4 – 8cos 2cos 3 0
x x x
  

Giải:
Nhận xét 1:
Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

2
t
t t t
t



    



… bạn được giải tiếp được nghiệm , ,
4 2
x k k k
 

  


Nhận xét 2:

Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ
cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi
Cách 2:
Phương trình
   
3
2 2
1 cos2 1 cos2
3 cos 2 1 8 2 3 0 cos2 2cos 2 3cos2 2 0




Nhận xét 3:
Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình
tích
Cách 3:
0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3
222242
 xxxxxxx
2 2 2 2 2
6cos 2 2cos (2cos 1)cos2 0 cos2 3cos2 cos (2cos 1)
0
x x x x x x x x
 
       
 

2 4 2
cos2 0
4 2
3(2cos 1) 2cos cos 0
k
x x
x x x
 

   



 

  


Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình:


2sin 1 cos2 sin 2 1 cos
x x x x
   
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân
đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
Phương trình
2
4sin .cos 2sin .cos 1 2cos
x x x x x
   
2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos
x x x x
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

6

  




 



Đs:
 
2
2 , ,
3 4
x k x k k
 
 
     


Bài 5: Giải phương trình
3
3sin3 3 cos9 1 4sin 3
x x x
  
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương
trình bậc nhất đối với sin và cos
3


Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình
sin5
1
5sin
x
x


Giải:
Điều kiện:
sin 0
x


Phương trình
sin 5 5sin sin5 5sin
x x x x
   

Nhận xét:
Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng
Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai
sin5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin
4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1
x x x x x x
x x x x x x
    
   


      
2
3 2 2 3 2 2
sin 3 2 5sin sin3 cos2 sin 2 cos3 5sin
3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
    
      

5 3 3 2 2
12sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0
x x x x x
     
… vô nghiệm
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

7

Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm


0;14
x nghiệm đúng phương trình:
cos3 – 4cos2 3cos 4 0
x x x
  


  

Đs:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
   
   
Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình
sin3 sin 5
3 5
x x

Giải:
Phương trình






2
5sin3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4
x x x x x x x x x
     




 
      
 
 

2
5 1
cos2
6 2
12cos 2 4cos 2 5 0
1
cos2
3
2
x x k
x x
x k
x
 


 
   
 
     
 
 
  
 
 

8

12 3
sin 5 sin
3
6 2
x k
x x k
x k
 

 

 

 
    

 
 

  




Đs:
 
, ,
18 3 6 2

2
sin 1 2sin cos .sin2 3cos3 2cos4
x x x x x x
    
1 3
sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4
2 2
x x x x x x
     
cos4 cos 3
6
x x

 
  
 
 
4 3 2
6
x x k


 
    
 
 

 
2
6

     
1 3
sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4
2 2
x x x x x x
     

Đs:
 
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
  

     


Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình: 3
2
cos
cos
2sinsin



x
x
xx

3
2
9
2
6
cos
6
2cos



k
xkxxx 














Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:
4 4
4

   
  
   
   
và cung 2x có thể đưa về cung 4x
bằng công thức nhân đôi
Điều kiện:
cos 0
4
1
cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0
4 4 2 2
cos 0
4
x
x x x x
x

  


 
 
 

  
     
        

     

sin 4 0 ,
cos2 0
2
x
x x x x
x loai
x
k
x x k
x loai




        

 




     





Chú ý:
- Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà
quy đồng và biến đổi thì…ra không

Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình:
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
 
   
  
   
   

Giải:
Nhận xét:
Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế
khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung
3
10 2
x


và
3
10 2
x

 có mối quan hệ với nhau như thế nào
Thật vậy
3 3 9 3 3
sin sin sin sin3
10 2 10 2 10 2 10 2

       

 


TH 1:
3
sin 0 2 ,
5
t t k x k k

 
      


TH 2:
2
1 cos2 1 3
1 sin 0 1 0 cos2 2 4 ,
2 2 6 5 6
t
t t t k x k k
  
 

               


Chú ý:
- Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau

b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình:
3
8cos cos3
3
x x

 
 
 
 

đặt
3
t x

 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

11

Đs:
6
2
,
3
x k

t x

 

Đs: ,
4
x k k


  


d. (QGHCM 1998) Giải phương trình: xx sin2)
4
(sin
3

Bài tập tự giải:

Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm )3;
2
(


x của phương trình sau
xxx sin21)
2

4 12 3
x k x k x k k
  
  
        
2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại

Bài 1: Giải phương trình :
sin sin2 sin 3 sin 4 sin5 sin 6 0
x x x x x x
     

Giải:
Nhận xét:
Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng
hoặc hiệu các góc bằng nhau
Phương trình






sin6 sin sin5 sin 2 sin 4 sin3 0
x x x x x x
      


x
x k

 


 
 
      
 
 
 
 










     




 


2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
cos4 cos sin cos2 cos sin cos4 cos 2
4 4
2
4cos4 2 1 cos4 2 3 2 cos4
2 16 2
x x x x x x x x
k
x x x x k Z
 
 
       
           

Cách khác:
Sử dụng công thức nhân ba
3 3
1 3 3 3 1 3
cos3 cos sin3 sin cos3 cos3 cos sin sin sin3 cos4
4 4 4 4 4 4
x x x x x x x x x x x
   
      
   
   Bài tập tự giải:



Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trình:
9sin 6cos – 3sin 2 cos2 8
x x x x
  

Đs:
2
2
x k


 
Bài 3: (ĐHNTHCM – 2000) Giải phương trình:
1 sin cos3 cos sin 2 cos2
x x x x x
    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

13

Đs:
2
3
7
,








  

với
1 3
cos
2

 

Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trình:


cos – sin cos sin cos cos2
x x x x x x

Đs:
2
4
x k
x k




x






  



 







Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình:
3 3
cos – sin sin – cos
x x x x

Đs:
4
x k


 

2
4
x k
x k
 

 
 



  

với
1
cos 1
2

 

Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trình:
3 2
cos cos 2sin – 2 0
x x x
  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trình:
2 3
sin sin cos 0
x x x
  

Đs:
2
2
4
x k
x k
 

 
 



  

với
1
cos 1
2

 

Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trình:
2

2
4
4 2
2
x k
k
x
x k


 
 

  



 


 




Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình:
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
 

3. Sử dụng công thức hạ bậc
Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử
dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản

Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
  

Giải:
Nhận xét:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

15

Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung
6 2
4
2
x x
x

 mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng
công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích

Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng
thành tích đưa về phương trình tích
Phương trình
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
x x x
   
   




cos12 cos10 cos8 cos6 0
x x x x
    

2cos11 .cos 2cos7 .cos 0
x x x x
  



cos cos11 cos7 0
x x x
  

cos .sin9 .sin 2 0 sin9 .sin 2 0
x x x x x
   


Đs:
 
; ,
9 2
x k x k k
 
  


Chú ý: Có thể nhóm




cos12 cos8 cos10 cos6 0
x x x x
   

Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình:
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x

 
  
 
 





2 2 2 3
1 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos cos 0
x x x x x x x
         

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

16

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0
sin cos 0
1 sin cos cos sin 0
x x x x x x
x x
x x x x
     
 



   


Khi sin cos 0 tan 1 ;


2 3
cos cos
4 2 4
x
 

 
   
 
 

2
3
2
2
4 4
2
x k
x k
x k


 

 

 

     

2
sin 1
2
(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 cos 1 2
tan 1
4
x k
x
x x x x x x k
x
x k


 



 





          




 




Bài 4: (ĐH – A 2005) Giải phương trình:
2 2
cos 3 .cos2 – cos 0
x x x


Giải:
Cách 1:
Phương trình
1 cos6 1 cos2
.cos2 0
2 2
x x
x
 
  

cos6 .cos 2 1 0
x x
  
 
1
cos8 cos4 1 0
2
x x
   

2

4 2
2
x k x k k


    


Cách 2:


3 4 2
cos6 cos2 1 0 4cos 2 3cos2 .cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0
x x x x x x x
          

Đs:
 
2
k
x k

 


Cách 3:
cos6 cos2 1
x x
 


   

Vậy hệ trên tương đương
sin 2 0
x

cho ta nghiệm
2
x k


Chú ý: Một số kết quả thu được
1 sin ,cos 1
x x
  

sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b
a b
a b
  

 

    


sin 1 sin 1

sin 1 cos 1
a b
a b
a b
   

  

   


sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
   

  

   


cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b

1 cos 2
1 cos2
2
1
2 2
x
x

 
 
 
 
 

 
 
 
  
 
 
 
 
 
2 2
(1 cos2 ) (1 sin 2 ) 1 cos2 sin 2 1 2 cos 2 1
2
x x x x x

 
            






x
x
x


Giải:
Điều kiện:
2
1
cos x
Phương trình
0cos
2
3
sin
2
1
20sincos31cos2
2
cos1cos)32( 






3
3
0
3
sin2 
















 nx
x
kx
kxx
Đs: ,
3
x k k



x k
 
 



 



   



 




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

19

Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình
3 2
2
3(1 sin )

3 2
2
2
3tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0
3tan 1 sin tan 1 sin tan 0
1 sin tan 3tan 1 0
x x x x x
x x x x x
x x x
      
     
    

TH 1:
1
tan ,
6
3
x x k k


      


TH 2:
1 sin tan 0 sin cos sin cos 0
x x x x x x
      
(pt đối xứng với sin và cos)
Giải phương trình này ta được 2 ,



2
sin 7 sin 1 2sin 2 0
x x x
    

2cos4 .sin3 cos4 0
x x x
  

 
cos4 0
cos4 2sin3 1 0
1
sin3
2
x
x x
x



   




4
8 4




   
 




Đs:
 
2 5 2
; ,
18 3 18 3
x k x k k
   
    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

20

Bài tập tự giải:
Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin
4

x x x
 
Đs:
6 3
,
4 2
k
x
k
k
x
 
 

 




 




Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình:
2 2
17
sin 2 – cos 8 sin 10
2
x x x


2 2
sin 4 – cos 6 sin 10,5 10
x x x

 
Đs:
20 10
,
2
k
x
k
x k
 



 




 




Bài 5: (TCKT – 2001)
2 2 2

Đs:
12 6
,
4
8 2
k
x
x k k
k
x
 


 

 



  



  




Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình:
8 8 2

 
  


Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình:
8 8
1
sin 2 cos 2
8
x x
 

Đs: ,
8 4
k
x k
 
  


Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trình
2 2
7
sin sin 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x

 
   


Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình:
2 2 2
2cos 2 cos2 4sin 2 cos
x x x x
 
Đs: ,
8 4
k
x k
 
  
5. Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số đẳng thức quan trọng

 
2
2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos
x x x x x x x
     
2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )
x x x x x x x
     
sin 2
sin cos
2

x
  ,
cot tan 2cot
x x x
 

4 4 2 2 2 2
1 1 1 3 1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos4
2 2 2 4 4
x x x x x x x
        




4 4 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos2
x x x x x
    
6 6 4 4 2 2 2
3 3 5
sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos4
4 8 8
x x x x x x x x
       

6 6 4 4 2 2
cos sin cos2 (sin cos sin cos )
x x x x x x x


là
2
cos cos 1 sin
1 sin cos (1 sin ) cos
x x x
x x x x

 
 Bài 1: (ĐH – D 2007) Giải phương trình:
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
  
 
 

Giải:
Phương trình
2 2
sin 2sin cos cos 3cos 2
2 2 2 2
x x x x
x

 
2 2
3 6
6
5
2 2
3 6
2
x k x k
k
x k x k
  
 
  
 
 
     
 
  




    
 



Đs:
 

x x x x
x x x x x

  từ đó ta định hướng giải như sau
Điều kiện:
sin 0
cos 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
k
x x x
x




    





www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

23


Khi
cos2 1
x

thì
sin 0
x

không thỏa ĐK
Khi
1
cos2
2
x

 thì
2
1
cos x
4

thỏa mãn điều kiện
Vậy ta nhận
1
cos2
2 3
x x k




2
sin 2
1
x
t
t x
t
x
t




 







Ta được phương trình
2
2
1 2 1
4 2
2
1
t t
t

x x x
 
   
   
   
   

Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x
Phương trình
2 2
1 1
2sin cos sin 4 sin 2 0
2 2 2
x x x x

 
 
      
 
 
 
 

2
sin 2 cos4 sin 2 1 0
x x x
     

2
sin 2 sin2 2 0

13
cos sin cos 2
8
x x x
 
Giải:
Nhận xét:
Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu
6 6
cos sin
x x
 có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung
hay không ta làm như sau
2 3 2 3 2
13
(cos ) (sin ) cos 2
8
x x x
  
2 2 4 4 2 2 2
13
(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 2
8
x x x x x x x
    
2 2 2 2 2
1 1 13
cos2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 2
2 4 8
x x x x x x x






  



   



  







Bài 5: (GTVT – 1998) Giải phương trình
tan cot 2(sin 2 cos2 )
x x x x
  

Giải:
Điều kiện
cos 0
sin 2 0

2
cos2 0
cos 2 sin 2 cos2 ,
tan2 1
4 2 8 2
x
k k
x x x x x k
x
   


         





Bài 6: (QGHN – 1996) Giải phương trình
3
tan cot 2cot 2
x x x
 
Giải:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

25

x x
x
x x x
x
    
     

2
cot 2 0
2 ,
2 4 2
cot 2 1 ( )
x
k
x k x k
x loai
  



       

 



Bài 7: (ĐH – A 2006) Giải phương trình: 0
sin22
cossin)sin(cos2
66

x x k


    
2
4
;
5
2
4
x k
k
x k





 

 


 




Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
5

cos 0
x
x
 





Phương trình
   
2sin 1 sin cos2 1 tan .cos
4
x x x x x

 
     
 
 


  
sin cos
sin cos 1 sin cos2 .cos
cos
x x
x x x x x
x

   